第5讲四边形（讲义）原卷版

第5讲四边形模块一：平行四边形一．多边形1、多边形：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形，叫做多边形．由n条线段组成的多边形就称为n边形（）．组成多边形的每一条线段叫做多边形的边．相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．2、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（）．3、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．对于多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和．多边形的外角和等于360°．二．平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2、平行四边形的性质：平行四边形性质定理1如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．简述为：平行四边形的对边相等．平行四边形性质定理2如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．简述为：平行四边形的对角相等．平行四边形性质定理3如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线相互平分．简述为：平行四边形的对角线互相平分．平行四边形性质定理4平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．3、平行四边形的判定平行四边形判定定理1如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理2如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理3如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理4如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．三．特殊的平行四边形1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角．矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等．菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等．菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角．3、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．夯实基础一、单选题1．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A．7对 B．6对 C．5对 D．4对2．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，，，已知，，那么等于（）．A． B． C． D．3．（2019·上海长宁区·）已知四边形的对角线相交于点，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）A． B．C． D．二、填空题4．（2019·上海九年级月考）如图，为平行四边形的对角线上一点，的延长线交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形:________________．5．（2020·上海九年级专题练习）我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1cosα的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为6．（2020·上海崇明区·九年级一模）如图，在中，，点在上，且，的平分线交于点，点是的中点，连结.若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为____.三、解答题7．（2019·上海九年级月考）如图，是平行四边形的边上一点，交的延长线于点若，求的长．8．（2020·上海黄浦区·九年级期末）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．（1）用、表示；（直接写出答案）（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．能力提升一、单选题1．（2021·上海市静安区实验中学九年级一模）如图，在中，点在边上，，，联结，与相交于点，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．2．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在梯形中，，对角线交于点是梯形的中位线，与分别交于点，如果的面积为，那么梯形的面积为（）A． B． C． D．二、填空题3．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在中，点分别在边、上，，将沿直线翻折后与重合，、分别与边交于点、，如果，，那么的长是_____．4．（2021·上海市静安区实验中学九年级一模）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形中，点在边上，如果、和都相似，那么点就是四边形的“强相似点”；如图2，在四边形中，，，，，如果点是边上的“强相似点”，那么___．5．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）如图，已知在平行四边形中，点E在边上，，联结交对角线于点O，那么的值为_____．6．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．7．（2018·上海宝山区·中考模拟）如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，如果△ABC的面积为S，那么以AD、BE、CF为边的三角形的面积是_____．8．（2019·上海九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=5cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=_____cm三、解答题9．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）已知：如图，在梯形中，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线于点F．（1）求证：；（2）如果，求证：线段是线段、的比例中项．10．（2021·上海青浦区·九年级期末）如图，在平行四边形中，，点、是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点．（1）求的长；（2）设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示）模块二：梯形梯形1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形的底：在梯形中，平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）．梯形的腰：在梯形中，不平行的两边叫做梯形的腰．2、直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．3、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．等腰梯形的性质及判定等腰梯形性质定理：（1）等腰梯形在同一底上的两个内角相等．（2）等腰梯形两条对角线相等．2、等腰梯形判定定理：（1）在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．（2）对角线相等的梯形是等腰梯形．梯形的中位线1、中位线：联接梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线．2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．夯实基础一、填空题1．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____．2．（2021·上海嘉定区·九年级期末）正方形的边长与其对角线长的比为________.3．（2020·上海虹口区·九年级二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BD＝BC，如果∠C＝50°，那么∠ABD的度数是_____．能力提升一、填空题1．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于_________．2．（2021·上海宝山区·九年级一模）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是，，要截得的正方形的边在上，顶点、分别在边、上，如果，，那么正方形铁皮的边长为______．3．（2020·上海杨浦区·九年级二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____．二、解答题4．（2020·上海市青浦区第一中学九年级期中）在四边形中，，平行于，，，点在线段上，联结，过点作，与交于