重难点01实数计算中的规律性问题（5种题型）

重难点01实数计算中的规律性问题（5种题型）探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．【考点剖析】一．数轴（共1小题）1．（2022秋•杭州期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的﹣2022所对应的点将与圆周上字母（）所对应的点重合．A．A B．B C．C D．D【分析】根据圆的周长得到，4个数字一个周期，然后从0开始，即出发的位置是点B，然后用2022除以4看余数即可．【解答】解：∵圆的周长为4个单位长度，∴4个数字为一个循环，点B与数字0对应，∴2022÷4＝505……2，即从B开始在转2次，∴﹣2022对应的字母是D．故选：D．【点评】本题考查数轴，能够注意到点B对应的是数字0是解答本题的关键．二．有理数的混合运算（共3小题）2．（2022春•海淀区校级期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，…利用以上运算的规律，写出f（n）＝1﹣（n为正整数），计算f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）＝．【分析】根据f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的运算方法，写出f（n）的表达式；再根据f（n）的表达式，代入f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100），计算即可．【解答】解：（1）∵，，，，…∴f（n）＝1﹣．f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）•••（1﹣）＝××ו••×＝．故答案为：1﹣；．【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．理解新运算，进而写出f（n）的表达式是解题的关键．3．（2022秋•拱墅区月考）观察下列运算过程：22＝2×2＝4，；，＝；…（1）根据以上运算过程和结果，我们发现：22＝；（）2＝；（2）仿照（1）中的规律，判断（）3与（）﹣3的大小关系；（3）求（﹣）﹣4×（）4÷（）﹣3的值．【分析】（1）观察计算过程即可得出结论；（2）利用题干中的方法解答即可得出结论；（3）利用以上的解题规律进行运算即可．【解答】解：（1）∵22＝2×2＝4，，∴；∵，＝，∴，故答案为：；；（2）（）3＝（）﹣3，理由：∵＝＝，＝＝，∴（）3＝（）﹣3．（3）原式＝×÷23＝×＝16×＝2．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是阅读型题目，利用题干中的方法和解答中发现的规律解答是解题的关键．4．（2021秋•台州期末）规定：若有理数a，b满足a﹣b＝ab，则a叫做b的“差积数”．例如：1﹣＝1×，那么1是的“差积数”；﹣1≠×1，可知不是1的“差积数”．请根据上述规定解答下列问题：（1）填表：有理数x3452x的“差积数”﹣﹣﹣﹣2（2）一个有理数的“差积数”等于这个数，求这个有理数；（3）若m为正整数，记m+1，m+2，m+3，…，m+2022这2022个数的“差积数”的积为A，试猜想A的值（用含有m的式子表示），并给出合理的猜想过程．【分析】（1）根据定义分别求出各自对应的“差积数”：（2）可设这个有理数为x，再由定义求出即可：（3）先解出前几项对应的差积数，观察找规律，总结一般结论再代入求值即可．【解答】解：（1）设3的积差数为x，y的积差数为﹣2，由题意可列：x﹣3＝3x，﹣2﹣y＝﹣2y，解得：x＝﹣，y＝2，故答案为：﹣：；2．（2）设这个有理数为a，由题意可列：a﹣a＝a2，解得：a＝0，答：这个有理数为0．（3）设m+1的差积数为b，由题意可列：b﹣（m+1）＝（m+1）b，解得：b＝，∴m+1的差积数是，同理：m+2的积差数是，则A＝＝＝1+．【点评】认真读题，理解差积数的含义，培养学生的阅读理解能力和知识迁移能力．，最后一问考查了学生由特殊到一般的数学思想．三．算术平方根（共2小题）5．（2022秋•鄞州区校级期中）（1）若a+b＝，则代数式（a+b）2的值为3．（2）如下是按规律排列的一列单项式：x，﹣x2，x3，﹣x4，x5，…则第10个单项式是﹣x10．【分析】（1）将a+b的值整体代入所求的代数式运算即可；（2）通过观察可得第n个单项式是（﹣1）n+1••xn，由此求解即可．【解答】解：（1）∵a+b＝，∴（a+b）2＝（）2＝3，故答案为：3；（2）∵x，﹣x2，x3，﹣x4，x5，…，∴第n个单项式是（﹣1）n+1••xn，∴第10个单项式是﹣x10，故答案为：﹣x10．【点评】本题考查数字的变化规律，整式的运算，熟练掌握整体代入思想求代数式的值，根据所给的单项式，探索出单项式的各项系数和指数的规律是解题的关键．6．（2023春•城区校级期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：①；②；③；④．根据以上算式的规律，解答下列问题：（1）13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225；（2）＝；（用含n的代数式表示）（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．【分析】（1）根据代数式所呈现的规律可得答案；（2）得出＝1+2+3+…（n﹣1）+n，再利用求和公式求出结果即可；（3）将原式化为（1）中的形式，利用简便方法求出结果即可．【解答】解：（1）∵＝1+2+3+4+5＝15，∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225，故答案为：1+2+3+4+5，225；（2）由（1）可得，＝1+2+3+…（n﹣1）+n＝，故答案为：；（3）由（2）得，113+123+133+…+193+203＝13+23+33+…+193+203﹣（13+23+33+…+93+103）＝＝44100﹣3025＝41075．【点评】本题考查算术平方根，列代数式，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键．四．规律型：数字的变化类（共19小题）7．（2022秋•北仑区期中）如图，在这个数运算程序中，若开始输入的正整数n为奇数，都计算3n+1；若n为偶数，都除以2．若n＝21时，经过1次上述运算输出的数是64；经过2次上述运算输出的数是32；经过3次上述运算输出的数是16；…；经过2022次上述运算输出的数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分别求出部分输出结果，发现第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，则经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，由此可求解．【解答】解：当n＝21时，经过1次运算输出的数是64，经过2次运算输出的数是32，经过3次运算输出的数是16，经过4次运算输出的数是8，经过5次运算输出的数是4，经过6次运算输出的数是2，经过7次运算输出的数是1，经过8次运算输出的数是4，经过9次运算输出的数是2，……∴第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，∵（2022﹣4）÷3＝672…2，∴经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过运算找到输出结果的循环规律是解题的关键．8．（2022秋•莲都区期中）对一组数（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y），且规定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））（n为大于1的整数），如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2），则P2022（1，﹣1）＝（）A．（0，21011） B．（21011，﹣21011） C．（0，﹣21011） D．（21011，21011）【分析】根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答．【解答】解：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝P1（P1（1，﹣1））＝P1（0，﹣2）＝（2，﹣2），P3（1，﹣1）＝P1（P2（1，﹣1））＝P1（2，﹣2）＝（0，4）＝（0，22），P4（1，﹣1）＝P1（P3（1，﹣1））＝P1（0，4）＝（4，﹣4）＝（22，﹣22），P5（1，﹣1）＝P1（P4（1，﹣1））＝P1（22，﹣22）＝（0，23），…，P2022（1，﹣1）＝（21011，﹣21011）．故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键．9．（2022秋•海曙区校级期中）将正偶数按下表排成5列：根据上面排列规律，则2022应在____________行，___________列．（）A．506；3 B．506；2 C．253；2 D．253；4【分析】通过观察发现，每8个偶数的位置循环一次，再由1011÷8＝126……3，可知2022在第4列，行数位于126×2+1＝253行，由此即可求解．【解答】解：由图可知，每8个偶数的位置循环一次，∵2到2022共有1011个偶数，∴1011÷8＝126……3，∴2022与6的列数相同，∴2022在第4列，∵126×2＝252，∴2022在第253行，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，探索出数的位置的循环规律是解题的关键．10．（2022秋•开化县校级月考）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为5，则第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，……，第2022次输出的结果为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】通过计算发现，从第二次开始每三次运算结果循环一次，则可得第2022次输出的结果与第2次输出的结果相同，由此求解即可．【解答】解：第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，第3次输出的结果为2，第4次输出的结果为1，第5次输出的结果为4，……∴从第二次开始每三次运算结果循环一次，∵（2022﹣1）÷3＝673……2，∴第2022次输出的结果为2，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．11．（2022秋•慈溪市月考）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2021的点与正方形上的数字对应的是（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】求出2021与﹣1的距离是2022个单位，再去确定2022是正方形旋转252圈余6个单位长度，则可知2021与6对应．【解答】解：∵正方形的周长为8个单位，∴正方形的边长为2个单位，由旋转可知，正方形旋转一周是8个单位长度，∵2021与﹣1的距离是2022个单位，又∵2022÷8＝252……6，∴正方形旋转252圈余6个单位长度，∴2021与6对应，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算确定2021与﹣1的距离与正方形周长的关系是解题的关键．12．（2021秋•北仑区期末）观察下列各式：﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，…，则第n个式子是（）A．﹣2n﹣1xn B．（﹣2）nxn C．﹣2nxn D．（﹣2）n﹣1xn【分析】通过观察可知系数为﹣2的n次方，x的次数为自然数，由此可得第n个式子为（﹣2）nxn．【解答】解：∵﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，…，∴第n个式子为（﹣2）nxn，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给单项式，探索出式子的一般规律是解题的关键．13．（2021秋•嘉兴期末）已知一列数a1，a2，a3，…，满足am•an＝am+n（m，n为正整数）．例如：a1•a2＝a1+2＝a3，a2•a2＝a2+2＝a4．若a1＜0，a2＝4，则a2021的值是（）A．4042 B．﹣22020 C．22021 D．﹣22021【分析】分别求出a1＝﹣2，a2＝4，a3＝﹣8，a4＝16，…，可得一般规律an＝（﹣2）n，即可求a2021＝﹣22021．【解答】解：∵a2＝4，∴a1•a2＝a1+2＝a3＝4a1，a2•a2＝a2+2＝a4＝16，∵a1•a3＝a1+3＝a4，∴4a12＝16，∴a1＝±2，∵a1＜0，∴a1＝﹣2，∴a3＝﹣8，a4＝16，…，∴an＝（﹣2）n，∴a2021＝﹣22021，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的条件，通过计算，探索出数的一般规律是解题的关键．14．（2022秋•浦江县月考）求1+2+22+23+…+22018的值，可令S＝1+2+22+23+…+22018，则2S＝2+22+23+…+22019，因此2S﹣S＝22019﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52018的值为（）A．52019﹣1 B．52018﹣1 C． D．【分析】直接根据已知条件中的示例，设所求式子为S，在所求式子中都乘以5得到一个新的式子，然后两个式子相减，从而求出所求问题．【解答】解：设S＝1+5+52+53+•••••+52018，则5S＝5+52+53+54+••••••+52019．∴5S﹣S＝52019﹣1，∴S＝．故选：D．【点评】本题主要考查同底数幂的运算及技巧性求复杂数式的值的方法，解题的关键是根据所求问题灵活运用各种运算规律．15．（2022秋•东阳市期中）正整数按如图的规律排列，请写出：（1）第3行，第6列的数字是28；（2）正整数2022在第45行，第4列．【分析】（1）根据所给的数，确定第六列的第一个数是26，再求解即可；（2）通过观察发现每行的第一个数n2，确定第45行的第一个数是2025，再求解即可．【解答】解：（1）由图可知，第六列的第一个数是26，∴第3行，第6列的数字是28，故答案为：28；（2）每行的第一个数n2，∴第45行的第一个数是2025，∵2025﹣2022＝3，∴2022在第45行第4列，故答案为：45，4．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每行第一个数的规律是解题的关键．16．（2022秋•西湖区校级期中）观察下面算式，探索规律并解答问题：1+3＝4，1+3+5＝9，1+3+5+7＝16，1+3+5+7+9＝25．（1）计算，1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝n2；（2）请用上述规律计算：79+81+83+85++197+199＝8479．【分析】（1）通过观察所给的等式，可得1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝n2；（2）由（1）的规律，将等式变形为（1+3+5+……+77+79+81+83+85++197+199）﹣（1+3+5+……+77）再求解即可．【解答】解：（1）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝（）2＝n2，故答案为：n2；（2）79+81+83+85++197+199＝（1+3+5+……+77+79+81+83+85++197+199）﹣（1+3+5+……+77）＝1002﹣392＝8479，故答案为：8479．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式结果的一般规律，并能灵活应用该规律计算是解题的关键．17．（2022秋•义乌市校级期中）小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关．按此规律，当输入9时，输出结果为76a13b42，从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有674个．输入12345678…输出a3b24ab27ab411a2b618a3b1029a5b1647a8b26…【分析】通过观察输出结果，得到当输入的数是3n+1时，输出项的系数与次数均为奇数，再由2022÷3＝674，即可求解．【解答】解：输入1，得到a，项的系数与次数均为奇数，输入2，得到3b2，项的系数与次数不都为奇数，输入3，得到4ab2，项的系数与次数不都为奇数，输入4，得到7ab4，项的系数与次数均为奇数，输入5，得到11a2b6，项的系数与次数不都为奇数，输入6，得到18a3b10，项的系数与次数不都为奇数，输入7，得29a5b16，项的系数与次数均为奇数，……∴当输入的数是3n+1时，输出项的系数与次数均为奇数，∵2022÷3＝674，∴从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有674个，故答案为：674．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的输出结果，探索出输出项的系数与次数均为奇数时，输入数的规律是解题的关键．18．（2022秋•鄞州区校级期中）按上面数表的规律，得下面的三角形数表：（1）上表中，第九行有9个算式，第九行最中间的算式是24+29．（2）把下表中的数从小到大排成一列数：3，5，6，9，10，12，…则第15个数是48．【分析】（1）通过观察可得第九行有9个算式，每一行的每个算式的第一个数的排列是20，21，22，…，2n﹣1，第二个数都是2n，由此求解即可；（2）先确定第15个数所在的位置，再根据（1）的规律进行求解即可．【解答】解：（1）第一行1个算式，第二行2个算式，第三行3个算式，第四行4个算式，……，∴第九行有9个算式，∵每一行的每个算式的第一个数的排列是20，21，22，…，2n﹣1，第二个数都是2n，∴第九行最中间的算式是24+29，故答案为：9，24+29；（2）∵3，5，6，9，10，12，…，∴第15个数是第五行第5个数，∴第15个数是24+25＝48，故答案为：48．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的算式的排列，探索出每一行数的排列规律是解题的关键．19．（2022秋•余杭区校级月考）已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，将这列数排成下列形式：第1行1第2行﹣2，3第3行﹣4，5，﹣6第4行7，﹣8，9，﹣10第5行11，﹣12，13，﹣14，15…按照上述规律排下去，那么第10行从右边数第5个数为51．【分析】通过观察可得第n行有n个数，求出前9行45个数，可知第10行的第一个数是﹣46，再求解即可．【解答】解：第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，……，∴第n行有n个数，∴前9行有×9＝45个数，∴第10行的第一个数是﹣46，∴第10行从右边数第5个数为51，故答案为：51．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察数的排列规律，探索出每行数的个数的规律是解题的关键．20．（2021秋•缙云县期末）如图，某学校图书馆把WIFI密码做成了数学题．小红在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么她输入的密码是404888．【分析】通过观察发现：第一个两位数是5×8＝40，第二个两位数是6×8＝48，第三个两位数是40+48＝88，由此可求密码．【解答】解：∵5*2⊕6＝301242，2*6⊕9＝185472，8*3⊕4＝321244，∵5×6＝30，2×6＝12，（5+2）×6＝42，2×9＝18，6×9＝54，（6+2）×9＝72，8×4＝32，3×4＝12，（8+3）×4＝44，∴5*6⊕8＝404888，故答案为：404888．【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给的式子，探索出数字之间的联系是解题的关键．21．（2021秋•临海市月考）计算：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝1010．【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可．【解答】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020]＝1+1+…+1＝1010，故答案为：1010．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，分组进行求解是解题的关键．22．（2022秋•拱墅区校级月考）如图，将一列有理数按如下规律排列，请回答下列问题：（1）在A，B，C三个数中，其中表示负数的是B；（2）若A，B，C，D，E均表示对应的有理数，A+B+C+D的值是﹣2；（3）数﹣2020对应A，B，C，D，E中的什么位置？并说明理由．【分析】（1）通过观察发现，A点表示的数与1的正负性相同，B点表示的数与﹣2的正负性相同，C点表示的数与3的正负性相同，由此求解即可；（2）由（1）可求A+B+C+D的值是﹣2；（3）通过观察发现，每6个数是一组循环，由此求解即可．【解答】解：（1）A点表示的数与1的正负性相同，B点表示的数与﹣2的正负性相同，C点表示的数与3的正负性相同，∴B表示负数，故答案为：B；（2）由（1）知，D点表示的数与﹣4的正负性相同，∵1+（﹣2）+3+（﹣4）＝﹣2＜0，∴A+B+C+D的值是﹣2，故答案为：﹣2；（3）由图可知，每6个数是一组循环，∵2020÷6＝336……4，∴﹣2020与D点的位置相对应．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出数字的循环规律是解题的关键．23．（2022秋•义乌市校级月考）观察下面的等式：﹣1＝﹣|﹣+2|+44﹣1＝﹣|﹣1+2|+42﹣1＝﹣|1+2|+4﹣1＝﹣|+2|+4﹣1﹣1＝﹣|4+2|+4…回答下列问题：（1）填空：﹣3﹣1＝﹣|6+2|+4；（2）已知：0﹣1＝﹣|x+2|+4，则x的值是3；（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并直接写出此时的等式．【分析】（1）找出各式的规律，利用规律解答即可；（2）利用（1）中的规律解答即可；（3）利用（1）中的规律列出不等式，从而求得最大值，利用（1）中的规律写出当时即可．【解答】解：∵﹣1＝﹣|3﹣+2|+4＝﹣|﹣+2|+4，4﹣1＝﹣|3﹣4+2|+4＝﹣|﹣1+2|+4，2﹣1＝﹣|3﹣2+2|＝﹣|1+2|+4，﹣1＝﹣|3﹣+2|+4＝﹣|+2|+4，﹣1﹣1＝﹣|3﹣（﹣1）+2|+4＝﹣|4+2|+4，•••∴a﹣1＝﹣|3﹣a+2|+4，∴6＝3﹣（﹣3），∴﹣3﹣1＝﹣|3﹣（﹣3）+2|+4＝﹣|6+2|+4，故答案为：﹣3；（2）∵0﹣1＝﹣|3﹣0+2|+4＝﹣|x+2|+4，∴x＝3，故答案为：3；（3）∵y﹣1＝﹣|3﹣y+2|+4，∴|5﹣y|＝5﹣y，∴5﹣y≥0，∴y≤5，∴y的最大值为5，此时的等式为：5﹣1＝﹣|﹣2+2|+4．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，绝对值，本题是规律型题目，依据各式的特征找出规律是解题的关键．24．（2021秋•临海市期末）观察下面三行数；﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；③（1）第①行第8个数为256；第②行第8个数为258：第③行第8个数为128．（2）是否存在这样一列数，使三个数的和为322？若存在，请写出这3个数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①后一个数是前一个数的﹣2倍，②的数的规律是在①每个对应数加2，③后一个数是前一个数的﹣2倍，由此可求解；（2）通过观察可得规律：①的第n个数是（﹣2）n，②的第n个数是（﹣2）n+2，③的第n个数是（﹣1