考点03一次方程（组）与不等式（组）（原卷版）

考点03一次方程（组）与不等式（组）一次方程（组）与不等式（组）主要内容包括：等式的性质、一元一次方程的概念与解法、一元一次方程的应用、二元一次方程（组）的概念和解法、二元一次方程（组）的应用、不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法以及一元一次不等式（组）的应用，在江苏省各地的中考中，选择、填空和解答题中都有考查，在选择题和填空题中主要以等式与不等式的性质、一次方程（组）与一次不等式（组）的概念为主，解答题中主要是对一次方程（组）与一次不等式（组）的解法与应用进行考查。一、一元一次方程；二、二元一次方程（组）；三、一元一次不等式（组）。四、列方程（组）或不等式（组）解应用题。考向一：一元一次方程（一）等式性质1.若2.若a=b，则ac=bc(用于解方程中的去分母），3.对称性：若a=b，则b=a4.传递性：若a=b，b=c，则b=c。（二）一元一次方程的有关概念2．方程:含有未知数的等式叫做方程．3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．4．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为．注意：x前面的系数不为0．5．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．（三）解一元一次方程的步骤1.去分母：不要漏乘不含分母的项（尤其是常数项），分子是多项式时注意添括号；2.去括号：方程中有括号时，先去括号，若括号前时负号，去括号内各项均要变号；3.移项：移项要变号；4.系数化为1：等号两边同除以未知数的系数。1．如果，那么下列比例式成立的是（

）A． B． C． D．2．若是一元二次方程的解，则（

）A． B． C．1 D．03．已知2是关于的方程的根，则的值为（

）A． B．4 C．2 D．54．解一元一次方程：5．（2022·四川广元·二模）解方程．考向二：二元一次方程（组）1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．3．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．1．已知满足，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．若关于x，y的方程x2m﹣1+4yn+2＝6是二元一次方程，则m，n的值是（）A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m＝，n＝－ D．m＝－，n＝3．如果|x+y1|和2（2x+y3）²互为相反数，那么x,y的值为（

）A． B． C． D．4．解方程组：．5．解方程组：．考向三：一元一次不等式（组）1．不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2．不等式的基本性质性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。即：若，则。性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；即：若，，则或。性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；即：若，，则或。3．不等式的解集及表示方法（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．4．一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．5．解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．6．一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组．7．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．8．一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．9．几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：不等式组（其中）数轴表示解集口诀同大取大同小取小大小、小大中间找无解大大、小小取不了1．已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数有（

）A．2 B．3 C．4 D．52．如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的和是（）A．7 B．6 C．5 D．43．一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（

）A． B．C． D．4．若关于的方程的解为负数，且关于的不等式组有解但最多有4个整数解，则所有满足条件的整数的和是（

）A． B． C． D．5．（2022·浙江·北大附属台州书生学校二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．考向四：列方程（组）或不等式（组）解应用题1．列方程（组）解应用题的一般步骤审题设出未知数列出含未知数的等式——方程解方程（组）检验结果答（不要忽略未知数的单位名称）．2．列不等式（组）解决实际问题列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：审题设未知数列不等式(组)解不等式(组)检验并写出答案．3．一次方程（组）和不等式（组）常见的应用题型（1）销售打折问题：利润售价成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度水流速度．1．我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？则该问题的井深是（）尺．A．6 B．8 C．9 D．122．老牛和小马各驮几个包裹一同赶路，老牛驮的包裹数比小马的多2个，若从小马驮的包裹中拿下1个包裹给老牛，则老牛驮的包裹数是小马驮的包裹数的2倍，问老牛和小马各驮了几个包裹？小南准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程为（）A．

B． C． D．

3．某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．为预防疫情反弹，某地区开展了新一轮全员核酸检测．10月15日，人民医院派出甲、乙两支核酸检测队共26人赶赴某中学进行核酸采样，当天共采样10640人．已知甲检测队平均每人每天采样420人，乙检测队平均每人每天采样400人．(1)求甲、乙两支检测队各有多少人？(2)10月16日，医院继续派出甲、乙两支检测队分别前往花园小区、白云小区进行核酸采样，由于白云小区居民人数较多，医院决定从甲检测队中抽调部分人员到乙检测队，经调查发现，甲检测队每减少2人，人均每天采样量增加10人，乙检测队人均每天采样量不变．两支检测队当天共采样10720人，求从甲检测队中抽调了多少人到乙检测队？5．（2022·湖南·长沙市南雅中学一模）长沙县为加快新农村建设，建设美丽乡村，对A，B两类村庄进行了全面改建．根据预算，改建一个A类美丽宜居村庄和一个B类美丽宜居村庄共需资金600万元；改建2个A类美丽宜居村庄和5个B类美丽宜居村庄共需资金1950万元．(1)改建一个A类美丽宜居村庄和一个B类美丽宜居村庄所需资金分别是多少万元？(2)黄兴镇拟改建A类、B类美丽宜居村庄共10个，投入资金不超过2960万元，最多改建A类美丽宜居村庄多少个？1．（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足，．则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．a，b，c不可能同时相等 D．若，则2．（2022·重庆·三模）下列四种说法中正确的有（

）①关于x、y的方程存在整数解．②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数．③若，则．④若，则．A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④3．（2022·云南师范大学实验中学三模）若整数使关于的方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是（

）A．6 B．7 C．9 D．104．文具店销售某种书袋，每个12元，王老师计划去购买这种书袋若干个．结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，总价钱会便宜24元”．王老师说：“那就多买一个吧，谢谢！”根据两人的对话可求得王老师原计划要购买书袋（

）个A．28 B．29 C．30 D．315．我国古代《孙子算经》中有道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有一些人坐车，如果每车坐三个人，则还剩余二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行，问共有多少人？几辆车？设共有x人，y辆车，则下列符合题意的方程组是（）A． B．C． D．6．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（

）A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、47．（2022·黑龙江·佳木斯市第五中学一模）小明要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，40元钱全部用尽，A型每个6元，B型每个4元，则小明的购买方案有（

）种．A．2种 B．3种 C．4种 D．5种8．（2022·广西玉林·二模）下列数值不是不等式组的整数解的是（

）A． B． C．0 D．19．定义一种运算：，现有两个满足该运算条件的式子：和，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．10．（2022·云南·昆明八中模拟）已知关于x的不等式组恰有4个整数解，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．11．（2022·河北保定·二模）一个数的平方根是和，则_________，这个正数是_________．12．（2022·湖北武汉·模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿，每人分6竿，多14竿；每人分8竿，恰好用完．竹竿共有______竿．13．（2022·宁夏·银川市第九中学二模）已知，满足方程组，则的值为______．14．（2022·河南南阳·二模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围______．15．（2022·云南·昆明八中模拟）如果x，y满足，则代数式的值为_______．16．（2022·甘肃庆阳·二模）已知，关于x，y的二元一次方程组的解为，则2a－b＝______．17．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟）关于x的不等式组的整数解是______．18．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校模拟）不等式组的整数解是______．19．解一元一次方程：20．（2022·四川广元·一模）解方程：．21．（2022·福建漳州·模拟）解方程组：22．（2022·广东·珠海市紫荆中学桃园校区三模）解下列方程组23．（2022·宁夏·银川市第九中学二模）解不等式组：24．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学三模）解不等式组：25．（2022·广西玉林·二模）疫情期间，消毒液、口罩成为了咱们的生活必需品．淘宝某医用器械药房推出2种口罩进行销售，医用一次性口罩2.5元/个，医用外科口翠3元/个．(1)某地某学校购进两种口罩25000个，共花费70000元，请问学校购买医用外科口罩多少个？(2)因为4月份疫情逐渐过去，但口罩的市场需求盘依旧旺盛，该药房决定用320000元再次购进一批口罩进行销售．医用一次性口罩100个/盒，每盒120元，医用外科口罩50个/盒，每盒100元．要求购进的医用外科口罩个数不超过医用一次性口罩的2.6倍，但不低于医用一次性口罩的1.9倍．若这批口罩全部销售完毕，为使获利最大，该药房应如何进货？最大获利为多少元？26．（2022·浙江丽水·三模）电信公司推出移动A，两种套餐计费方法，收费标准如下表，一个月累计通话时间记为（分）．A计费方法计费方法月租费（元/月）5888不加收通话费时限（分）150350超时部分加收通话费标准（元/分）0.250.20(1)若，则选用哪种套餐话费少？通过计算说明．(2)当时，按这两种计费方法，所需的话费会相等吗？若会，求的值；若不会，说明理由．(3)用A套餐时，一个月累计通话时间410分所需的话费，若改用套餐，则可多通话多少分钟？27．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟）为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），购买1个足球和1个篮球共需170元；足球单价是篮球单价的2倍少10元．(1)求足球和篮球的单价各是多少元？(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1600元，学校最多可以购买多少个足球？28．（2022·河南省实验中学一模）进入2022年，“一带一路”的朋友圈越来越大，为许多企业的发展带来了新的机遇．某公司生产甲、乙两种机械设备，每台乙种设备的成本是甲种设备的1.5倍；公司若生产4台甲种设备、6台乙种设备，共需成本52万元．(1)甲、乙两种设备每台的成本分别是多少万元？(2)若甲、乙两种设备每台的售价分别是6万元、10万元，公司决定生产这两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且甲种设备至少生产55台，则该公司有几种生产方案？29．（2022·江苏泰州·二模）某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共120个，花去3350元，这两种吉祥物的进价、售价如表：进价（元/个）售价（元/个）冰墩墩3045雪容融2535(1)求冰墩墩、雪容融各购进了多少个？(2)售卖中途由于冰墩墩受到广大游客的喜爱被一抢而空，商家又紧急购进了一批冰墩墩，最后和雪容融一起被卖完．若已知商家最后获取的利润不少于4050元，请问商家第二次至少购进了多少个冰墩墩？30．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学三模）哈市某家电商场计划一次性购进A、B两种型号洗衣机80台．经预算：若购进A型号洗衣机50台、B型号洗衣机30台，则需55000元；若购进A型号洗衣机30台、B型号洗充机50台，则需65000元．(1)求A、B两种型号的洗衣机的进价各为多少元．(2)若每台A型号洗衣机售价550元，每台B型号洗衣机售价1080元，该商场计划销售完这80台洗衣机总利润超过5200元，则最多购进A型号洗衣机多少台？1．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏扬州·中考真题）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题，如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（

）A． B． C． D．4．（2022·江苏宿迁·中考真题）如果，那么下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．5．（2022·江苏无锡·中考真题）二元一次方程组的解为________．6．（2022·江苏淮安·中考真题）解不等式组：，并写出它的正整数解．7．（2022·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：；（2）解不等式组：．8．（2022·江苏宿迁·中考真题）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为元；乙超市的购物金额为元；(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？9．（2022·江苏淮安·中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元．(1)求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？10．（2022·江苏苏州·中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：进货批次甲种水果质量（单位：千克）乙种水果质量（单位：千克）总费用（单位：元）第一次60401520第二次30501360(1)求甲、乙两种水果的进价；(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．1．（2022·江苏苏州·二模）小明如果以5km/h的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以6km/h的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为xkm，那么可列方程为（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏淮安·一模）已知方程组，则的值是（

）A． B．2 C． D．43．（2022·江苏·星海实验中学二