集合与常见逻辑用语知识点与题型总结

【题型1集合的基本概念】1．下列命题中正确的有（

）．①很小的实数可以构成集合；②R表示一切实数组成的集合；③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集；④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误；对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确；对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误；对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确．故选：C．2．下列研究的对象能构成集合的是（

）A．我不喜欢的人 B．高大的山C．好吃的西瓜 D．中国所有的级景区【答案】D【详解】由于我不喜欢的人，高大的山，好吃的西瓜，都不具有确定性，故不能构成集合，只有中国所有的级景区能构成集合.故选：D3．下列各组对象中不能组成集合的是（

）．A．2023年男篮世界杯参赛队伍 B．中国古典长篇小说四大名著C．高中数学中的难题 D．我国的直辖市【答案】C【详解】A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合，选项C高中数学中的难题，怎样算难题不能确定，不能组成集合，故选：C．【题型2判断元素与集合的关系】1．已知集合，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由元素与集合的关系可知：若集合，则.故选：B.2．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（

）A．4 B．2 C．3 D．5【答案】A【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；对于②，因为是无理数，所以，所以②错误；对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确；对于④，因为，所以④正确；对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确；对于⑥，因为，所以⑥错误.故选：A.3．已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】当、均为正数时，代数式；当、为一正一负时，代数式或；当、均为负数时，代数式，故集合，故选：B.4．已知集合，则与集合的关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，所以与集合的关系为.故选：B.5．下列关系中，正确的个数为（

）①；②；③；④；⑤；⑥.A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【详解】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确；在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误；在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3.故选：D.【题型3利用集合中元素的特异性求参数】1．已知集合，且，则实数的值为（

）A．2 B．3 C．0 D．-2【答案】B【详解】若，则，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去；若，解得或，若，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去；若，则，符合题意.故选：B.

2．已知集合，若，则实数的值为（

）A．2 B． C．2或 D．4【答案】B【详解】由，若，则，不符合集合元素的互异性；若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性；若，即，则不符合集合元素的互异性.故.故选：B.3．已知，则的取值为（

）A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【答案】C【详解】由元素和集合关系可知：x=1或x=2或，解的x=0或或，由集合的性质可知，当x=1时，不满足互异性，所以的取值为或.故选：C.4．已知集合，若，则a的值可能为（

）A．，3 B． C．，3，8 D．，8【答案】D【详解】由题意若，解得或，若，解得，当时，满足题意，当时，违背了集合中元素间的互异性，当时，满足题意，综上所述，a的值可能为，8.故选：D.

5．已知集合，，则（

）A． B．或1 C．3 D．【答案】D【详解】因，，故有：或，由解得：或，由解得：，又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意.故选：D.【题型4用列举法表示集合】1．将集合用列举法表示，正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】，当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；；，故选：D．2．集合用列举法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，解得，所以.故选：C3．集合用列举法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由得，则．故选：C【题型5用描述法表示集合】1．用适当的方法表示下列集合：(1)方程的所有解组成的集合A；(2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B；(3)一年中有31天的月份的全体；(4)所有能被3整除的数的集合；(5)不等式的解集.【答案】(1)(2)(3){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}(4)(5)【详解】（1）求出根，运用列举法，（2）根据点的规律，运用描述法，.（3）写出大月份，列举法，{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}.（4）根据整除特征，运用描述法．（5）解出不等式，运用描述法.解集为3．用描述法表示下列集合：(1)不等式的解组成的集合；(2)函数的图象上所有的点组成的集合.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为不等式的解组成的集合为，则集合中的元素是数，设代表元素为x，则x满足，所以，即.（2）函数的图象上所有的点组成的集合是.4．用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的所有自然数组成的集合；(2)比1大又比10小的所有实数组成的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为；（2）比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为；（3）平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为.

5．选择适当方法表示下列集合：(1)方程的解构成的集合；(2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合；(3)不等式的解构成的集合；(4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合；(5)方程组的解构成的集合．【答案】(1)(2)且(3)(4)(5)或【详解】（1）由，解得或，所以方程的解构成的集合可表示为；（2）在自然数集内，小于的奇数构成的集合可表示为且；（3）由，解得，则不等式的解构成的集合可表示为；（4）大于且不大于的自然数有，，，，，，所以大于且不大于的自然数的全体构成的集合可表示为；（5）由，解得，所以方程组的解构成的集合可表示为或；

【题型6子集、真子集的概念】1．已知集合，则下列表述正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由,得,所以，故C正确；对于A,故A错误；对于B,,故B错误；对于D,故D错误.故选：C.2．下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于选项A：因为0是元素，是自然数集，则，故A错误；对于选项B：因为与都是集合，且的元素为数值，用表示两集合关系不对，故B错误；对于选项C：因为是整数集，则，可知，故C正确；对于选项D：因为是有理数集，则，故D错误；故选：C.3．设集合，，，则下列关系中正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】，，中的元素为点，故，故选：B4．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（

）A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥【答案】C【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；对②：因为集合，故正确，即②正确；对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确；对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；对⑥：显然成立，因此⑥正确．综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C．故选：C．5．已知集合，则下列表述正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】表示是的含义是正奇数除以4，表示的含义是整数除以4,所以，故选：C.

【题型7集合的相等与空集】1．下列正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误；选项，中没有任何元素，即，则错误；选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误；选项，元素为集合中的元素，即，则正确；故选：D.2．下列关于0与说法不正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确；对于选项B：，故B正确；对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确；故选：C.3．（多选）下列集合中，与集合相等的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】A选项，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，C错误；D选项，只有当和时，，故，D正确.故选：BD4．（多选）给出以下几组集合，其中相等的集合有（

）A．B．C．D．【答案】BC【详解】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合；对于选项B,,都表达的是奇数集，所以是相等集合；对于选项C，,所以是相等集合；对于选项D,是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合.故选：BC.5．（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】为点集，为数集，所以，故A错误；，，所以，故B错误；，，所以，故C正确；，，所以，故D正确；故选：CD

【题型8集合间关系的判断】1．若，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D.2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得，所以.故选：A3．已知集合，则有（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知，，从而，不是的子集.故选：C.4．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，故，故选：B5．下列能正确表示集合和关系的是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】易知，显然，且互不包含.故选：A【题型9有限集合子集、真子集的确定】1．设集合，则集合的真子集个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【详解】由且可知，可以取，则可取，即，故集合的真子集个数为.故选：C.2．已知集合，则集合的真子集的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【详解】集合，其真子集有：，，，，，，，共7个.故选：C

3．满足集合为的真子集且的集合的个数是（

）A．6 B．7 C．8 D．15【答案】B【详解】因为集合，则集合可以为，，，，，，共7个，故选：B4．集合的子集个数为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【详解】由题意，得,故集合A子集个数为个.故选：D.5．若集合，，则集合B的真子集个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个.故选：C【题型10利用集合间的关系求参数】1．设集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，若，则.故选：C.2．已知，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，且，若，则，故选：D3．设集合，若，则（

）A．2 B． C．1 D．0【答案】D【详解】因为，所以.当时，，此时，舍去；当时，，此时，符合题意.故选：D4．设集合，，若，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，；由可以推出，所以，a的取值范围是．故选：A.5．已知集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，①时，，解得；②时，则有，解得.综上，m的取值范围是.故选：D.【题型11并集的运算】1．设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得.故选：A.2．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由于，所以，故选：B3．若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，无解；由，解得；由，解得，所以,所以.故选:C.4．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以．故选：A．

5．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，在数轴上表示出集合，如图所示，则.故选：D.【题型12交集的运算】1．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】,故选：C.2．设集合，，则集合（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】集合，，所以.故选：A3．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以．故选：B.4．已知集合，，则（

）A．． B．C． D．【答案】B【详解】解：由，解得：，即，故．故选：B.5．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，，当时，，所以，所以.故选：A.【题型13由集合的并集、交集求参数】1．已知集合，，若，则整数的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【详解】因为不等式或，解得或，所以或，因为，所以，解得，则整数的值为，故选：A2．设集合．若，则（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】因为，所以，所以．由，得或；由得，所以．此时符合题意，故选：B．3．已知集合，若，则（

）A．3 B．2 C．1 D．1或3【答案】C【详解】由题意知：对于集合B，当时，；当时，；当时，；又，故，则，若，则，此时，不满足；若，此时，满足，故，故选：C4．设集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由集合，，因为，则满足.故选：D.5．已知集合，，若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，或，解得或.当时，，则，满足题意；当时，，则，不满足题意；综上所述，.故选：C.【题型14补集的运算】1．设全集，集合满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为全集，所以，根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确．故选：C．2．设全集，集合满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，所以.故选：B.3．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】集合，，故.故选：C4．已知全集，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，，所以.故选：D

5．已知全集，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为全集，，，∴，则．故选：D．【题型15交集、并集、补集的综合运算】1．已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】集合，，，，故选：D．2．已知集合，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】集合，，∴，则．故选：B．3．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据题意，，则，故选：B.4．已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，则.故选：C.5．设全集是实数集R，，，则等于 （）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，因为，所以.故选：A.【题型16利用集合间的关系求参数】1．已知集合，，且.(1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，又由题知，所以，解得，故的取值范围是.（2）由于，又，所以，所以，当时，一定有，要想满足，则要满足，解得，故时，，故的取值范围是2,4.2．设全集为R，集合，．(1)分别求，；(2)已知，若，求实数a的取值范围．【答案】(1)或(2)【详解】（1）因为，，则，可得或，所以或（2）因为，可知，且，可得，解得，所以实数a的取值范围为3．设全集为R，集合，．(1)分别求，；(2)已知，若，求实数a的取值范围．【答案】(1)或或(2)【详解】（1）因为，，则，可得或，所以或或.（2）因为，可知，且，可得，解得，所以实数a的取值范围为.4．已知全集为R，集合，．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)．【详解】（1）当时，，，所以；（2），因为，又因为，所以且，解得，．5．已知集合或x>2，．(1)求，；(2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围．【答案】(1)，或x≥4(2)或【详解】（1），则，，或，∴或；（2）∵集合是集合的真子集，∴或，解得或．

【题型17充分条件、必要条件及充要条件的判定】1．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【详解】四边相等的四边形不一定是正方形，可能是菱形，但是正方形的四边一定相等，故“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要而不充分条件.故选：B2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】，又，即，但，如时满足，但.故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3．已知集合，则是的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．既不充分又不必要条件 D．充要条件【答案】A【详解】若，则且，所以或，故当时有，而时，不一定是，故是的充分而不必要条件.故选：A.4．设，则“且”是“”的（

）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若且，则，即充分性成立；若，例如，满足，但不满足且，即必要性不成立；综上所述：“且”是“”的充分不必要条件.故选：A.5．褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由“甲是马鸡”不能推出“甲是褐马鸡”，由“甲是褐马鸡”可推出“甲是马鸡”，所以“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的必要不充分条件.故选：B【题型18充分条件、必要条件及充要条件的探索】1．下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，是的不充分不必要条件，A不是；对于B，是的一个必要不充分条件，B是；对于C，是的一个充分不必要条件，C不是；对于D，是的一个充分不必要条件，D不是.故选：B

2．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为一元二次方程有实根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A3．已知，则“”的一个充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A：即，因为，所以不一定成立，故A错误；对于B：即，因为，所以不一定成立，故B错误；对于C：即，因为，所以不一定成立，故C错误；对于D：即，则成立，故D正确.故选：D.4．一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知一元二次方程的两根为，要使得方程有一个正实根和一个负实根，需，结合选项知，只有，即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是，故选：C

5．的一个充要条件是（

）A． B．C．， D．，【答案】A【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意；由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件；选项C和D都为的既不充分也不必要条件.故选：A.【题型19由充分条件、必要条件求参数】1．已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）已知集合，．当时，，或又，；（2）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，又，，所以，所以；当时，是的真子集；当时，也满足是的真子集，综上所述：．2．已知集合，或.(1)当时，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)或，(2)【详解】（1）当时，集合，又或，则，或；.（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，⫋，则解得，故的取值范围是.3．已知集合、集合（）.(1)若，求实数的取值范围；(2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知，又，当时，，解得，当时，，或，解得，综上所述，实数的取值范围为；（2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，当时，，解得，当时，（等号不能同时成立），解得，综上所述，实数的取值范围为.4．已知集合，，全集.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，集合，则或，所以.（2）若“”是“”的必要条件，则，因为，则，可知，可得，解得，所以实数的取值范围.5．已知p:关于x的方程有实数根，．(1)若命题是假命题，求实数a的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为命题是假命题，则命题是真命题，即关于的方程有实数根，因此，解得，所以实数的取值范围是.（2）由（1）知，命题是真命题，即，因为命题是命题的必要不充分条件，则，因此，解得，所以实数的取值范围是.【题型20全称量词命题与存在量词命题的真假】1．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有的素数是偶数；(2)，．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）命题的否定：所有的素数都不是偶数．由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题．（2）命题的否定：，．因为当时，，所以此命题的否定为假命题．2．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)对每一个无理数x，也是无理数．(2)末位是零的整数，可以被5整除．(3)，有.(4)有的集合中不含有任何元素．(5)存在对角线不互相垂直的菱形．(6)，满足.(7)有些整数只有两个正因数．【答案】(1)全称量词命题，假命题(2)全称量词命题，真命题(3)全称量词命题，假命题(4)存在量词命题，真命题(5)存在量词命题，假命题(6)存在量词命题，真命题(7)存在量词命题，真命题【详解】（1）是全称量词命题，因为是无理数，但是有理数，所以“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．（2）是全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．（3）是全称量词命题，当时，不满足，所以“，有”为假命题．（4）是存在量词命题，由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．（5）是存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形，因此“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．（6）是存在量词命题，，有，因此“，”是真命题．（7）是存在量词命题，由于存在整数3只有正因数1和3，所以“有些整数只有两个正因数”为真命题．3．写出下列命题的否定：(1)有些四边形有外接圆；(2)末位数字为9的整数能被3整除；(3)，．【答案】(1)所有的四边形都没有外接圆．(2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．(3)，．【详解】（1）由命题的否定的定义可知，“有些四边形有外接圆”的否定是“所有的四边形都没有外接圆”．（2）由命题的否定的定义可知，“末位数字为9的整数能被3整除”的否定是“存在一个末位数字为9的整数不能被3整除”.（3）由命题的否定的定义可知，“，”的否定是“，”.

4．用量词符号“”表述下列命题．(1)有些整数既能被整除，又能被整除；(2)某个四边形不是平行四边形．【答案】(1)，既能被整除，又能被整除；(2)，不是平行四边形．【详解】