专题01全等模型-倍长中线与截长补短（原卷版）

专题01全等模型倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.若连结BE，则；若连结EC，则；2、中点型:如图2，为的中点.证明思路：若延长至点，使得，连结，则;若延长至点，使得，连结，则.3、中点+平行线型：如图3,，点为线段的中点.证明思路：延长交于点(或交延长线于点)，则.例1．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到的理由是（

）．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范围是（

）．A．

B．

C．

D．(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．例2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：证明∵（已知）∴，（两直线平行，内错角相等）．在与中，∵，（已证），（已知），∴，∴（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．例4．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。【常见模型及证法】（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。例：如图，求证BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等例：如图，求证BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；=2\*GB3②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE例1．（2022秋·山东八年级课时练习）如图所示，平分平分；（1）求与的数量关系，并说明你的理由．（2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由．例2．（2022秋·重庆市·八年级专题练习）如图，在中，，平分．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；（3）如图3，若，求证：．例3．（2023·广西·九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．例4．（2022秋·绵阳市·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．课后专项训练：1．（2022·四川成都·八年级期中）如图中，点为的中点，，，，则的面积是______．2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）3．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．4．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．5．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．（1）求证；（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．6．（2022·浙江台州·八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．(1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线的取值范围是______．(2)【理解与应用】如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：．(3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由．7．（2022·山东临沂·八年级期末）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是；②在图2中，求证：AD＝CD；（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC．8．（2022·北京·九年级专题练习）如图，在三角形中，，，是边的高线，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F．(1)依题意补全图形，写出____________°(2)求和的度数；(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．9．（2022·吉林·公主岭市范家屯镇第二中学校九年级期末）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为________；②如图3，当时，则长为___________．猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．10．（2022·湖北孝感·八年级期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：．（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．11．（2022·辽宁大连·八年级期末）已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，．(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为；(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．12．（2022秋·重庆八年级课时练习）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．（1）求证：；（2）已知．①如图1，若，，求CE的长；②如图2，若，求的大小．13．（2022秋·辽宁鞍山·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．14．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接）15．（2023春·成都市·七年级专题练习）（1）如图1，在A