专题23.1图形的旋转（专项拔高卷）教师版

20232024学年人教版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题23.1图形的旋转（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.51一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•二道区校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB＝CB′，则∠C′的度数为（）A．18° B．20° C．24° D．28°解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴∠C＝24°，∴∠C'＝∠C＝24°，故选：C．2．（2分）（2023•赛罕区二模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点．将△ABD绕点A旋转后得到△ACE那么下列结论正确的是（）​A．AB＝AE B．AB∥EC C．∠ABC＝∠DAE D．DE⊥AC解：∵AB＝AC，点D是BC的中点．∴∠BAD＝∠CAD，由旋转可得△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠CAD＝∠CAE，∴AC⊥DE，所以D对故答案选：D．3．（2分）（2023春•荆门期末）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，将△ABD绕B点顺时针旋转45°得到△BEF，EF交CD于点G连接BG交AC于H，连接EH．则下列结论：①EG＝CG＝CF；②四边形EHCG是菱形；③△BDG的面积是；④；其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠BAD＝90°，∠DBC＝∠ADB＝∠BCA＝45°．由旋转可知AB＝BE，∠BEG＝∠BAD＝90°，∠GFB＝∠ADB＝45°，∴BE＝BC，∠BEG＝∠BCG＝∠GCF＝90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴CF＝CG．∵BG＝BG，∴Rt△BEG≌Rt△BCG（HL），∴EG＝CG，∴EG＝CG＝CF，故①正确；∵△BEG≌△BCG，∴∠EBH＝∠CBH＝22.5°．又∵BE＝BC，BH＝BH，∴△EBH≌△CBH（SAS），∴EH＝CH．∵∠CHG＝∠CBH+∠BCA＝22.5°+45°＝67.5°，∠BGC＝90°﹣∠CBH＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠CHG＝∠BGC，∴CH＝CG，∴EH＝CH＝CG＝EG，∴四边形EHCG为菱形，故②正确；∵∠BEF＝90°，∠EDG＝45°，∴，∴．∵CD＝CG+DG＝4，∴，∴S△BDG＝＝（8﹣4）×4＝16﹣8，故③正确；根据正方形的性质可求出OD＝＝BC＝2，∵，∴，∴，故④正确；综上可知，正确的为①②③④．故选：D．4．（2分）（2023•河西区模拟）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△CDE，这时点A旋转后的对应点D恰好在直线AD上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠CBD＝∠ECD B．∠CAB＝∠CDB C．∠ECB＝α D．∠EDB＝180°﹣α解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△CDE，∴∠CBD＝∠ECD，∠CAB＝∠CDB，∠ECB＝α，∠E＝∠ABC，故A选项符合题意，B选项和C选项不符合题意，∴∠E+∠DBC＝∠ABC+∠DBC＝180°，∴∠EDB＝360°﹣∠BCE﹣（∠E+∠DBC）＝180°﹣α，故D选项不符合题意，故选：A．5．（2分）（2023春•昌江区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A1B1C，当A1，B1，A三点共线时，AA1的值为（）A．12 B． C． D．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，∴∠BAC＝30°，则，∵将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到Rt△A1B1C，∴∠A1B1C＝∠ABC＝60°，B1C＝BC＝4，CA＝CA1，A1B1＝AB，∠A1＝∠CAB＝30°，∵CA＝CA1，∴∠CA1B1＝∠CAA1＝30°，∵A1，B1，A三点共线，∴∠ACB1＝∠A1B1C﹣∠A1AC＝60°﹣30°＝30°，∴B1A＝BC＝4，∴AA1＝AB1+A1B1＝4+8＝12，故选：A．6．（2分）（2023春•太仓市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（5，0），点B（8，4）．若将线段AB绕点O逆时针旋转得到线段A′B′，当点B′恰好落在y轴正半轴上时，点A′的坐标为（）A．（，） B．（，） C．（2，） D．（3，5）解：过点B作BN⊥x轴，过点A作AM⊥OB于M，过点A′作A′M′⊥y轴，∴∠BNO＝90°，∵点A（5，0），点B（8，4），∴OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，∴AN＝3，∴ON＝8，∴OB＝＝＝4，∵∠ONB＝∠AMO＝90°，∠AOM＝∠BON，∴△AOM∽△BON，∴＝＝，即，∴AM＝，OM＝2，∵将线段AB绕点O逆时针旋转得到线段A′B′，∴OA＝OA′，∠AOB＝∠A′OB′，∵∠AMO＝∠A′M′O＝90°，∴△AOM≌△A′OM′（AAS），∴OM′＝OM＝2，A′M′＝AM＝，∴A′（，2），故选：A．7．（2分）（2023春•新城区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A′恰好落在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（）A． B． C．4 D．2解：由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA，∵∠A＝60°，∴△ACA′是等边三角形，∴∠A′CA＝60°，则∠B′CB＝60°，∴△BCB′是等边三角形，∴BB′＝BC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，∴，∴，即，故选：B．8．（2分）（2023春•德州期中）边长相等的两个正方形ABCD和OEFG如图所示，若将正方形OEFG绕点O按顺时针方向旋转120°，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分四边形OMAN的面积（）A．先增大再减小 B．先减小再增大 C．不断增大 D．不变解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∠DAO＝∠ABO＝45°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，旋转得：四边形OE′F′G′是正方形，∴∠E′OG′＝90°，∴∠E′OG′＝∠AOB＝90°，∴∠E′OG′﹣∠AON＝∠AOB﹣∠AON，∴∠BON＝∠AOM，∴△AOM≌△BON（ASA），∴四边形OMAN的面积＝△AON的面积+△AOM的面积＝△AON的面积+△BON的面积＝△AOB的面积＝正方形ABCD的面积，∴在旋转的过程中，两个正方形重叠部分OMAN的面积不变，故选：D．9．（2分）（2023春•遂平县期末）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形，③若DA＝DE，则CF＝FG；其中正确的结论是（）A．①②③ B．①② C．②③ D．①③解：设AF交BC于K，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABK＝90°，∴∠KAB+∠AKB＝90°，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，∴∠KAB＝∠BCG，∵∠AKB＝∠CKF，∴∠BCG+∠CKF＝90°，∴∠KFC＝90°，∴AF⊥CG，故①正确；∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，又∵∠BEF＝90°，∴四边形BEFG是矩形，又∵BE＝BG，∴四边形BEFG是正方形，故②正确；如图，过点D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE＝AE，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE＝CG，∵四边形BEFG是正方形，∴BE＝GF，∴GF＝CG，∴CF＝FG，故③正确；∴正确的有：①②③，故选：A．10．（2分）（2023春•凤城市期中）如图，已知直线y＝kx+2k交x、y轴于A、B两点，以AB为边作等边△ABC（A、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为（﹣6，0）、（﹣1，0），连接CD、CE，则CD+CE的最小值为（）A．6 B．5+ C．6.5 D．7解：∵点B在直线y＝kx+2k上，∴k（x+2）＝0，∵k≠0，∴x+2＝0．，∴x＝﹣2∴B（0，2），∵E（﹣1，0），D（﹣6，0），在x轴上方作等边△AOF，∵∠CAB＝∠FAO＝60°，∴∠CAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAO，即∠CAF＝∠BAO，又∵CA＝BA，AF＝AO，∴△AOB≌△AFC（SAS），∴∠AFC＝∠AOB＝90°，∴点C的轨迹为定直线CF，作点E关于直线CF的对称点E'，连接CE'，CE＝CE'，∴CD+CE＝CD+CE'，∴当点D、C、E'在同一条直线上时，DE'＝CD+CE的值最小，∵AF＝AO＝2，∠FAO＝60°，∠AFG＝90°，∴AG＝4，EG＝3，EE'＝2×AF＝3，即E'（，），∴（CD+CE）的最小值＝DE'＝＝7故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•昌图县期末）如图，点E在正方形ABCD的CD边上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，若四边形AECF的面积为16，DE＝3，则AE的长度为5．​解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于16，∴AD＝DC＝4，∵DE＝3，∴Rt△ADE中，AE＝＝5，故答案为：5．12．（2分）（2023•宁江区三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为1．​解：∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，∴AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，∵∠D＝90°，∴B'D＝＝＝4，∴B'C＝CD﹣B'D＝1，故答案为：1．13．（2分）（2023•崇川区校级开学）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于100°．解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝30°，AB＝AD，∠C＝∠E，∴∠B＝75°，∴∠C＝∠E＝50°，∴∠AFE＝180°﹣50°﹣30°＝100°，故答案为：100°．14．（2分）（2023春•靖江市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝24cm．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得△DEC，直线AD、EB相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为16cm．解：如图，取AB的中点H，连接HG，HF，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到的，∴CE＝CB，CD＝CA，∠BCE＝∠ACD，设∠BCE＝∠ACD＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∴，∴，在四边形BCDF中，，在△ABC中，∠ACB＝90°，∴，在Rt△ABF中，，∵HG为△ABC的中位线，∴，∴，∵FG≤HF+HG＝16cm，∴当F，H，G三点共线时，FG最大，最大值为HF+HG＝16cm，故答案为：16．15．（2分）（2023春•武侯区校级期末）如图，等边△ABC中，AB＝8，O是BC上一点，且，点M为AB边上一动点，连接OM，将线段OM绕点O按逆时针方向旋转60°至ON，连接AN、CN，则△BCN周长的最小值为8+2．解：如图，作QE⊥AB于点E，作NF⊥BC于点F，则∠OEM＝∠NFO＝90°，∴∠EMO＝90°﹣∠MOE，∵△ABC是等边三角形，AB＝8，∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝8，BO＝BC＝2，∴∠BOE＝30°，∴BE＝BO＝1，∴由勾股定理得OE＝，∵线段OM绕点O按逆时针方向旋转60°至ON，∴ON＝OM，∠MON＝60•，∵∠FON＝180°﹣∠MON﹣∠MOE﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣∠MOE﹣30°＝90°﹣∠MOE，∴∠EMO＝∠FON，∴△EMO≌△FON（AAS），∴NF＝OE＝，∴点N在到直线BC的距离为的一条直线上运动，设这条直线与AB的交点为Q，则NQ∥BC，作点B关于直线NQ的对称点B′，连接BB′交直线NQ于点P，则当C、N、B′三点共线时，△BCN的周长最小，如图2，∵NQ∥BC，∠NFO＝90°，∴∠FNP＝180°﹣∠NFO＝90°，由轴对称的性质得∠BPN＝90°，BB′＝2BP＝2，∴四边形BPNF是矩形，∴BP＝NF＝OE＝，∠FBP＝90°，即，∠CBB′＝90°，∴CB′＝，∴，△BCN的周长＝BC+BN+CN＝BC+CB′＝8+2．故答案为：8+2．16．（2分）（2023春•凤城市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点P为AB上一点，将线段PB绕点P顺时针旋转得线段PQ，点Q在射线BC上，当PQ的垂直平分线MN经过△ABC一边中点时，PB的长为2或3或5．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝8，，PQ的垂直平分线MN经过△ABC一边中点，可分为以下三种情况：经过AB的中点D；经过AC的中点E；经过BC的中点F．当MN经过AB的中点D时，交BC于点G，如图：，∵PB绕点P顺时针旋转得线段PQ，∴PQ＝PB，∴∠PQB＝∠B＝30°，∵∠DPQ是△PQB的外角，∴∠DPQ＝∠B+∠PQB＝60°，∵MN垂直平分PQ，∴PD＝QD，∴△PQD是等边三角形，∴PD＝QP，∴PD＝PB，∴；当MN经过AC的中点E时，交BC于点G，如图：，∵∠PQB＝30°，MN垂直PQ，∴∠EGQ＝60°，∴∠CEG＝30°，在Rt△ECG中，EC＝2，∴，∴，∵点G在MN上，∴PG＝QG，∴∠PQB＝∠QPG＝30°，∵∠PGB是△PQG的外角，∴∠PGB＝∠PQB+∠QPG＝60°，∴∠GPB＝90°，∴PG⊥PB，在Rt△PGB中，，∴，∴由勾股定理得：；当MN经过BC的中点F时，交BC于点F（G），如图：，同理可证：PG⊥PB，在Rt△PGB中，∠B＝30°，，∴PB＝3．综上：PB的长为：2或5或3．故答案为：2或3或5．17．（2分）（2023春•黔东南州期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是．解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H，由题意可得：AE＝8，DE＝4，∵点N是AB的中点，∴AN＝NB＝8，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴EA＝EN，∠AEN＝∠FEG＝60°，∠ANE＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，∵BN＝EN，∠BNG＝∠ENG＝60°，NG＝NG，∴△EGN≌△BGN（SAS），∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∠H＝90°，DE＝4，∠EDH＝60°，∴，∴在Rt△ECH中，＝＝，∴GB+GC≥，∴GB+GC的最小值为；故答案为：．18．（2分）（2023春•灌云县期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝5，∠B＝30°，点P是在直角边BC上一动点，且△APD为等边三角形，则CD的最小值是．解：在Rt△ABC中，AB＝5，∠B＝30°，∴AC＝AB＝，∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上，设AB的中点为H，连接DH，当点C在线段DH上时，CD的值最小，连接PH，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵点H为AB的中点，∴CH＝AH，∴△ACH是等边三角形，∴∠ACH＝60°，AC＝AH，∴∠ACD＝120°，∵△APD为等边三角形，∴∠DAP＝60°，AD＝AP，∴∠DAC＝∠HAP，∴△ADC≌△APH（SAS），∴∠AHP＝∠ACD＝120°，PH＝CD，∴∠BHP＝60°，∴∠CAB＝∠BHP，∴AC∥PH，∴BP＝CP，∴PH＝AC＝，∴CD的最小值是，故答案为：．19．（2分）（2023•南召县模拟）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、1、，则正方形ABCD的面积为13．解：将△ABP绕点B顺时针旋转90得△CBE，连接PE，过点B作BH⊥PE于H，∴BP＝BE，∠PBE＝90°，∠APB＝∠CEB，AP＝CE，∴△BPE是等腰直角三角形，∴PE＝，∵PE2+CE2＝（）2+（2）2＝10，PC2＝（）2＝10，∴PE2+CE2＝PC2，∴∠PEC＝90°，∴∠BEC＝∠APB＝135°，∴∠APB+∠BPE＝135°+45°＝180°，∴点A、P、E三点共线，∵PE＝，∴PH＝BH＝，∴AH＝AP+PH＝，在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB2＝BH2+AH2＝（）2+（）2＝13，∴正方形ABCD的面积为：13．故答案为：13．20．（2分）（2023•南山区三模）如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．过点P′作P′E⊥BC，垂足为点E，若P′E＝AP＝1，则AD＝2+4．​解：预备知识：tan75°＝2+，证明如下：如图Rt△ABC中，∠90°，∠ABC＝30°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，∴∠D＝∠BAD，∵∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠BAD，∴∠BAD＝15°，∴∠CAD＝∠CAB+∠BAD＝60°+15°＝75°，令AC＝1，则BD＝AB＝2AC＝2，BC＝AC＝，∴CD＝BC+BD＝+2，∴tan∠CAD＝tan75°＝＝+2．解决问题：∵线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，∴△BPP′是等边三角形，∴BP＝BP′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD，∵P′E⊥BC，∴∠P′EB＝90°，∵P′E＝AP＝1，∴Rt△ABP≌Rt△EBP′（HL），∴∠ABP＝∠EBP′，∵∠ABP+∠EBP′＝30°，∴∠ABP＝15°，∴∠APB＝90°﹣15°＝75°，∵tan∠APB＝tan75°＝＝+2，∴AB＝+2，∴BC＝2AB＝2+4，∴AD＝BC＝2+4．故答案为：2+4．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•仓山区校级开学）如图，△AEC绕A点顺时针旋转60°得到△APB，∠AEC＝120°．求证：B、P、E三点共线．证明：连接PE，∵△AEC绕A点顺时针旋转60°得到△APB，∴∠PAE＝60°，AE＝AP，∠AEC＝∠APB，∴△APE是等边三角形，∴∠APE＝60°，∵∠AEC＝120°，∴∠APB+∠APE＝120°+60°＝180°，∴B、P、E三点共线．22．（6分）（2022秋•江汉区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，连结BB'．（1）说明△CAA′为等边三角形；（2）求△A'BB'的周长．解：（1）∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，∴CA＝CA'，CB＝CB'，∠ACA'＝∠BCB'，∵CA＝CA'，∠A＝60°，∴△CAA′为等边三角形；（2）解：∵△CAA′为等边三角形，∴∠ACA'＝60°，AA'＝AC＝1，∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠A'CB＝∠A'BC＝30°，∴A'B＝A'C＝1，∴AB＝2，，∵CB＝CB'，∠BCB'＝60°，∴△CBB'为等边三角形，∴，∴△A'BB'的周长为，故答案为：．23．（8分）（2023•思明区模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝5，BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，使得CE∥AD，连接BE，与AD交于点F．（1）求证：∠CAD＝∠CBE；（2）求四边形ACEF的面积．（1）证明：由旋转的性质得：∠ECD＝∠ACB＝30°，CD＝CA＝5，CE＝CB＝4，∴∠CEB＝∠CBE，∠CDA＝∠CAD，∵CE∥AD，∴∠CDA＝∠ECD＝30°，∴∠CDA＝∠CAD＝30°，∵∠CAD+∠CDA+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠ACB＝30°，∴∠BCD＝120°﹣∠ACB＝120°﹣30°＝90°，∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+30°＝120°，∵CB＝CE，∴，∴∠CAD＝∠CBE；（2）解：∵CE∥AD，∴∠EFD＝∠CEB＝30°，又∠CAD＝30°，∴∠EFD＝∠CAD＝30°，∴AC∥EF∴四边形ACEF是平行四边形，过点A作AG⊥EC交EC的延长线于点G，如图，∴∠ACG＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD﹣∠DCE＝180°﹣30°﹣90°﹣30°＝30°，∴，∴S▱ACEF＝CE•AG＝4×＝10．24．（8分）（2023•德阳）将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图1，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD＞OC．在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）度到D1OE1位置，使OD1∥AC，如图2．（1）求α的值；（2）如图3，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由．​解：（1）∵OD1∥AC，∴∠A＝∠AOD1＝30°，∵将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）度到三角形D1OE1位置，∴∠AOD1＝α＝30°；（2）四边形OHE2G是正方形，理由如下：∵∠E2OD2＝90°，OD2＝OE2，点G是E2D2的中点，∴E2G＝OG，E2G⊥OG，∵OD1∥AC，∴∠GOH＝∠AHO＝90°，∠OGE2＝∠CE2G＝90°，∴四边形OHE2G是矩形，又∵E2G＝OG，∴四边形OHE2G是正方形．25．（8分）（2023春•渠县校级期末）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝150°；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由题意知旋转角∠PAP′＝60°，∴△APP′为等边三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；故答案为：150°；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．26．（8分）（2023•铁岭模拟）已知∠ABN＝90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F．（1）如图1，当α＝90°时，线段BF与CF的数量关系是BF＝CF；（2）如图2，当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）过点E作EP⊥BN，垂足为点P．如图3，当α＝60°，，PD＝1时，请直接写出BD的长．解：（1）BF＝CF；理由如下：连接AF，如图所示：根据旋转可知，∠DAE＝α＝90°，AE＝AD，∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝90°，∴∠ACF＝90°，在Rt△ABF与Rt△ACF中，，∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），∴BF＝CF，故答案为：BF＝CF；（2）成立，理由如下：如图2，连接AF，根据旋转可知，∠DAE＝α，AE＝AD，∵∠BAC＝α，∴∠EAC﹣∠CAD＝α，∠BAD﹣∠CAD＝α，∴∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝90°，∴∠ACF＝90°，在Rt△ABF与Rt△ACF中，，∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），∴BF＝CF；（3）∵α＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝4，①当∠BAD＜60°时，连接AF，如图所示：∵Rt△ABF≌Rt△ACF，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，在Rt△ABF中，＝tan30°，，即CF＝BF＝4；根据（2）可知，△ACE≌△ABD，∴CE＝BD，∴EF＝CF+CE＝4+BD，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，又∵∠EPF＝90°，∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，∴PF＝EF＝2+BD，∴BP＝BF+PF＝6+BD，∴PD＝BP﹣BD＝6﹣BD＝1，∴BD＝10；②当∠BAD＝60°时，AD与AC重合，如图所示：∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°，∵∠ADB＝90°﹣∠BAC＝30°，∴∠ADE＝90°，∴此时点P与点D重合，PD＝0（舍）；③当∠BAD＞60°时，连接AF，如图所示：∵Rt△ABF≌Rt△ACF，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，在Rt