压轴题25几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题25几何最值问题一、单选题1．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是矩形ABCD内部一动点，且∠BEC=90°，点P是AB边上一动点，连接PD、PE，则PD+PE的最小值为（

）A．8 B．45 C．10 D．【答案】A【分析】根据∠BEC=90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE进行转化即可求解．【详解】解：如图，设点O为BC的中点，由题意可知，点E在以BC为直径的半圆O上运动，作半圆O关于AB的对称图形（半圆O'），点E的对称点为E1，连接O'E1,∴当点D、P、E1、O'共线时，PD+PE的值最小，最小值为D如图所示，在Rt△DCO'中，CD=8，CO'=6，∴DO'=8又∵O'E∴DE1=DO'-O'E1故选：A．【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE进行转化时解题的关键．2．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=32x2-32x-3的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点DA．334 B．32 C．3【答案】A【分析】作射线BA，作PE⊥BA于E，作DF⊥BA于F，交y轴于P'，可求得∠ABO=30°，从而得出PE=12【详解】解：如图，作射线BA，作PE⊥BA于E，作DF⊥BA于F，交y轴于P'抛物线的对称轴为直线x=--∴OD=1当x=0时，y=-3∴OB=3当y=0时，32∴x1=-1，∴A(-1,0)，∴OA=1，∵tan∠ABO=∴∠ABO=30°，∴PE=1∴12PB+PD=PD+PE≥DF，当点P在P'时，PD+PE在Rt△ADF中，∠DAF=90°-∠ABO=60°，AD=OD+PA=∴DF=AD⋅sin∴(1故选：A．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造123．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形ABCD内的动点，点P是BC边上的动点，且∠EAB=∠EBC．连结AE，BE，PD，PE，则PD+PE的最小值为（

）A．213-2 B．45-2 C．【答案】A【分析】先证明∠AEB=90°，即可得点E在以AB为直径的半圆上移动，设AB的中点为O，作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形CFGB，则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于E，根据对称性有：PD=PF，则有：PE+PD=PE+PF，则线段EF的长即为PE+PD的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠EBC=90°，∵∠EAB=∠EBC，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∴点E在以AB为直径的半圆上移动，如图，设AB的中点为O，作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形CFGB，则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于E，根据对称性有：PD=PF，则有：PE+PD=PE+PF，则线段EF的长即为PE+PD的长度最小值，E∵∠G=90°，FG=BG=AB=4，∴OG=6，OA=OB=OE=2，∴OF=F∴EF=OF-OE=213故PE+PD的长度最小值为213故选：A．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键．4．（2022秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则A．154 B．245 C．5 D【答案】B【分析】作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB'，根据对称性的性质，可知：BP=B【详解】解：如下图，作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，连接AB根据对称性的性质，可知：BP=B在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3，∴AB=A根据对称性的性质，可知：△ABC≅△AB∴S即12∴5B∴B故选：B．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．5．（2023秋·甘肃定西·八年级校考期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为

边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°【答案】D【分析】先在BC上截取BE=BQ，连接PE，证明△PBQ≌△PBESAS，得出PE=PQ，说明AP+PQ=AP+PE，找出当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点P【详解】解：在BC上截取BE=BQ，连接PE，如图：∵BD平分∠ABC，∠ABC=68°，∴∠ABD=∠CBD=1∵BP=BP，∴△PBQ≌△PBESAS∴PE=PQ，∴AP+PQ=AP+PE，∴当A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE最小，即AP+PQ最小，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点P，如图：∵∠AEB=90°，∠CBD=34°，∴∠APB=∠AEB+∠CBD=124°．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP+PQ最小时点P的位置．6．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，E为正方形ABCD边AD上一点，AE=1，DE=3，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值为（

）A．5 B．42 C．210 D【答案】A【分析】连接EC交BD于P点，根据“两点之间线段最短”，可知PA+PE的最小值即为线段EC的长，求出EC的长即可.【详解】连接EC，交BD于P点∵四边形ABCD为正方形∴A点和C点关于BD对称∴PA=PC∴PA+PE=PC+PE=EC根据“两点之间线段最短”，可知PA+PE的最小值即为线段EC的长.∵AE=1，DE=3∴AD=4∴DC=4∴CE=∴PA+PE的最小值为5故选：A

【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.7．（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（

）A．4 B．42 C．25 D【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，∴DN=BN，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又∵CD=4，DM=1∴CM=CDDM=41=3，在Rt△BCM中，BM=C故DN+MN的最小值是5．故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键．8．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+3的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点C(3,0)，若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0,-1)，连接PD，则2A．4 B．2+22 C．22 D【答案】A【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据2PD+PC=2PD+【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y=-x2+bx+3的图像与x∴b＝2，∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3，令y＝0，x2+2x+3解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y=3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设DH=x，则BH=x,∵DH∴x2∴x=22∴DH＝∵PJ⊥CB，∴∠PJC＝∴PJ＝∴2PD+PC=∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥22∴DP+PJ的最小值为22∴2PD+PC的最小值为4故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，PJ＝29．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（

）A．52 B．125 C．13-【答案】D【分析】证明∠AMD=90°，得出点M在O点为圆心，以【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆∵四边形ABCD为矩形∴∠BAP∵∠ADM=∠BAP∴∠MAD∴∠AMD∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上连接OB交圆O与点N∵点B为圆O外一点∴当直线BM过圆心O时，BM最短∵BO2∴B∴BO=∵BN=BO-AO=故选：D．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．10．（2022·河南·校联考三模）如图1，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP=x，PB+PE=y，当点P从A向点C运动时，y与x的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象的最低点，则点M的坐标是（

）A．42，35 B．22,3【答案】A【分析】根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，利用相似三角形，计算AG的长即为横坐标．【详解】如图，根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，∵点E是BC的中点，∴BC=6，连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，∵四边形ABCD是正方形，AB=6，∴CE∥AD，AC=62+62=6∴△CGE∽△AGD，∴CGAG∴ACAG∴AG=42故点M的坐标为（42，35），故故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．二、填空题11．（2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB=12∠AGB，则DP【答案】2【分析】由题意可知，∠AGB=90°，可得∠APB=12∠AGB=45°，可知点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上，（要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，即点P在AB的右侧），设圆心为O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作OQ⊥AD，可知△AOB为等腰直角三角形，求得OA=22AB=22=OP，AQ=OQ=22OA=2，QD=AD-AQ=6【详解】解：∵B、G关于EF对称，∴BH=GH，且EF⊥BG∵E为AB中点，则EH为△ABG的中位线，∴EH∥AG，∴∠AGB=90°，∵∠APB=12∠AGB∴点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上，（要使DP最小，则点P要靠近蒂点D，即点P在AB的右侧）设圆心为O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作OQ⊥AD，则OA=OB=OP，∵∠APB=45°，∴∠AOB=90°，则△AOB为等腰直角三角形，∴OA=2又∵E为AB中点，∴OE⊥AB，OE=1又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD=BC=8，∴四边形AEOQ是正方形，∴AQ=OQ=22OA=2∴OD=O由三角形三边关系可得：DP≥OD-OP=210-22，当点P∴DP的最小值为210故答案为：210【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB=12∠AGB=45°得知点P在以AB12．（2023春·江苏连云港·八年级期中）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，则四边形BEFG周长的最小值为______．【答案】24【分析】作点G关于CD的对称点G'，作点B关于AD的对称点B'，连接B'【详解】作点G关于CD的对称点G'，作点B关于AD的对称点B'，连接B∵EB=EB∴BE+EF+FG+BG=B∵EB∴四边形BEFG的周长的最小值=BG+B∵正方形ABCD的边长为8∴BG=4，BB'=16∴B'∴四边形BEFG的周长的最小值为=4+20=24．故答案为：24．【点睛】本题考查轴对称求线段和的最短问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．13．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC<BD，M、N分别是草地边BC、CD的中点，在线段BD上有一个流动饮水点P，若要使PM+PN的距离最短，则最短距离是_____米．【答案】50【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P'，连接MP'，当P点与P'重合时，【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P'，连接M当P点与P'重合时，MP+NP=M∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ∴M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，设AC与BD的交点为点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC=12AC=30∴BC=O∴PM+PN的最小值是50米．故答案为：50．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．14．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则2PC-PD的最大值是______【答案】2【分析】解法1，如图：以PD为斜边构造等腰直角三角形△PDM，连接MC，BD，连接PM、DM，推得2PC-PD=2PC-2解法2：如图：连接BD、BP、PC，在BD上做点M，使BMBP=24，连接MP，证明△BMP∼△BPD，在BC上做点N，使BNBP=12，连接NP，证明△BNP∼△BPC，接着推导出【详解】解法1如图：以PD为斜边构造等腰直角三角形△PDM，连接MC，BD，∴∠PDM=45，DM=PM=2∵四边形ABCD正方形∴∠BDC=45°，DB又∵∠PDM=∠PDB+MDB，∠BDC=∠MDB+MDC∴∠PDB=∠MDC在△BPD与△MPC中∠PDB=∠MDC，DB∴△BPD∼△MPC∴PB∵BP=2∴MC=∵2∵PC-PM≤MC∴2故答案为：2．解法2如图：连接BD、BP、PC根据题意正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2∴BP=2∵BP在BD上做点M，使BMBP=24在△BMP与△BPD中∠MBP=∠PBD∴△BMP∼△BPD∴PMPD=∵BP在BC上做点N，使BNBP=12在△BNP与△BPC中∠NBP=∠PBC∴△BNP∼△BPC∴PNPC=∴如图所示连接NM∴2∵PN-PM≤NM∴2在△BMN与△BCD中∠NBM=∠DBC，BM∴BM∴△BMN∼△BCD∴MN∵CD∴MN∴2∴2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．15．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠DAB=60∘，AD=CD=4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90∘，则【答案】6【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于点E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF，通过计算得出当O,M,E三点共线时，ME有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于点E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF，∵AB∥CD，∠DAB=60∘，∴∠ADC=120°，∵AD=CD，∴∠DAC=30°，∴∠CAB=30°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°∴∠B=90°-30°=60°，∴∠B=∠DAB，∴四边形ABCD为等腰梯形，∴BC=AD=4，∵∠AMD=90∘，AD=4，∴OM=1∴点M在以点O为圆心，2为半径的圆上，∵AB∥∴∠GCF=∠B=60°，∴∠DGO=∠CGF=30°，∵OF⊥BC，AC⊥BC，∴∠DOG=∠DAC=30°=∠DGO，∴DG=DO=2，∴OG=2OD⋅cos30°=23，GF=∴ME≥OF-OM=33∴当O,M,E三点共线时，ME有最小值33∴△MBC面积的最小值为=1【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M位置的确定是解题关键．16．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3cm．点P,Q分别为AB,AD上的两个定点且BP=AQ=1cm，点M为线段BD上一动点，连接PM,QM，则PM+QM的最小值为______【答案】5【分析】如图所示，作点P关于BD的对称点P'，且点P'在BC上，则PM+QM=P'M+QM，当P【详解】解：如图所示，作点P关于BD的对称点P'∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABD=∠DBC=1∴点P'在BC∴P'M=PM，则PM+QM=P∵点P关于BD的对称点P'，∠ABD=∠DBC=30°∴PP'⊥BM∴∠BP∴△BPP'是等边三角形，即∴PP'∥AC∴四边形PP∴P'在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AD=3∴AB=2AD=2×3=6，∴AP=P故答案为：5．【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称—最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称—最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．17．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，在周长为12的菱形ABCD中，DE=1，DF=2，若P为对角线AC上一动点，则EP+FP的最小值为______．【答案】3【分析】作F点关于BD的对称点F'，连接EF'交BD于点P，则PF=PF'，由两点之间线段最短可知当E、P、F【详解】解：作F点关于BD的对称点F'，则PF=PF'，连接EF'交BD∴EP+FP=EP+F由两点之间线段最短可知：当E、P、F'在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF∴EF∴EP+FP的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称路径最短问题，明确当E、P、F'在一条直线上时EP+FP18．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为________．【答案】(-1,0)【分析】直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，可求出点A，B的坐标，点C、D分别为线段AB、OB的中点，可求出点C、D的坐标，作点C关于x轴的对称点C'，连接C'D与x【详解】解：直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，∴当y=0，x=-4，即A(-4,0)；当x=0，y=4，即B(0,4)，∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴C(-2,2)，D(0,2)，如图所示，过点C关于x轴的对称点C'∴C'∴直线C'D的解析式为：当y=0，x=-1，即P(-1,0)，故答案为：(-1,0)．【点睛】本题主要考查一次函数与最短线段的综合，掌握对称中最短线段的解题方法是解题的关键．19．（2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末）如图，抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA,MC,AC，则△MAC【答案】3【分析】根据“将军饮马”模型，先求出A1,0,B3,0,C0,3，由二次函数对称性，A,B关于对称轴对称，从而C△MAC=CA+CM+MA=CA+CM+MB，AC=OA2+OC2【详解】解：∵抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y∴当y=0时，0=x2-4x+3解得x=1或x=3，即A1,0,B3,0；当由二次函数对称性，A,B关于对称轴对称，即MA=MB，∴C△MAC∵AC=O∴△MAC周长的最小值就是CM+MB的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM+MB的最小值为C,M,B三点共线时线段CB长，∵CB=O∴△MAC周长的最小值为CA+CB=32故答案为：32【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．20．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图所示，∠ACB=60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为___________．【答案】6-2【分析】根据题意，本题属于动点最值问题“阿氏圆”模型，首先作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，如图所示，通过代换，将PM+2PN转化为PN+12PM=PN+HP=NH，得到当MP与⊙O【详解】解：作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，如图所示：∵PM⊥AC，PN⊥CB，∴∠PMC=∠PNC=90°，∴∠MPN=360°-∠PMC-∠PNC-∠C=120°，∴∠MPH=180°-∠MPN=60°，∴HP=PM⋅cos∴PN+1∵MF=NH，∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，①连接OP，OG，OC，如图1所示：可得：四边形OPMG是正方形，∴MG=OP=2，在Rt△COG中，CG=OG⋅∴CM=CG+GM=2+23在Rt△CMF中，MF=CM⋅∴HN=MF=3+3，即PM+2PN=2②连接OP，OG，OC，如图2所示：可得：四边形OPMG是正方形，∴MG=OP=2，由上同理可知：在Rt△COG中，CG=OG⋅∴CM=CG-GM=23在Rt△CMF中，MF=CM⋅∴HN=MF=3-3，即PM+2PN=2∴6-23故答案为：6-23【点睛】本题考查动点最值模型“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．三、解答题21．（2022春·江苏·九年级专题练习）综合与探究如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A-1,0，B4,0(1)求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是；(3)点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．【答案】(1)y=-x2(2)3(3)8【分析】（1）将A-1,0，B4,0两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到C0,4，再设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0，把点（2）连接BC，PB，根据题意可得A、B关于抛物线的对称轴直线x=32对称，从而得到当P在直线AB上三点共线时，AP+CP的值最小，把x=3（3）过Q作QD⊥x轴，交BC于D，设Qd,-d2+3d+4，其中0≤d≤4，则可得QD=-d2+4d【详解】（1）解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4经过A∴a-b+4=016a+4b+4=0解得：a=-1b=3∴抛物线的解析式为y=-x∵抛物线与y轴的交点为C，∴C0,4设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0，把点B、C4k+b=0b=4，解得：k=-1∴直线BC的解析式为y=-x+4；（2）如图，连接BC，PB，∵y=-x∴抛物线的对称轴为直线x=3根据题意得：A、B关于抛物线的对称轴直线x=3∴AP=BP，∴AP+CP=BP+CP≥BC，即当P在直线AB上时，AP+CP的值最小，∴当x=32时，y=-∴P3故答案是：32（3）过Q作QD⊥x轴，交BC于D，设Qd,-d2+3d+4，其中0≤d≤4，则∴QD=-∵B4,0∴OB=4，∴SΔ当d=2时，SΔBCQ取最大值，最大值为∴△BCQ的最大面积为8；【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．22．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图1，直线AB:y=-x+6分别与x,y轴交于A,B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C-3,0(1)请直接写出直线BC的关系式：_________(2)在直线BC上是否存在点D，使得S△ABD=S(3)如图2，D11,0，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA,QD．请直接写出QB-QD的最大值：___________【答案】(1)y=2x+6(2)当D185,66(3)37【分析】（1）根据直线AB与y轴的交点，可求出点B的坐标，再用待定系数法即可求解；（2）设D(a,2a+6)，分别用含a的式子表示出出S△AOD（3）△BPQ是等腰直角三角形，设P(m,0)(m>0)，可表示出QB，再证Rt△BOP≌Rt△PTQ(AAS)，如图所示，当点B,R,Q在一条直线上时，QB-QD【详解】（1）解：∵直线AB:y=-x+6分别与x,y轴交于A,B两点，令x=0，则y=6，∴B(0,6)，且C-3,0设直线BC的解析式为y=kx+b，∴b=6-3k+b=0，解得，k=2∴直线BC的解析式为y=2x+6，故答案为：y=2x+6．（2）解：由（1）可知直线BC的解析式为y=2x+6，直线AB的解析式为y=-x+6，∴A(6,0),B(0,6),C(-3,0)，∴OA=6,BO=6,OC=3，如图所示，点D在直线BC上，过点D作DE⊥x轴于E，∴设D(a,2a+6)，E(a,0)，∴S△ABC=12AC·OB=∴S△ABD若S△ABD=S当a>0时，27-92a=3a，解得，a=当a<0时，27+92a=-3a，解得，综上所述，当D185,665（3）解：已知A(6,0),B(0,6),D(11,0)，设P(m,0)(m>0)，∴在Rt△BOP中，OB=6,OP=m∵△BPQ是等腰直角三角形，∠BPQ=90°，∴BP=QP；如图所示，过点Q作QT⊥x轴于T，在Rt△BOP,Rt△PTQ中，∠BOP=∠PTQ=90°∴∠BPO=∠PQT，∴∠BPO=∠PQT∠BOP=∠PTQ∴Rt△BOP≌∴OP=TQ=m，OB=PT=6，∴AT=OP+PT-OA=m+6-6=m，∴AT=QT，且QT⊥x轴，∴△ATQ是等腰直角三角形，∠QAT=45°，则点Q的轨迹在射线AQ上，如图所示，作点D关于直线AQ的对称点R，连接QR,BR,AR，A(6,0)，B(0,6)，D(11,0)，∵△ATQ是等腰直角三角形，即∠QAT=45°，根据对称性质，∴∠QAR=45°，∴RA⊥x轴，且△DQA≌△RQA，∴AR=AD=11-6=5，则R(6,5)，如图所示，当点B,R,Q在一条直线上时，QB-QD的值最大，最大值为BR的值；∴由勾股定理得：BR=6故答案为：37．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．23．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）△ABC中，∠B=60(1)如图1，若AC>BC，CD平分∠ACB交AB于点D，且AD=3BD．证明：(2)如图2，若AC<BC，取AC中点E，将CE绕点C逆时针旋转60°至CF，连接BF并延长至G，使BF=FG，猜想线段AB、BC、(3)如图3，若AC=BC，P为平面内一点，将△ABP沿直线AB翻折至△ABQ，当3AQ+2BQ+13CQ取得最小值时，直接写出【答案】(1)见解析(2)BC=AB+CG，理由见解析(3)2【分析】（1）过点D分别作BC，AC的垂线，垂足为E，F，易得DE=DF，由∠B=60°，可得DE=DF=32BD，由AD=（2）延长BA，使得BH=BC，连接EH，CH，易证△BCH为等边三角形，进而可证△BCF≌△HCESAS，可得BF=HE，∠BFC=∠HEC，可知∠AEH=∠CFG，易证得△AEH≌△CFGSAS，可得AH=CG，由（3）由题意可知△ABC是等边三角形，如图，作CM⊥CA，且CM=32CA，作CN⊥CQ，且CN=32CQ，可得CMCA=CNCQ=32，QN=CQ2+CN2=132CQ，可知△ACQ∽△MCN，可得MN=32AQ，由3AQ+2BQ+13CQ=232AQ+BQ+132CQ=2MN+BQ+QN≥2BM可知点Q，N都在线段BM上时，3AQ+2BQ+13CQ【详解】（1）证明：过点D分别作BC，AC的垂线，垂足为E，F，∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF，又∵∠B=60∴DE=BD⋅sin60°=3又∵AD=3∴sinA=∴∠A=30°；（2）BC=AB+CG，理由如下：延长BA，使得BH=BC，连接EH，CH，∵∠ABC=60°，BH=BC，∴△BCH为等边三角形，∴CB=CH，∠BCH=60°，∵CE绕点C逆时针旋转60°至CF，∴CE=CF，∠ECF=60°，则∠BCH-∠ACB=∠ECF-∠ACB，∴∠ECH=∠FCB，∴△BCF≌△HCESAS∴BF=HE，∠BFC=∠HEC，则∠AEH=∠CFG，∵BF=FG，∴BF=HE=FG，又∵E为AC中点，∴AE=CE=CF，∴△AEH≌△CFGSAS∴AH=CG，∴BC=BH=AB+AH=AB+CG；（3）∵∠ABC=60°，AC=BC，∴△ABC是等边三角形，如图，作CM⊥CA，且CM=32CA，作CN⊥CQ则CMCA=CN∴sin∠CQN=CNQN则∠ACM=∠QCN=90°，∴∠ACM-∠ACN=∠QCN-∠ACN，则∠ACQ=∠MCN∴△ACQ∽△MCN，∴MNAQ=CM∴3AQ+2BQ+即：点Q，N都在线段BM上时，3AQ+2BQ+13过点C作CR⊥BM，过点M作MT⊥BC交BC延长线于T，则∠BRC=∠BTM=90°，CR=CQ⋅sin∠CQN=3又∵∠CBR=∠MBT，∴△CBR∽△MBT，∴BRCR∵△ABC是等边三角形，设BC=a∴∠ACB=60°，AC=BC=a，则CM=3∵∠ACM=90°，∴∠MCT=30°，则CT=CM⋅cos30°=3则由BRCR=BT整理得：133BQCQ由翻折可知，BP=BQ，∴BPCQ【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．24．（2023春·江苏·八年级专题练习）定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DE、DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接PM、PN(1)观察猜想线段PM与PN______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD，CE，试判断PM与PN是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE=2，BC=4，请直接写出PM与PN的积的最大值．【答案】(1)是(2)是，答案见解析(3)9【分析】（1）根据中位线的性质以及AB=AC，AD=AE，可得MP=PN，由中位线性质可得MP∥EC，PN∥BD，再由∠B=∠ACB=45°结合平行线的性质，可证∠MPD+∠DPN=45°-∠DCB+45°+∠DCB=90°，故线段PM与PN是“等垂线段”．（2）先证△ABD≌△ACESAS，可得BD=CE，根据中位线的性质得到MP=12EC，PN=12BD，即MP=PN；由中位线性质可得MP∥EC，PN∥BD，再由∠ABC=∠ACB=45°结合平行线的性质，可证∠MPD+∠DPN=90°，故线段PM（3）由（2）可知，MP=PN，MP⊥PN，故PM×PN=PM2=MN22，当MN取最大值时，PM与PN的积有最大值．当N、A、M三点共线，且点A【详解】（1）解：线段PM与PN是“等垂线段”．理由如下：∵点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，∴MP=12EC∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，∴MP=PN．∵点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，∴MP∥EC，PN∥BD，∵在Rt△ABC中，∠A=90∘∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ACD=45°-∠DCB，∠BDC=180°-∠B-∠DCB=135°-∠DCB，∵MP∥EC，PN∥BD，∴∠MPD=∠ACD=45°-∠DCB，∠DPN=180°-∠BDC=180°-135°-∠DCB∴∠MPD+∠DPN=45°-∠DCB+45°+∠DCB=90°，∴MP⊥PN，即线段PM与PN是“等垂线段”，故答案为：是．（2）解：线段PM与PN是“等垂线段”，理由如下：∵△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，∵AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE，∵点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，∴MP=12EC∵BD=CE，∴MP=PN．∵点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，∴MP∥EC，PN∥BD，∵在Rt△ABC中，∠BAC=90∘∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACD=45°-∠DCB，∠DBC=45°-∠ABD，∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-∵MP∥EC，PN∥BD，∴∠MPD=∠ECD=∠ECA+∠ACD，∵△ABD≌△ACESAS∴∠ABD=∠ACE，即∠MPD=∠ECD=∠ABD+∠ACD∠DPN=180°-∠BDC=180°-135°+∠ABD-∠DCB∴∠MPD+∠DPN=∠ABD+∠ACD+45°-∠ABD+∠DCB=45°+45°=90°，∴MP⊥PN．∵MP=PN，MP⊥PN．故线段PM与PN是“等垂线段”．（3）解：由（2）可知，MP=PN，MP⊥PN，故PM×PN=PM当MN取最大值时，PM与PN的积有最大值．∵把△ADE绕点A在平面内自由旋转，∴当N、A、M三点共线，且点A在NM之间时，MN取最大值．∴此时MN=NA+AM．∵在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，BC=4，N∴NA=1同理可得，MA=1∴MN的最大值为3，PM与PN的积有最大值92【点睛】本题考查了中位线的性质及运用，全等三角形的判定与性质以及图形动态问题，综合运用以上知识是解题的关键．25．（2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习）在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中A-1(1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形（BC为底边），请在图中画出该图形的对称轴．(2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且PQ=1（P在Q的左边），依次连接A，P，Q，B，使得AP＋PQ＋QB的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出【答案】(1)图形见解析；(2)P(0，【分析】（1）直接画出等腰三角形的对称轴即可；（2）将A向右平移1个单位得A'(0，1)，再作A'关于x轴的对称点A''(0，-1),连接A''B交x轴于点Q，再将Q向左平移1个单位得点【详解】（1）解：如图所示：（2）如图所示：将A向右平移1个单位得A'(0，1)，再作A'关于x轴的对称点A''(0，-1)，连接A''B交x轴于点Q，再将Q向左平移1个单位得点设A''B的解析式为y=kx+b，将A''(0，-1)，B4x+b=3b=-1