第03讲绝对值相加求最值问题专题探究

第3讲绝对值相加求最值问题专题探究【知识点睛】绝对值内表达式加减的几何意义|a|：表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离|xa|：表示数轴上的数x到数a的距离|x+a|：因为|x+a|=|x(a)|,所以可表示数轴上的数x到数a的距离绝对值相加求最小值的方法总结：①|xa|最小值=0点x与点a重合（即x=a）②|xa|+|xb|：表示数轴上点x到点a、点b的距离之和当|xa|+|xb|取最小值时点x位于点a、点b之间（可以与a、b重合）|xa|+|xb|最小值=|ab|③|xa|+|xb|+|xc|：表示数轴上点x到点a的距离、点x到点b的距离和点x到点c的距离之和若a＜b＜c，则当点x与点b重合时|xa|+|xb|+|xc|最小值=ca易错技巧总结：若求|xa|+|x+b|、|xa|+|x+b|+|xc|等类型的最小值，则表示求点x到点a、点b的距离之和最小，将b表示出来后，方法同上【类题训练】1．式子﹣6+|x+2|的最小值为．【分析】根据绝对值的非负性解决此题．【解答】解：∵|x+2|≥0，∴﹣6+|x+2|≥﹣6．∴式子﹣6+|x+2|的最小值为﹣6．故答案为：﹣6．2．已知a＜0且|2a|x≤3a，则|2x﹣1|﹣|x﹣2|最小值为．【分析】先根据条件，求出x的取值范围，再去绝对值符号，化简后求最值．【解答】解：∵a＜0，|2a|x≤3a，∴x≤＝，∴原式＝1﹣2x﹣（2﹣x）＝﹣1﹣x．当x＝时，取最小值．故答案为：．3．代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是．【分析】利用绝对值的定义，结合数轴可知最小值为1012到﹣1009的距离．【解答】解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1012|代表x到1012的距离；结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小，∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，故答案为：2021．4．如果a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，那么代数式a+b+c的最小值为．【分析】把a+b+c化为绝对值的和，再利用绝对值的几何意义求出最小值．【解答】解：a+b+c＝|x+3|+|x+1|+|x﹣1|．由绝对值的几何意义，可知|x+3|+|x﹣1|≥|1﹣（﹣3）|＝4，又|x+1|≥0，所以a+b+c最小值为4．故答案为：4．5．已知有理数a，b，c都不为零，那么++﹣的最大值是，最小值是．【分析】由题意可知，当a、b、c都取正数时，代数式有最大值是2，当a、b、c都取负数时代数式有最小值是﹣2，【解答】解：当a、b、c都取正数时，++﹣＝＝1+1+1﹣1＝2，∴代数式有最大值m＝2，当a、b、c都取负数时，++﹣＝＝﹣1+（﹣1）+（﹣1）﹣（﹣1）＝﹣2，∴代数式有最小值n＝﹣4．故答案为：2，﹣2．6．若x为任意有理数，|x|表示在数轴上x表示的点到原点的距离，|x﹣a|表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离，则|x﹣3|+|x+1|的最小值为．【分析】现依据题意可知|x﹣3|与|x+1|的实际意义，可知|x﹣3|+|x+1|的最小值的实际意义为一个点到3和﹣1的距离的和的最小值，分类讨论即可得出答案．【解答】解：因为|x﹣a|表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离．所以|x﹣3|与|x+1|分别表示为点x到3的距离和点x到﹣1的距离．所以|x﹣3|+|x+1|的最小值的实际意义为点x到3和﹣1的距离的和的最小值．数轴上的区域被3和﹣1划分为三部分：﹣1左面的部分，﹣1和3之间的部分（包含﹣1和3点），3右面的部分．①当x在：﹣1左面的部分和3右面的部分时，x到3和﹣1的距离的和永远大于4．②当x在：，﹣1和3之间的部分（包含﹣1和3点）时，x到3和﹣1的距离的和永远等于4．所以|x﹣3|+|x+1|的最小值为4．7．化简并填空：（1）当﹣≤x≤1时，化简|3x+1|﹣2|x﹣1|；（2）当|x|+|x+4|最小时，|3x+1|﹣2|x﹣1|的最大值为．【分析】（1）根据求绝对值的法则，即可求解；（2）先求出x的范围，再分类讨论去绝对值，分别求出最大值，进而即可求解．【解答】（1）解：∵﹣≤x≤1，∴﹣1≤3x≤3，∴3x+1≥0，x﹣1≤0，∴原式＝3x+1+2（x﹣1）＝5x﹣1；（2）∵当|x|+|x+4|最小时，﹣4≤x≤0，①当﹣4≤x＜﹣时，|3x+1|﹣2|x﹣1|＝﹣（3x+1）+2（x﹣1）＝﹣x﹣3，此时最大值＝1，②当﹣≤x≤0时，|3x+1|﹣2|x﹣1|＝3x+1+2（x﹣1）＝5x﹣1，此时最大值＝﹣1，综上所述：|3x+1|﹣2|x﹣1|的最大值为：1，故答案是：1．8．综合应用题：|m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．（1）|x|的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离，|x||x﹣0|；（选填“＞”“＜”或“＝”）（2）|2﹣1|几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离，则|2﹣1|＝；（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝；（4）|x﹣（﹣2）|的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若|x﹣（﹣2）|＝2，则x＝；（5）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣（﹣5）|+|x﹣2|＝7这样的整数是．【分析】（0）根据|m﹣n|的几何意义求解；（2）根据|m﹣n|的几何意义及绝对值的意义求解；（3）根据|m﹣n|的几何意义及绝对值的意义求解；（4）根据|m﹣n|的几何意义及绝对值的意义求解；（5）根据|m﹣n|的几何意义及解不等组求解；【解答】解：（1）∵|x|＝|x﹣0|，∴|x|的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离，故答案为：x，原点，＝；（2）∵|2﹣1|＝1，故答案为：1．（3）∵|x﹣3|＝1，∴x﹣3＝±1，解得：x＝4或x＝2，故答案为：x，3，4或2；（4）∵|x﹣（﹣2）|＝2，解得：x＝4或x＝0，故答案为：x，﹣2，x＝4或x＝0；（5）由题意得：在数轴上表示x的点到﹣5和2的距离的和为7，所以﹣5≤x≤2，所以x的整数解为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．9．已知a为整数（1）|a|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（2）|a|+2能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（3）2﹣|a﹣1|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（4）|a﹣1|+|a+2|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．【分析】（1）由绝对值的性质即可得出答案；（2）由绝对值的性质即可得出答案；（3）由绝对值的性质即可得出答案；（4）由绝对值的性质即可得出答案．【解答】解：（1）|a|能取最小值是0．此时a＝0．故答案为：小，0，0；（2）|a|+2能取最小值是2．此时a＝0．故答案为：小，2，0；（3）2﹣|a﹣1|能取最大值是2．此时a＝1．故答案为：大，2，1；（4）|a﹣1|+|a+2|能取最小值是3．此时﹣2≤a≤1；故答案为：小，3，﹣2≤a≤1．10．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：|a+3|+（c﹣9）2＝0，b＝1．（1）a＝，c＝；（2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数表示的点重合；（3）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值时，此时x＝，最小值为．【分析】（1）利用绝对值和偶次方的非负性，进行计算即可；（2）利用数轴上两点间距离先求出折点表示的数，然后进行计算即可解答；（3）根据已知并结合图形可得当点P与点B重合时，代数式取得最小值．【解答】解：（1）∵|a+3|+（c﹣9）2＝0，∴a+3＝0，c﹣9＝0，∴a＝﹣3，c＝9，故答案为：﹣3，9；（2）设折点表示的数为x，∵将数轴折叠，使得A点与B点重合，∴1﹣x＝x﹣（﹣3），∴x＝﹣1，∴折点表示的数为：﹣1，设点C与数y表示的点重合，∴﹣1﹣y＝9﹣（﹣1），∴y＝﹣11，∴点C与数﹣11表示的点重合，故答案为：﹣11；（3）由题意得：代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，表示点P与点A，B，C这三个点的距离之和，当点P与点B重合时，点P与点A，B，C这三个点的距离之和最小，即当x＝1时，代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值，最小值为：|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝|1﹣（﹣3）|+|1﹣1|+|1﹣9|＝4+0+8＝12，故答案为：1，12．11．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是，数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是；（2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为；（3）若x表示一个有理数，则|x+2|+|x﹣4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．【分析】（1）（2）在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，依此即可求解；（3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解．【解答】解：（1）|1﹣（﹣3）|＝4；|x﹣（﹣2）|＝|x+2|；故答案为：4，|x+2|；（2）|a﹣1|＝6，∴a﹣1＝6或a﹣1＝﹣6，即a＝7或a＝﹣5，故答案为：7或﹣5；（3）有最小值，当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2﹣x+4＝﹣2x+2＞6，当﹣2≤x≤4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2﹣x+4＝6，当x＞4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2＞6，所以当﹣2≤x≤4时，它的最小值为6．12．认真阅读下面的材料，完成有关问题：材料：在学习绝对值时，我们已了解绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；又如|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．因此，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离（也就是线段AB的长度）可表示为|a﹣b|．因此我们可以用绝对值的几何意义按如下方法求|x﹣1|+|x﹣2|的最小值；|x﹣1|即数轴上x与1对应的点之间的距离，|x﹣2|即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值．设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x．当1≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时|x﹣1|+|x﹣2|＝PA+PB＝AB＝1；当x＞2时，即P点在B点右侧，此时|x﹣1|+|x﹣2|＝PA+PB＝AB+2PB＞AB；当x＜1时，即P点在A点左侧，此时|x﹣1|+|x﹣2|＝PA+PB＝AB+2PA＞AB；综上可知，当1≤x≤2时（P点在线段AB上），|x﹣1|+|x﹣2|取得最小值为1．请你用上面的思考方法结合数轴完成以下问题：（1）满足|x+3|+|x﹣4|＞7的x的取值范围是．（2）求|x+1|﹣|x﹣2|的最小值为，最大值为．备用图：【分析】（1）根据题意可分三种情况讨论，当x＜﹣3时，当﹣3≤x≤4时，当x＞4时，分别化简绝对值，并在取值范围内与7作比较即可得出结果；（2）分当x＞﹣1时，当﹣1≤x≤2，当x＞2时三种情况讨论，在取值范围内求结果的最大值和最小值．【解答】解：（1）由|x+3|+|x﹣4|＝|x﹣（﹣3）|+|x﹣4|，在数轴上表示﹣3和4两点，当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣4|＝﹣x﹣3+4﹣x＝﹣2x+1＞7；当﹣3≤x≤4时，|x+3|+|x﹣4|＝x+3+4﹣x＝7；当x＞4时，|x+3|+|x﹣4|＝x+3+x﹣4＝2x﹣1＞7；故当x＜﹣3或x＞4时|x+3|+|x﹣4|＞7．（2）|x+1|﹣|x﹣2|＝|x﹣（﹣1）|﹣|x﹣2|，当x＜﹣1，|x+1|﹣|x﹣2|＝﹣x﹣1﹣（2﹣x）＝﹣x﹣1﹣2+x＝﹣3；当﹣1≤x≤2，|x+1|﹣|x﹣2|＝x+1+x﹣2＝2x﹣1，此时当x＝2时，取得最大值3，当x＝﹣1时，取得最小值﹣3；当x＞2时，|x+1|﹣|x﹣2|＝x+1﹣x+2＝3；故|x+1|﹣|x﹣2|的最小值为﹣3，最大值为3．故答案为：（1）x＜﹣3或x＞4；（2）﹣3，3．13．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题：（1）几何意义是数轴上表示数2的点与数﹣3的点之间的距离的式子是；式子|a+5|的几何意义是；（2）根据绝对值的几何意义，当|m﹣2|＝3时，m＝；（3）探究：|m+1|+|m﹣9|的最小值为，此时m满足的条件是；（4）|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|的最小值为，此时m满足的条件是．【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）根据||a﹣b|的几何意义求解可得；（3）根据m＜﹣1，﹣1≤m≤9，m＞9三种情况确定最小值和此时m的取值；（4）|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|＝（|m+1|+|m﹣16|）+|m﹣9|，根据问题（3）可知，要使|m+1|+|m﹣16|的值最小，m的值只要取﹣1到16之间（包括﹣1、16）的任意一个数，要使|m﹣9|的值最小，m应取9，显然当m＝9时能同时满足要求，从而得结论．【解答】解：（1）数轴上表示数2的点与数﹣3的点之间的距离的式子是|2﹣（﹣3）|；式子|a+5|的几何意义是数轴上表示数a的点与数﹣5的点之间的距离；故答案为：|2﹣（﹣3）|，数轴上表示数a的点与数﹣5的点之间的距离；（2）等式|m﹣2|＝3的几何意义是表示m到数2的距离为3的点，则m的值为﹣1或5；故答案为：﹣1或5；（3）式子|m+1|+|m﹣9|表示数m到﹣1和9的距离之和，当m＜﹣1时，原式＝﹣m﹣1﹣m+9＝﹣2m+8＞10，当﹣1≤m≤9时，原式＝m+1+9﹣m＝10，当m＞9时，原式＝m+1+m﹣9＝2m﹣8＞10，故式子|m+1|+|m﹣9|的最小值为10，此时m满足的条件是﹣1≤m≤9；（4）由分析可知，|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|的最小值为17，此时m满足的条件是m＝9．14．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．（4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可；（2）先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解；根据两点间的距离的表示列式计算即可得解；（3）找到﹣2和5之间的整数点，再相加即可求解；（4）判断出a＝1时，三个绝对值的和最小，然后进行计算即可得解．【解答】解：（1）|1﹣4|＝3，|﹣3﹣2|＝5，|a﹣（﹣1）|＝3，所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，解得a＝﹣4或a＝2；（2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间，∴a+4＞0，a﹣2＜0，∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．故这些点表示的数的和是12；（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．故答案为：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．15．阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．通过以上阅读，请你解决问题：（1）|x﹣3|+|x+4|的零点值是；（2）化简代数式|x﹣3|+|x+4|；（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值为，此时x的取值范围为．【分析】（1）根据“零点值”的意义进行计算即可；（2）根据题目中提供的方法分三种情况分别进行计算即可；（3）分三种情况分别对|x﹣3|+|x+4|进行化简进而求出相应方程的解；（4）根据代数式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的意义，得出当2≤x≤3时，该代数式的值最小，再根据两点距离的计算方法进行计算即可．【解答】解：（1）令x﹣3＝0和x+4＝0，求得：x＝3和x＝﹣4，故答案为：﹣4和3；（2）①当x＜﹣4时，原式＝﹣（x﹣3）﹣（x+4）＝﹣2x﹣1；②当﹣4≤x＜3时，原式＝﹣（x﹣3）+（x+4）＝7；③当x≥3时，原式＝（x﹣3）+（x+4）＝2x+1；综上所述：原式＝，（3）分三种情况：①当x＜﹣4时，﹣2x﹣1＝9，解得：x＝﹣5；②当﹣4≤x＜3时，7＝9，不成立；③当x≥3时，2x+1＝9，解得：x＝4．综上所述，x＝﹣5或x＝4．（4）代数式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|表示的意义为数轴上表示数x的点到表示数﹣4，2，3，2000的距离之和，由数轴表示数的意义可知，当2≤x≤3时，该代数式的值最小，最小值为（2+4）+（3﹣2）+（2000﹣2）＝2005，故答案为：2005，2≤x≤3．16．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5﹣（﹣2）|＝；（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【分析】（1）5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7；（2）在数轴上，找到﹣1008和1005的中点坐标即可求解；（3）