10.7二元一次方程组综合练习（提优）-2020-2021学年七年级数学下册课堂帮帮帮（苏科版）

二元一次方程组综合练习（提优）一．选择题（共12小题）1．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】设该队获胜了x场，平局了y场，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设该队获胜了x场，平局了y场，由题意得：x+y=113x+y=23解得：x=6y=5即该队获胜的场数为6，故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．小明步行速度为5千米/时，骑车速度为15千米/时．如果小明先骑车2小时，然后步行3小时，那么他的平均速度是（）A．5千米/时 B．9千米/时 C．10千米/时 D．15千米/时【分析】设小明走的总路程为x千米，平均速度是为y千米/时，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设小明走的总路程为x千米，平均速度是为y千米/时，由题意得：15×解得：x=45y=9即小明的平均速度是9千米/时，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；设出未知数，列出二元一次方程组是解题的关键．3．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《九章算术》中记载了这样一个问题，大意为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每1只各重多少斤？”如果设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则下列方程组正确的是（）A．4x+y=5y+x5x+6y=1 B．5x+y=4y+xC．4x+y=5y+x6x+5y=1 D．【分析】根据“4只雀的质量+1只燕的质量＝5只燕的质量+1只雀的质量和5只雀的质量+6只燕的质量＝1”可得方程组．【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则方程组为4x+y=5y+x5x+6y=1故选：A．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意找到其蕴含的相等关系．4．今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为yA．x+12y＝y+23x B．y+12C．x-12y＝y-23x D．y-1【分析】根据甲的钱数+12×乙的钱数＝50=【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，得：x+12y＝50，23x+y∴x+12y＝y+故选：A．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程，解题的关键是理解题意找到其蕴含的相等关系．5．已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=k+1x-2y=9的解为x=3y=-3，则A．3 B．2 C．1 D．0【分析】由题意将x、y的值代入方程组中第一个方程求出k．【解答】解：把x＝3，y＝﹣3代入方程3x+2y＝k+1，得9﹣6＝k+1，解得k＝2．故选：B．【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解决本题的关键．6．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（）A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm【分析】设长方体木块长xcm、宽ycm，桌子的高为acm，由题意列出方程组求出其解即可得出结果．【解答】解：设长方体木块长xcm、宽ycm，桌子的高为acm，由题意得：a+x-两式相加得：2a＝150，解得：a＝75，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的运用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．7．七年级某班学生组织去研学旅行，男生戴蓝色帽，女生戴红色帽，每位男生看到蓝色和红色帽一样多，每位女生看到蓝色帽是红色的两倍，若假设男女生人数分别是x、y，则可列方程组（）A．x=yx=2y B．xC．x=yx=2(y-1) D．【分析】题中的等量关系为：如果每位男生看到蓝色与红色的帽一样多；而每位女生看到蓝色帽是红色的两倍，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设男女生人数分别是x、y，根据题意，得x-故选：B．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，要注意找到题中的等量关系．8．某班分组活动，若每组6人，则余下5人：若每组7人，则又少4人．设总人数为x，组数为y，则可列方程组（）A．6x+5=y7x-4=y B．6y=x+5C．6y=x-57y+4=x 【分析】关系式为：6×组数＝总人数﹣5；7×组数＝总人数+4，把相关数值代入即可求解．【解答】解：每组6人得到的关系式为6y＝x﹣5；每组7人得到的关系式为7y＝x+4．可列方程组为：6y=x-故选：D．【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到两种分法所需要的实际人数的等量关系．9．下列方程中，与方程组x+y=52x-y=4A．x+y＝5 B．2x﹣y＝4 C．（x+y﹣5）2+|2x﹣y﹣4|＝0 D．（2x﹣y﹣4）（x+y﹣5）＝0【分析】利用方程组的定义，结合非负数的性质，有理数的乘法分别分析即可．【解答】解：A、x+y＝5是二元一次方程，有无数组解，故选项不符合；B、2x﹣y＝4是二元一次方程，有无数组解，故选项不符合；C、∵（x+y﹣5）2+|2x﹣y﹣4|＝0，可得：x+y-D、∵（2x﹣y﹣4）（x+y﹣5）＝0，∴2x﹣y﹣4＝0或x+y﹣5＝0，有无数组解，故选项不符合；故选：C．【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及非负数的性质，掌握方程组的解的定义是解题的关键．10．某种商品价格为33元/件，某人只带有2元和5元的两种面值的购物券各若干张，买了一件这种商品；若无需找零钱，则付款方式中张数之和（指付2元和5元购物券的张数）最少和张数之和最多的方式分别是（）A．8张和16张 B．8张和15张 C．9张和16张 D．9张和15张【分析】仔细读题，发现题中有一个等量关系：2×2元人民币的张数+5×5元人民币的张数＝33，如果设2元和5元的人民币分别有x张和y张，则根据等量关系可得一个二元一次方程，此方程有无穷多组解，再根据x，y是正整数，则可以得出符合条件的有限几组解．【解答】解：设2元和5元的人民币分别有x张和y张，根据题意，得2x+5y＝33，则x=33-5y2，即x＝16﹣2y又x，y是正整数，则有x=14y=1或x=9y=3或因为14+1＝15，9+3＝12，4+5＝9，15＞12＞9，所以最少和张数之和最多的方式分别是9和15．故选：D．【点评】考查了二元一次方程的应用，注意：根据未知数应是正整数进行讨论．11．若x=2y=1是关于x、y的方程组ax+by=2bx+ay=7的解，则（a+b）（a﹣A．15 B．﹣15 C．16 D．﹣16【分析】把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求a，b，再代入可求（a+b）（a﹣b）的值．【解答】解：∵x=2y=1是关于x、y的方程组ax+by=2∴2a+b=22b+a=7解得a=-∴（a+b）（a﹣b）＝（﹣1+4）×（﹣1﹣4）＝﹣15．故选：B．【点评】本题主要考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键．12．如图，长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD的周长为l，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为94l，则标号为①A．112l B．116l C．516l D【分析】设两个大正方形边长为x，小正方形的边长为y，由图可知周长和列方程和方程组，解答即可．【解答】解：长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，∴两个大正方形相同、2个长方形相同．设两个大正方形边长为y，小正方形的边长为x，∴小长方形的边长分别为（y﹣x）、（x+y），大长方形边长为（2y﹣x）、（2y+x），∵大长方形周长＝l，即：2[（2y﹣x）+（2y+x）]＝l，∴8y＝l，∴y=∵3个正方形和2个长方形的周长和为94l即：2×∴16y+4x=9∴x=1则标号为①的正方形的边长116故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质和二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，要明确中心对称的性质，找出题目中的等量关系，列出方程组．注意各个正方形的边长之间的数量关系．二．填空题（共10小题）13．如果关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=-2a2x-b2y=4的解为x=1y=2，则2b2﹣a2＝﹣4【分析】将x=1y=2代入原方程组即可求得2b2﹣a2【解答】解：将x=1y=2a1由②得：2b2﹣a2＝﹣4．将方程组a1a1即：a1∵方程组：a1x+b∴方程组a1(x-1)+b即：x=2y=2故答案为﹣4，x=2y=2【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将方程组变形为与已知方程组形式相同后，利用类比的方法求解是解题的关键．14．若方程组2x-3y=45x-3y=1的解是x=-1y=-2，则方程组2(a+b)-3(a-b)=45(a+b)-3(a-b)=1的解是a【分析】利用已知条件采用类比的方法得出关于a，b的方程组，解方程组即可得到结论．【解答】解：∵若方程组2x-3y=45x-3y=1方程组2(a+b)-可得：a+b=-解这个方程组得：a=-故答案为：-32，【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，利用换元的方法解答比较简单．15．小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，则现在小新的年龄是13岁．【分析】设小新现在的年龄为x岁，父亲现在的年龄是y岁，由题意：小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新的3倍还多2岁，列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设小新现在的年龄为x岁，父亲现在的年龄是y岁，由题意得：y=3x+2y-x=28解得：x=13y=41即现在小新的年龄是13岁，故答案为：13．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．16．当x＝﹣2时，代数式ax2+bx+c的值是5；当x＝﹣1时，代数式ax2+bx+c的值是0；当x＝1时，代数式ax2+bx+c的值是﹣4；则当x＝2时，代数式ax2+bx+c的值是﹣3．【分析】根据题意列出三元一次方程组可得a、b、c的值，进而可得当x＝2时，代数式ax2+bx+c的值．【解答】解：根据题意，得4a-解得a=1b=-2∴当x＝2时，代数式ax2+bx+c的值为：1×22+（﹣2）×2+（﹣3）＝4﹣4﹣3＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了解三元一次方程组，解决本题的关键是根据题意得到方程组．17．如图，长为4a的长方形，沿图中虚线裁剪成四个形状大小完全相同的小长方形，那么每个小长方形的周长为6a（用含a的代数式表示）．【分析】根据图示知：2y+x＝4a，且x＝2y；然后根据长方形的周长公式得到：2（x+y），代入求值．【解答】解：如图，2y+x=4ax=2y解得x=2ay=a所以2（x+y）＝2（2a+a）＝6a．故答案是：6a．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键的根据图示找到等量关系．18．已知二元一次方程组5x+8y=183x-y=7，则8x+7y＝25【分析】方程组中两方程左右两边相加即可求出所求式子的值．【解答】解：5x+8y=18①①+②得：8x+7y＝25，故答案为：25．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．母亲和女儿的年龄之和是80岁，当母亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是母亲现在年龄的411，则女儿现在的年龄是25【分析】设女儿现在年龄是x岁，母亲现在的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设女儿现在年龄是x岁，母亲现在的年龄是y岁，根据题意得：x+y=80y-x=2x-解得：x=25y=55即女儿现在的年龄是25岁，故答案为：25．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．20．若关于x，y的二元一次方程组x+2y=k-1，2x+y=k+1的解互为相反数，则k的值为【分析】根据互为相反数的两个数和为0可得x+y＝0，再将已知方程组相减可得x﹣y＝2，进而解方程组求出x和y的值，再将x和y的值代入方程组中的其中一个方程即可求出k的值．【解答】解：因为关于x，y的二元一次方程组x+2y=k-1所以x+y＝0，方程组x+2y=k-②﹣①，得x﹣y＝2，解方程组x+y=0x-y=2x=1y=-1将x＝1，y＝﹣1代入①得，1﹣2＝k﹣1，解得k＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法．21．一次考试共需做20个小题，做对一个得8分，做错一个减5分，不做的得0分．某学生共得13分．那么这个学生没有做的题目有7个．【分析】假设该生做对x个题，做错y个题，没做的是z个题．根据一次考试共需做20个小题得到方程x+y+z＝20；根据做对一个得8分，做错一个减5分，不做的得0分．某学生共得13分得方程8x﹣5y＝13．通过两式加减抵消法得到方程13x+5z＝113．利用该方程的特点5z的个位数必是0、5，所以13x的个位数必是3、8，且1≤x≤8．再就x分别取1、2、3、4、5、6、7、8八种情况讨论取值的正确性．最后得出结果．【解答】解：设该生做对x个题，做错y个题，没做的是z个题．根据题意列方程组x+y+z=20由①×5+②得13x+5z＝113③根据③式可知，5z的个位数必是0、5，∴13x的个位数必是3、8，且1≤x≤8①当x＝1时，z＝20，不合题意舍去；②当x＝2时，不合题意舍去；③当x＝3时，不合题意舍去；④当x＝4时，不合题意舍去；⑤当x＝5时，不合题意舍去；⑥当x＝6时，z＝7，y＝7；⑦当x＝7时，不合题意舍去；⑧当x＝8时，不合题意舍去．故答案为7．【点评】解决本题的关键是尽量缩小对于未知数的讨论范围．根据方程13x+5z＝113得知5z的个位数必是0、5，所以13x的个位数必是3、8，且1≤x≤8．22．某长方体包装盒的展开图如图所示，如果长方体盒子的长比宽多4cm，则这个包装盒的体积是90cm3．【分析】设长方体的包装盒的高为xcm，宽为ycm，则长为（y+4）cm，然后根据梯形提供数据列出方程组，从而可求得长方体的长、宽、高，最后可求得它的体积．【解答】解：设这种长方体包装盒的宽为xcm，高为ycm，则长为（x+4）cm，根据题意得，2x+2y=14x+4+2y=13解得x=5y=2∴这个包装盒的长为9cm，宽为5cm，高为2cm，∴这个包装盒的体积V＝9×5×2＝90（cm3），故答案为：90．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用及几何体的展开图，解题关键是根据图示找到等量关系，列出方程组．三．解答题（共8小题）23．解下列方程组：（1）3x+2y=13（2）x+y2【分析】（1）直接利用加减消元法求解即可；（2）先将方程整理为一般形式，再利用加减消元法求解即可．【解答】解：（1）3x+2y=13①①+②，得6x＝18，解得x＝3，①﹣②，得4y＝8，解得y＝2．所以原方程组的解为：x=3y=2（2）原方程组化简整理，得5x+y=36①①+②×5，得46y＝46，解得y＝1，把y＝1代入②，解得x＝7，所以原方程组的解为：x=7y=1【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．24．某文具店销售甲、乙两种钢笔，甲钢笔每支进价6元，乙钢笔每支进价14元，该文具店同时进购甲、乙两种钢笔共50支，恰好用去540元．求该文具店购进了甲、乙两种钢笔各多少支？【分析】设购进甲钢笔x支，乙钢笔y支，由题意：甲钢笔每支进价6元，乙钢笔每支进价14元，该文具店同时进购甲、乙两种钢笔共50支，恰好用去540元．列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设购进甲钢笔x支，乙钢笔y支，由题意得：x+y=506x+14y=540解得：x=20y=30答：购进甲钢笔20支，乙钢笔30支．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．25．科技馆门票价格规定如下表．购票张数1﹣50张51﹣100张100张以上每张票的价格18元15元10元某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1686元．（1）七年级②班学生有多少人？（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省656元．【分析】（1）设七年级②班有x人，七年级①班有y人，由题意：七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1686元，列出方程组，解方程组即可；（2）求出购买103张票的总钱数，即可求解．【解答】解：（1）设七年级②班有x人，七年级①班有y人，由题意得：x+y=10315x+18y=1686解得：x=56y=47答：七年级②班有56人；（2）1686﹣10×103＝656（元）．即如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省656元，故答案为：656．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．26．2月8日，新世纪超市举办大型年货节．此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元．购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同．（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）该超市从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元．出售时，A种商品在进价的基础上加价30%进行标价；B商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？（3）在（2）的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价6元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了120元，则B商品按标价售出多少件？【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同列出方程，解出可得结论；（2）设购买A种商品a件，根据所用资金5800元可得购进A、B两种商品的件数，在根据两种商品的售价和进价可得总利润；（3）设B商品按标价售出m件，根据等量关系A商品的利润+B商品的利润＝（2）中的利润﹣120列出方程，可得结论．【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣40）元，由题意得2x＝3（x﹣40），解得：x＝120，120﹣40＝80（元）．答：A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元；（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（60﹣a）件，由题意得120a+80（60﹣a）＝5800，解得a＝25，60﹣a＝35．120×30%×25+20×35＝1600（元）．答：全部售完共可获利1600元；（3）设销售B商品按标价售出m件，由题意得：120×30%×25+20m+（20﹣6）（35﹣m）＝1600﹣120，解得m＝15．答：销售B商品按标价售出15件．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可求解．27．如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3…方程组n（1）将方程组1的解填入图中；（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入图中；（3）若方程组x+y=1x-ay=81的解是x=by=-8．求a，b的值，并判断该方程组及方程组的【分析】（1）根据题意得到方程组1中x为1，y为0；（2）归纳总结得到一般性规律即可；（3）将x与y的值代入方程求出a，b的值，即可作出判断．【解答】解：（1）根据题意得：方程组1的解为x=1y=0（2）根据题意得：方程组n为x+y=1x-ny=n2（3）x+y=1①x-ay=81②，将x=by=-8代入①得：b﹣8＝1，解得b把x＝9，y＝﹣8代入②，得9+8a＝81，解答a＝9，故该方程组及方程组的解属于上述集合．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．28．在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？【分析】（1）根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．【解答】解：（1）设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a元、b元，40a+90b=132060a+120b=1860解得a=15b=8即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；（2）方案一的花费为：（15×100+8×60）×0.9＝1782（元），方案二的花费为：15×100+8×（60﹣100÷5×2）＝1660（元），1782﹣1660＝122（元），1782＞1660，答：学校选用方案二更节约钱，节约122元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程的知识解答．29．已知关于x，y的方程组x+2y=5（1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解；（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？（4）如果方程组有整数解，求整数m的值．【分析】（1）把y看做已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可；（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；（3）方程变形后，确定出公共解即可；（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．【解答】解：（1）方程x+2y＝5，解得：x＝﹣2y+5，当y＝1时，x＝3；y＝2，x＝1；（2）联立得：x+2y=5x+y=