江西省赣州市十五县市2025届高二数学第一学期期末考试试题含解析

江西省赣州市十五县市2025届高二数学第一学期期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.2．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.3．在等差数列{}中，，，则的值为（）A.18 B.20C.22 D.244．函数，的值域为（）A. B.C. D.5．随着城市生活节奏的加快，网上订餐成为很多上班族的选择，下表是某外卖骑手某时间段订餐数量与送餐里程的统计数据表：订餐数/份122331送餐里程/里153045现已求得上表数据的回归方程中的值为1.5，则据此回归模型可以预测，订餐100份外卖骑手所行驶的路程约为（）A.155里 B.145里C.147里 D.148里6．已知等比数列的前n项和为，，，则（）A. B.C. D.7．函数的图象如图所示，则下列大小关系正确的是（）A.B.C.D.8．若正实数、满足，且不等式有解，则实数取值范围是（）A.或 B.或C. D.9．定义运算：．已知，都是锐角，且，，则（）A. B.C. D.10．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.是函数的极大值点B.函数在区间上单调递增C.是函数的最小值点D.曲线在处切线的斜率小于零11．若关于一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.12．对于函数，下列说法正确的是（）A.的单调减区间为B.设，若对，使得成立，则C.当时，D.若方程有4个不等的实根，则二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．矩形ABCD中，，在CD边上任取一点M，则的最大边是AB的概率为______14．直线与两坐标轴相交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为___________.15．已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为__________.16．曲线在处的切线方程为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆（1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；（2）设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值18．（12分）若分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上的一个动点，且（1）求椭圆的方程（2）是否存在过定点的直线与椭圆交于不同的两点，使（其中为坐标原点）？若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由19．（12分）设或，（1）若时，p是q的什么条件？（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围20．（12分）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点A在第一象限；（1）若直线的斜率为，求的值；（2）求线段的长度的最小值21．（12分）已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心在轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于（1）求圆的标准方程；（2）设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形．是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，请说明理由22．（10分）求满足下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；（2）焦点在y轴上，渐近线方程为，焦距长为

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先把抛物线方程化为标准方程，求出即可求解【详解】由，有，可得，抛物线的焦点坐标为故选：C2、D【解析】焦点三角形问题，可结合为三角形的中位线，判断：焦点三角形为直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出关系，从而得到关系，从而求得渐近线方程.【详解】由题意知，，且点是线段的中点，点是线段的中点，为三角形的中位线故，故，由双曲线定义有由勾股定理有故则则，故故渐近线方程为：故选：D【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系3、B【解析】根据等差数列通项公式相关计算求出公差，进而求出首项.【详解】设公差为，由题意得：，解得：，所以.故选：B4、D【解析】求出函数的导数，根据导数在函数最值上的应用，即可求出结果.【详解】因为，所以，令，又，所以或；所以当时，；当时，；所以在单调递增，在上单调递减；所以；又，，所以；所以函数的值域为.故选：D.5、C【解析】由统计数据求样本中心，根据样本中心在回归直线上求得，即可得回归方程，进而估计时的y值即可.【详解】由题意：，，则，可得，故，当时，.故选：C6、A【解析】由，可得等比数列公比q=2，利用等比数列求和公式和通项公式即可求.【详解】设等比数列的公比为q，则，.故选：A.7、C【解析】根据导数的几何意义可得答案.【详解】因为函数在某点处的导数值表示的是此点处切线的斜率，所以由图可得，故选：C8、A【解析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为正实数、满足，则，即，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因为不等式有解，则，即，即，解得或.故选：A.II卷9、B【解析】，只需求出与的正、余弦值即可，用平方关系时注意角的范围.【详解】解：因为，都是锐角，所以，，因为，所以，即，，所以，，因为，所有，故选：B.【点睛】信息给予题，已知三角函数值求三角函数值，考查根据三角函数的恒等变换求值，基础题.10、B【解析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断；【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当或时，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，因为，所以曲线在处切线的斜率大于零，故选：B11、B【解析】结合判别式求得的取值范围.【详解】由于关于的一元二次不等式的解集为，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：B12、B【解析】函数，，，,，利用导数研究函数的单调性以及极值，画出图象A.结合图象可判断出正误；B.设函数的值域为，函数，的值域为．若对，，使得成立，可得．分别求出，，即可判断出正误C.由函数在单调递减，可得函数在单调递增，由此即可判断出正误；D.方程有4个不等的实根，则，且时，有2个不等的实根，由图象即可判断出正误；【详解】函数，，，，可得函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增,当时，，由此作出函数的大致图象，如图示：A.由上述分析结合图象，可得A不正确B.设函数的值域为，函数，的值域为，对，，．，，由，若对，，使得成立，则，所以，因此B正确C．由函数在单调递减，可得函数在单调递增，因此当时，，即，因此C不正确；D.方程有4个不等的实根，则，且时，有2个不等的实根，结合图象可知，因此D不正确故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先利用勾股定理得出满足条件的长度，再结合几何概型的概率公式得出答案.【详解】设，当时，，；当时，，所以当到的距离都大于时，的最大边是AB，所以的最大边是AB的概率为.故答案为：14、【解析】由直线的方程求出直线的斜率以及，两点坐标，进而可得线段的垂直平分线的斜率以及线段的中点坐标，利用点斜式即可求解.【详解】由直线可得，所以直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，令可得；令可得；即，，所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为，整理得.故答案为：.15、【解析】由中点坐标公式和斜率公式可得的中点和直线斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程，化为一般式即可【详解】由中点坐标公式可得，的中点为，可得直线的斜率为，由垂直关系可得其垂直平分线的斜率为，故可得所求直线的方程为：，化为一般式可得故答案为：16、【解析】先求出函数的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.【详解】解：由，得，则，即当时，，所以切线方程为：，故答案为：.【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），最大值为.【解析】（1）利用垂径定理求出斜率，即可求出直线的方程；（2）利用几何法表示出弦长与d的关系，利用基本不等式求出的面积S的最大值【小问1详解】圆化为标准方程为：.则.设所求的直线为m.由圆的几何性质可知：，所以，所以所求的直线为：，即.【小问2详解】设圆心C到直线l的距离为d，则，且，所以因为直线与圆C交于A，B两点，所以,解得：且.而的面积：因为所以（其中时等号成立）.所以S的最大值为.18、（1）；（2）存在；【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，利用列方程，化简求得直线的斜率.【小问1详解】依题意，得椭圆的方程为【小问2详解】存在．理由如下：显然当直线的斜率不存在，即时，不满足条件故由题意可设的方程为．由是直线与椭圆的两个不同的交点，设，由消去y，并整理，得，则，解得，由根与系数的关系得，，即存在斜率的直线与椭圆交于不同的两点，使19、（1）充要条件；（2）.【解析】（1）根据解一元二次不等式的方法，结合充分性、必要性的定义进行求解判断即可；（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.【小问1详解】因为，所以，解得或，显然p是q的充要条件；【小问2详解】，当时，该不等式的解集为全体实数集，显然由，但不成立，因此p是q的充分不必要条件，不符合题意；当时，该不等式的解集为：，显然当时，不一定成立，因此p不是q的必要不充分条件，当时，该不等式解集为：，要想p是q的必要不充分条件，只需，而，所以，因此a的取值范围为：.20、（1）3；（2）12.【解析】(1)联立直线l与抛物线C的方程，求出A和B的横坐标即可得AFBF(2)设直线l方程为，与抛物线C方程联立，求出线段AB长度求其最小值即可.【小问1详解】设，抛物线的焦点为，直线l经过点F且斜率，直线l的方程为，将直线l方程与抛物线消去y可得，点A是第一象限内的交点，解方程得，∴.【小问2详解】设，由题知直线l斜率不为0，故设直线l的方程为：，代入抛物线C的方程化简得，，∵＞0，∴，∴，当且仅当m＝0时取等号，∴AB长度最小值为12.21、（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）设圆心，设圆的半径为，可得出，根据已知条件可得出关于实数的方程，求出的值，可得出的值，进而可得出圆的标准方程；（2）分析可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，由可求得的取值范围，列出韦达定理，分析可得，可求得点的坐标，由已知可得出，求出的值，检验即可得出结论.【小问1详解】解：设圆心，设圆的半径为，则，由题意可得，由勾股定