中学生标准学术能力诊断性测试2025届高一数学第一学期期末考试试题含解析

中学生标准学术能力诊断性测试2025届高一数学第一学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在平行四边形中，与相交于点,是线段中点，的延长线交于点,若，则等于（）A. B.C. D.2．若是的重心，且（，为实数），则（）A. B.1C. D.3．下列函数，表示相同函数的是（）A.， B.，C.， D.，4．已知函数，则的解析式是（）A. B.C. D.5．函数的部分图象如图所示，则可能是（）A. B.C. D.6．设，，，则、、的大小关系是（）A. B.C. D.7．已知为常数，函数在内有且只有一个零点，则常数的值形成的集合是A. B.C. D.8．一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0．4，则该组的频数是A.400 B.40C.4 D.6009．某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组40个.每组计数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）A.甲比乙的极差大B.乙的中位数是18C.甲的平均数比乙的大D.乙的众数是2110．以下命题（其中，表示直线，表示平面）：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则其中正确命题的个数是A.0个 B.1个C.2个 D.3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知一组数据，，…，的平均数，方差，则另外一组数据，，…，的平均数为______，方差为______12．已知，则________13．已知sinα＋cosα＝，α∈(－π，0)，则tanα＝________.14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于9m的弧田.按照上述经验公式计算所得弧田的面积是________.15．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.16．已知是幂函数，且在区间是减函数，则m=_____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为am的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点A，B分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形；方案乙：如图2，围成区域为矩形；方案丙：如图3，围成区域为梯形，且.（1）在方案乙、丙中，设，分别用x表示围成区域的面积，;（2）为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由.18．若存在实数、使得，则称函数为、的“函数”（1）若．为、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求、的解析式；（2）设函数，，是否存在实数、使得为、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由．（注：为自然数．）19．在平面直角坐标系中，已知角的页点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点.（1）求的值；（2）求旳值.20．已知函数；（1）若，使得成立，求的集合（2）已知函数的图象关于点对称，当时，．若对使得成立，求实数的取值范围21．已知，，且（1）求函数的解析式；（2）当时，的最小值是，求此时函数的最大值，并求出函数取得最大值时自变量的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】化简可得，再由及选项可得答案【详解】解：由题意得，，；、、三点共线，，结合选项可知，；故选：2、A【解析】若与边的交点为,再由三角形中线的向量表示即可.【详解】若与边交点为，则为边上的中线，所以，又因为，所以故选:A【点睛】此题为基础题，考查向量的线性运算.3、B【解析】由两个函数相同的定义，定义域相同且对应法则相同，依次判断即可【详解】选项A，一个为指数运算、一个为对数运算，对应法则不同，因此不为相同函数；选项B，，为相同函数；选项C，函数定义域为，函数定义域为，因此不为相同函数；选项D，与函数对应法则不同，因此不为相同函数故选：B4、A【解析】由于，所以.5、A【解析】先根据函数图象，求出和，进而求出，代入特殊点坐标，求出，，得到正确答案.【详解】由图象可知：，且，所以，不妨设：，将代入得：，即，，解得：，，当时，，故A正确，其他选项均不合要求.故选：A6、B【解析】利用指数函数、对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.【详解】，即，，，因此，.故选：B.7、C【解析】分析：函数在内有且只有一个零点，等价于，有一个根，函数与只有一个交点，此时，，详解：，，，，，，，，，，，，，，，令，，，，，，，，，∵零点只有一个，∴函数与只有一个交点，此时，，．故选C.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.8、A【解析】频数为考点：频率频数的关系9、B【解析】通过茎叶图分别找出甲、乙的最大值以及最小值求出极差即可判断A；找出乙中间的两位数即可判断B；分别求出甲、乙的平均数判断C；观察乙中数据即可判断D；【详解】对于A，由茎叶图可知，甲的极差为，乙的极差为，故A正确；对于B，乙中间两位数为，故中位数为，故B错误；对于C，甲的平均数为，乙的平均数为，故C正确；对于D，乙组数据中出现次数最多为21，故D正确；故选：B【点睛】本题考查了由茎叶图估计样本数据的数字特征，属于基础题.10、A【解析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择【详解】①若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故错；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交或异面，故②错；③若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故③错；④若a∥α，b⊂α，则a、b平行或异面，故④错正确命题个数为0个，故选A.【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，直线与平面的位置关系，主要考查线面平行的判定和性质.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①.11②.54【解析】由平均数与方差的性质即可求解.【详解】解：由题意，数据，，…，的平均数为，方差为故答案：11，54.12、【解析】利用和的齐次分式，表示为表示的式子，即可求解.【详解】.故答案为：13、.【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得和的值，可得的值.【详解】因为sinα＋cosα＝，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝.因为α∈(－π，0)，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα－cosα＝，与sinα＋cosα＝联立解得sinα＝－，cosα＝，所以tanα＝.故答案为：.【点睛】该题考查的是有关三角函数恒等变换化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，在解题的过程中，注意这三个式子是知一求二，属于简单题目.14、.【解析】如下图所示，在中，求出半径，即可求出结论.【详解】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧为，则，所以矢长为，在中，，，所以，，所以弧田的面积为.故答案为：.【点睛】本题以数学文化为背景，考查直角三角形的边角关系，认真审题是解题的关键，属于基础题.15、【解析】先求，再根据奇函数求【详解】，因为为奇函数，所以故答案为：【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.16、【解析】根据幂函数系数为1，得或，代入检验函数单调性即可得解.【详解】由是幂函数，可得，解得或，当时，在区间是减函数，满足题意；当时，在区间是增函数，不满足题意；故.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；，.（2）农户应该选择方案三，理由见解析.【解析】（1）根据矩形面积与梯形的面积公式表示即可得答案；（2）先根据基本不等式研究方案甲得面积的最大值为，再根据二次函数的性质结合（1）研究，的最大值即可得答案.【小问1详解】解：对于方案乙，当时，，所以矩形的面积，；对于方案丙，当时，，由于所以，所以梯形面积为，.【小问2详解】解：对于方案甲，设，则，所以三角形的面积为，当且仅当时等号成立，故方案甲的鸡圈面积最大值为.对于方案乙，由（1）得，，当且仅当时取得最大值.故方案乙的鸡圈面积最大值为；对于方案丙，，.当且仅当时取得最大值.故方案丙的鸡圈面积最大值为；由于所以农户应该选择方案丙，此时鸡圈面积最大.18、（1），；（2）存在；，.【解析】（1）由已知条件可得出关于、的等式组，由此可解得函数、的解析式；（2）由偶函数的定义可得出，由函数的值域结合基本不等式以及对数函数的单调性可求得的值，进而可求得的值，即可得解.【小问1详解】解：因为为、的“函数”，所以①，所以因为为奇函数，为偶函数，所以，所以②联立①②解得，【小问2详解】解：假设存在实数、，使得为，的“函数”则①因为是偶函数，所以即，即，因为，整理得因为对恒成立，所②，因为，当且仅当，即时取等号所以，由于的值域为，所以，且又因为，所以，综上，存在，满足要求19、（1）（2）【解析】（1）根据三角函数的定义可求得的值，再利用诱导公式结合同角的三角函数关系化简可得结果；（2）利用二倍角的余弦公式可直接求得答案.【小问1详解】由角的终边经过点，可得，，故；小问2详解】.20、（1）（2）【解析】（1）根据的值域列不等式，由此求得的取值范围.（2）先求得在时的值域，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.【小问1详解】的值域为，所以，，，所以.所以的取值范围是.【小问2详解】由（1），当时，所以在时的值域为记函数的值域为.若对任意的，存在，使得成立，则因为时，，所以，即函数的图象过对称中心(i)当，即时，函数在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，从而在上单调递增，由对称性得，则要使，只需，解得，所以，(ii)当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减所以函数在上单调递减，在上单调递