广东省揭阳市惠来一中2025届高二上数学期末学业水平测试试题含解析

广东省揭阳市惠来一中2025届高二上数学期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为，的面积为，并向正方形中随机投掷个点，用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率为附表：A. B.C. D.2．某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其售价进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示.按公式计算，与的回归直线方程是，则下列说法错误的是（）售价99.51010.511销售量1110865A.B.售价变量每增加1个单位时，销售变量大约减少3.2个单位C.当时，的估计值为12.8D.销售量与售价成正相关3．“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件4．已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A或1 B.或C. D.15．已知直线，，若，则实数的值是（）A.0 B.2或-1C.0或-3 D.-36．已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（）A. B.C. D.17．若，则的最小值为（）A.1 B.2C.3 D.48．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.9．已知数列满足，在任意相邻两项与(k＝1，2，…)之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，则的值为（）A.162 B.163C.164 D.16510．已知双曲线，其渐近线方程为，则a的值为（）A. B.C. D.211．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.12．下列说法正确的个数有（）个①在中，若，则②是，，成等比数列的充要条件③直线是双曲线的一条渐近线④函数的导函数是，若，则是函数的极值点A.0 B.1C.2 D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，正方体中，点E，F，G分别是，AB，的中点，则直线与GF所成角的大小是______（用反三角函数表示）14．已知数列的前项和.则数列的通项公式为_______.15．椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8B.椭圆上存在点，使得C.椭圆的离心率为D.为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为316．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数的点的轨迹是—个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点E在棱上，，动点P满足，若点P在平面内运动，则点P对应的轨迹的面积是___________；F为的中点，则三棱锥体积的最小值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，，点，，分别为，，的中点，平面棱（1）试确定的值，并证明你的结论；（2）求平面与平面夹角的余弦值18．（12分）如图，在长方体中，底面是边长为1的正方形，侧棱长为2，且动点P在线段AC上运动（1）若Q为的中点，求点Q到平面的距离；（2）设直线与平面所成角为，求的取值范围19．（12分）芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素．根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据统计如下：（1）根据折线图的数据,求y关于x的线性回归方程(系数精确到整数部分);（2）为鼓励科技创新,当研发技术投入不少于16亿元时,国家给予公司补贴5亿元,预测当芯片的研发投入为17亿元时公司的实际收益附:其回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,．参考数据,20．（12分）如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，是的中点，且满足（1）求证：平面；（2）已知，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小21．（12分）已知数列的前n项积，数列为等差数列，且，（1）求与的通项公式；（2）若，求数列的前n项和22．（10分）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，分别是棱，的中点（1）证明：平面；（2）若，且四棱锥的体积是6，求三棱锥的体积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】每个点落入中的概率为，设落入中的点的数目为，题意所求概率为故选D2、D【解析】首先求出、，再根据回归直线方程必过样本中心点，即可求出，再根据回归直线方程的性质一一判断即可；【详解】解：因为，，与回归直线方程，恒过定点，，解得，故A正确，所以回归直线方程为，即售价变量每增加1个单位时，销售变量大约减少3.2个单位，故B正确；当时，即当时，的估计值为12.8，故C正确；因为回归直线方程为，所以销售量与售价成负相关，故D错误；故选：D3、A【解析】根据直线垂直求出值即可得答案.【详解】解：若直线和直线垂直，则，解得或，则“”是“直线和直线垂直”的充分非必要条件.故选：A.4、A【解析】分截距都为零和都不为零讨论即可.【详解】当截距都为零时，直线过原点，；当截距不为零时，，.综上：或.故选：A.5、C【解析】由，结合两直线一般式有列方程求解即可.【详解】由知：,解得：或故选：C.6、A【解析】求出圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离，列方程即可求得的值.【详解】由圆可得圆心，半径，因为圆上有三个点到直线的距离等于1，所以圆心到直线的距离，可得：，故选：A.7、D【解析】由基本不等式求解即可.【详解】，当且仅当时，取等号.即所求最小值.故选：D8、B【解析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果【详解】因为，所以，即所以，由双曲线的定义，知，设，则，易得，如图，作，为垂足，则，所以，即，即双曲线的离心率为.故选：B9、C【解析】确定数列的前70项含有的前6项和64个2，从而求出前70项和.【详解】，其中之间插入2个2，之间插入4个2，之间插入8个2，之间插入16个2，之间插入32个2，之间插入64个2，由于，，故数列的前70项含有的前6项和64个2，故故选：C10、A【解析】由双曲线方程，根据其渐近线方程有，求参数值即可.【详解】由渐近线，结合双曲线方程，∴，可得.故选：A.11、A【解析】由切线的性质，可得，，再结合椭圆定义，即得解【详解】因为过点的直线圆的切线，，，所以由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率故选：A12、B【解析】根据三角函数、等比数列、双曲线和导数知识逐项分析即可求解.【详解】①在中，则有，因，所以，又余弦函数在上单调递减，所以，故①正确，②当且时，此时，但是，，不成等比数列，故②错误，③由双曲线可得双曲线的渐近线为，故③错误，④“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件，故④错误.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】连接，由得出直线与GF所成角，再由余弦定理得出直线与GF所成角的大小.【详解】连接，因为，所以直线与GF所成角为.设，则，，，又异面直线的夹角范围为，所以直线与GF所成角的大小是.故答案为：14、【解析】根据公式求解即可.【详解】解：当时，当时，因为也适合此等式，所以.故答案为：15、ABD【解析】结合椭圆定义判断A选项的正确性，结合向量数量积的坐标运算判断B选项的正确性，直接法求得椭圆的离心率，由此判断C选项的正确性，结合两点间距离公式判断D选项的正确性.【详解】对于选项：由椭圆定义可得：，因此的周长为，所以选项正确；对于选项：设，则，且，又，，所以，，因此，解得，，故选项正确；对于选项：因为，，所以，即，所以离心率，所以选项错误；对于选项：设，，则点到圆的圆心的距离为，因为，所以，所以选项正确，故选：ABD16、①.②.【解析】建立空间直角坐标系，根据，可得对应的轨迹方程；先求的面积，其是固定值，要使体积最小，只需求点到平面的距离的最小值即可.【详解】分别以为轴建系，设，而,,，,.由,有，化简得对应的轨迹方程为.所以点P对应的轨迹的面积是.易得的三个边即是边长为为的等边三角形，其面积为，，设平面的一个法向量为，则有，可取平面的一个法向量为，根据点的轨迹，可设，，所以点到平面的距离，所以故答案为：；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），证明见解析（2）【解析】（1），利用线面平行的判定和性质可得答案；（2）以为原点，所在直线分别为的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量由向量夹角公式可得答案.【小问1详解】.证明如下：在△中，因为点分别为的中点，所以//.又平面，平面，所以//平面.因为平面，平面平面，所以//所以//.在△中，因为点为的中点，所以点为的中点，即.【小问2详解】因为底面为正方形，所以.因为底面，所以，.如图，建立空间直角坐标系，则，，，因为分别为的中点，所以.所以，.设平面的法向量，则即令，于.又因为平面的法向量为，所以所以平面与平面夹角的余弦值为.18、（1）1（2）【解析】(1)以AB，AD，为x，y，z轴正向建立直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法计算即可；(2)设点，，进而得出的坐标，利用向量的数量积即可列出线面角正弦值的表达式，结合二次函数的性质即可得出结果.【小问1详解】由题意，分别以AB，AD，为x，y，z轴正向建立直角坐标系，于是，，，，，设平面法向量所以，解得，，令得，，设点Q到平面的距离为d，【小问2详解】由（1）可知，平面的法向量，由P点在线段AC上运动可设点，于是，，所以，的取值范围是19、（1）（2）85亿元【解析】(1)利用公式和数据计算即可(2)代入回归直线计算即可【小问1详解】由折线图中数据知,,,因为,所以所以y关于x的线性回归方程为【小问2详解】当时,亿元,此时公司的实际收益的预测值为亿元20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）分别证明出和，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）以C为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角.【小问1详解】因为点在底面内的射影恰好是点，所以面.因为面,所以.因为是的中点，且满足．所以，所以.因为，所以，即,所以.因为,面,面,所以平面.【小问2详解】∵面，∴直线与底面所成角为，即.因为，所以由（1）知，，因，所以，.如图示，以C为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则,,,,所以，设，由得，，即.则.设平面BDC1的一个法向量为，则，不妨令，则.因为面，所以面的一个法向量为记二面角的平面角为，由图知，为锐角.所以,即.所以二面角的大小为.21、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，两式相除得，由已知得，求得数列的公差为，由等差数列的通项公式可求得；（2）运用错位相减法可求得.【小问1详解】解：因为数列的前n项积，所以，所以，两式相除得，因为数列为等差数列，且，，所以，即，所以数列的公差为，所以，所以，【小问2详解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.22、（1）证明见解析.（2）2.【解析】（1）取的中点，连接，．运用面面平行的判定和性质可得证；（2）过点作，垂足为，连接，，设点到平面的距离为，根据棱锥的体积求得，再