矩阵论简明教程课后习题与答案解析

1、习 题 一13. 设A C是Hermite矩阵。证明A是Hermite正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite正定矩阵B，使得A=B。解：若A是Hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵U, 使得UAU=, 0, I=1, 2, n.于是A=UU = UUUU令B=UU则 A=B.反之,当 A=B且B是Hermit正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit正定矩阵,故A是Hermit 正定的.14. 设A C是Hermite矩阵，则下列条件等价:（1）A是Mermit半正定矩阵。（2）A的特征值全为非负实数。（3）存在矩阵P C,使得A=PP解：(1)(2)

2、. 因A是Hermit矩阵,则存在酉矩阵U,使得UAU=diag()令x=Uy, 其中 y=e. 则 x0. 于是xAx=y(UAU)y=0 (k=1, 2, n).(2)(3). A=Udiag()U=Udiag()diag()U令 P=diag()U, 则 A=PP .(3)(1). 任取x0, 有xAx=xPPx=0.习 题 二1.求向量x=（1+i，-2,4i，1,0）的1、2、范数。 解：=7+, =,=max=4.2. 设，.是一组给定的正数，对任意x=（,.） C,规定= 。证明是C上的一种向量范数。解：当 x0时, 有 0; 当 x0时, 显然有 =0. 对任意C, 有=.为证

3、明三角不等式成立,先证明Minkowski不等式:设 1p, 则对任意实数 x,y(k=1, 2, n)有证 当 p=1时，此不等式显然成立. 下设 p1, 则有对上式右边的每一个加式分别使用Hlder不等式, 并由 (p1)q=p, 得=再用 除上式两边,即得 Minkowski 不等式.现设任意 y=()C, 则有=.3. 设a，b是C上的两种向量范数，又，是正常数，证明下列函数是C上的向量范数。(1) 函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义:max(A, B)=max(max()=max( )+max( )(2) 只证三角不等式.k+kk+k+k+k=(

4、 k+k)+( k+k) .4. ; ;列和范数(最大列模和)=;=行和范数(最大行模和)=9 ; 5. 已知m 是C上的矩阵范数，S是n阶可逆矩阵。对任意A C，规定= ，证明是C上的一种矩阵范数。解：非负性: AO时SASO, 于是 0. A=O时, 显然 =0;齐次性: 设C, 则 =;三角不等式: ;相容性: =.6. 证明：对C上的任意矩阵范数均有1。因为IO, 所以0.从而利用矩阵范数的相容性得:,即1.7. 证明C上的m范数与C上的1、2范数相容。解：设 A=(A)C, x=C, 且 A=, 则 =nA=; = =AnA=.10. 设U是n阶酉矩阵，证明解：利用定理2.12得.1

5、2设为C上的矩阵范数，为A C的特征值，证明.解：设x是对应于的特征向量, 则A.又设 是C上与矩阵范数相容的向量范数,那么因 0, 故由上式可得 .习 题 三4.我们用用两种方法求矩阵函数e:相似对角化法. , 当 ia时, 解方程组 (iaA)x=0, 得解向量 p=(i, 1).当 =ia时, 解方程组 (ia+A)x=0, 得解向量 p=(i, 1).令P=, 则P=, 于是e=PP=.利用待定系数法. 设e=(+a)q()+r(), 且 r()=b+b, 则由b=cosa , b=sina .于是e=bI+bA=cosa+sina=.后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定

6、系数法. 设f()=cos, 或 sin 则有 与 由此可得 与 故 (sinia)A=sinA与(cosia)I=cosA. 5.对A=求得P= , P=, PAP=e=Pdiag(e,e,e)P=sinA=Pdiag(sin(1),sin1,sin2)P=8. 证明：对任意AC,有：（1） sinA+cosA=I;（2） sin(A+2I)= sinA;（3）cos(A+2I)= cosA;（4）e =e(1) sinA+cosA= = =e=I (2) sin(A+2I)=sinAcos(2I)+cosAsin(2I) =sinAI(2I)+(2I)+cosA2I(2I)+(2I) =

7、sinA1(2)+(2)I+cosA2(2)+(2)I =sinAcos2+cosAsin2 （3）的证明同上.(4) 因为 A（2iI）=(2iI)A ,所以根据定理3.10可得e=ee=eI+(2I)+(2iI)+(2iI)+=e1(2)+(2)+i2(2)+(2)I=ecos2+isin2I=e此题还可用下列方法证明:e=ee=ePP=ePIP=e用同样的方法可证: e=ee.10.证明：若A为反对称矩阵，则e是正交矩阵。 A=A, 根据第7题的结果得 (e)=e=e, 于是有e(e)=ee=e=e=I 习 题 四9. 求下列矩阵的Hermite标准形和所用的变换矩阵S,并求满秩分解：(1) 对A施行初等行变换 S= A=10.求下列矩阵的奇异值分解：(1); (1) 的特征值是5，0，0. 分别对应特征向