松原市重点中学2025届高二数学第一学期期末联考试题含解析_第1页
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文档简介

松原市重点中学2025届高二数学第一学期期末联考试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在正方体中,分别是线段的中点,则点到直线的距离是()A. B.C. D.2.甲、乙、丙、丁共4名同学进行党史知识比赛,决出第1名到第4名的名次(名次无重复),其中前2名将获得参加市级比赛的资格,甲和乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说:“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析,4人的排名有()种不同情况.A.6 B.8C.10 D.123.在等差数列中,,且构成等比数列,则公差等于()A.0 B.3C. D.0或34.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A. B.C. D.5.已知双曲线的离心率,点是抛物线上的一动点,到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为,则该双曲线的方程为A. B.C. D.6.设函数,当自变量t由2变到2.5时,函数的平均变化率是()A.5.25 B.10.5C.5.5 D.117.直线在y轴上的截距是A. B.C. D.8.甲、乙两名同学同时从教室出发去体育馆打球(路程相等),甲一半时间步行,一半时间跑步;乙一半路程步行,一半路程跑步.如果两人步行速度、跑步速度均相等,则()A.甲先到体育馆 B.乙先到体育馆C.两人同时到体育馆 D.不确定谁先到体育馆9.已知向量,,且,,,则一定共线的三点是()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D10.如图,在三棱锥中,平面ABC,,,,则点A到平面PBC的距离为()A.1 B.C. D.11.已知命题:,命题:则是的()条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要12.若是双曲线的左右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为,若,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知、均为正实数,且,则的最小值为___________.14.若,,,,与,,,,,,均为等差数列,则______15.已知圆,过点作圆O的切线,则切线方程为___________.16.如图,椭圆左顶点为轴上一点满足,且线段与椭圆交于点是以为底边的等腰三角形,则椭圆离心率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过点的直线l交椭圆于A,两点,的中点坐标为.(1)求直线l的方程;(2)求的面积.18.(12分)已知函数的图像为曲线,点、.(1)设点为曲线上在第一象限内的任意一点,求线段的长(用表示);(2)设点为曲线上任意一点,求证:为常数;(3)由(2)可知,曲线为双曲线,请研究双曲线的性质(从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究).19.(12分)已知是等差数列,其n前项和为,已知(1)求数列的通项公式:(2)设,求数列的前n项和20.(12分)一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂,且只受重力的影响,这个链子形成的曲线形状被称为悬链线(如图所示).选择适当的坐标系后,悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数,其解析式可以为,其中,是常数.(1)当时,判断并证明的奇偶性;(2)当时,若最小值为,求的最小值.21.(12分)已知等比数列的公比,且,是的等差中项.数列的前n项和为,满足,.(1)求和的通项公式;(2)设,求的前2n项和.22.(10分)某校高三年级进行了一次数学测试,全年级学生的成绩都落在区间内,其成绩的频率分布直方图如图所示,若(1)求a,b的值;(2)若成绩落在区间内的人数为36人,请估计该校高三学生的人数

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】以为坐标原点,分别以的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,然后,列出计算公式进行求解即可【详解】如图,以为坐标原点,分别以的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系.因为,所以,所以,则点到直线的距离故选:A2、C【解析】由题可知甲不在前2名,乙不在最后一名,然后分类讨论可得答案.【详解】若甲是最后一名,则其他三人没有限制,4人排名即为,若甲是第三名,4人的排名为,所以4人的排名有种情况.故选:C3、D【解析】根据,且构成等比数列,利用“”求解.【详解】设等差数列的公差为d,因为,且构成等比数列,所以,解得,故选:D4、B【解析】写出每次循环的结果,即可得到答案.【详解】当时,,,,;,此时,退出循环,输出的的为.故选:B【点睛】本题考查程序框图的应用,此类题要注意何时循环结束,建议数据不大时采用写出来的办法,是一道容易题.5、B【解析】先根据离心率得,再根据抛物线定义得最小值为(为抛物线焦点),解得,即得结果.【详解】因为双曲线的离心率,所以,设为抛物线焦点,则,抛物线准线方程为,因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于,因为,所以,即,即双曲线的方程为,选B.【点睛】本题考查双曲线方程、离心率以及抛物线定义,考查基本分析求解能力,属中档题.6、B【解析】利用平均变化率的公式即得.【详解】∵,∴.故选:B.7、D【解析】在y轴上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【详解】令x=0,则y=-2,即直线在y周上的截距为-2,故选D.8、A【解析】设出总路程与步行速度、跑步速度,表示出两人所花时间后比较不等式大小【详解】设总路程为,步行速度,跑步速度对于甲:,得对于乙:,当且仅当时等号成立,而,故,乙花时间多,甲先到体育馆故选:A9、A【解析】由已知,分别表示出选项对应的向量,然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因,,,选项A,,,若A,B,D三点共线,则,即,解得,故该选项正确;选项B,,,若A,B,C三点共线,则,即,解得不存,故该选项错误;选项C,,,若B,C,D三点共线,则,即,解得不存在,故该选项错误;选项D,,,若A,C,D三点共线,则,即,解得不存在,故该选项错误;故选:A.10、A【解析】设点A到平面PBC的距离为,根据等体积法求解即可.【详解】因为平面ABC,所以,因为,,所以又,,所以,所以,设点A到平面PBC的距离为,则,即,,故选:A11、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解:若,则或,即或,所以是的必要不充分条件故选:B12、D【解析】根据已知条件,找出,的齐次关系式即可得到双曲线的离心率.【详解】由题意得,,,在中,,因,故,在,由余弦定理得,即,计算得,故.故选:D.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a,c,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由基本不等式可得出关于的不等式,即可解得的最小值.【详解】因、均为正实数,由基本不等式可得,整理可得,,,则,解得,当且仅当时,即当时,等号成立,故的最小值为.故答案为:.14、##【解析】由题意利用等差数列的定义和通项公式,求得要求式子的值【详解】设等差数列,,,,的公差为,等差数列,,,,,,的公差为,则有,且,所以,则,故答案为:15、或【解析】首先判断点圆位置关系,再设切线方程并联立圆的方程,根据所得方程求参数k,即可写出切线方程.【详解】由题设,,故在圆外,根据圆及,知:过作圆O的切线斜率一定存在,∴可设切线为,联立圆的方程,整理得,∴,解得或.∴切线方程为或.故答案为:或.16、##【解析】根据题设条件可得坐标,代入椭圆方程后可求椭圆的离心率.【详解】因为,故,,且在轴的正半轴上,则在第二象限中,故,代入椭圆方程有:即,故,故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)设,根据AB的中点坐标可得,再利用点差法求得直线的斜率,即可求出直线方程;(2)易得直线过左焦点,联立直线和椭圆方程,消,利用韦达定理求得,再根据即可得出答案.【小问1详解】解:设,因为的中点坐标为,所以,则,两式相减得,即,即,所以直线l的斜率为1,所以直线l的方程为,即;【小问2详解】在直线中,当时,,由椭圆:,得,则直线过点,联立,消整理得,则,.18、(1);(2)具体见解析;(3)具体见解析.【解析】(1)由两点间的距离公式求出距离,进而将式子化简即可;(2)求出,进而讨论两种情况,然后结合基本不等式即可证明问题;(3)根据为双曲线的焦点,结合双曲线的图形特征即可求得该双曲线的相关性质.【小问1详解】由题意,.【小问2详解】设,由(1),.若x>0,则,当且仅当时取“=”,则,,所以.若x<0,则,当且仅当时取“=”,则,,所以.综上:,为常数.【小问3详解】易知函数:为奇函数,则其图象关于原点对称.由(2)可知,曲线为双曲线,为双曲线的焦点,则它关于直线对称,还关于与垂直且过原点的直线对称.,则,易得.综上:双曲线关于原点(0,0)对称,且关于直线对称.容易知道,直线是双曲线C的渐近线.易知线段是双曲线的实轴,将代入双曲线解得顶点:.于是实轴长为焦距为,则离心率.19、(1);(2).【解析】(1)利用等差数列的基本量,结合已知条件,列出方程组,求得首项和公差,即可写出通项公式;(2)根据(1)中所求,结合裂项求和法,即可求得.【小问1详解】因为是等差数列,其n前项和为,已知,设其公差为,故可得:,,解得,又,故.【小问2详解】由(1)知,,又,故.即.20、(1)偶函数(2)10【解析】(1)根据偶函数定义直接判断可知;(2)由基本不等式求得的最小值,得到a、b的关系,然后代入目标式,分离常数,然后可得.【小问1详解】当时,,定义域为R,因为所以为偶函数.【小问2详解】因为,所以,当且仅当,即时,取等号.由题知,即,因为,所以,即所以令,,则,所以,所以,当,即时,取等号.所以的最小值为10.21、(1),()(2)【解析】(1)等差数列和等比数列的基本量的计算,根据条件列出方程,并解方程即可;(2)数列根据的奇偶分段表示,奇数项通过乘公比错位相减法克求得前项和,偶数项则是通过裂项求和.【小问1详解】由得,.又,,所以,即,解得或(舍去).所以(),当时,

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