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文档简介
安徽省重点中学2025届高二数学第一学期期末考试试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,-=1,则an=()A.2n-1 B.nC.2n-1 D.2n-12.若圆与直线相切,则实数的值为()A. B.或3C. D.或3.设,则曲线在点处的切线的倾斜角是()A. B.C. D.4.已知分别是椭圆的左,右焦点,点M是椭圆C上的一点,且的面积为1,则椭圆C的短轴长为()A.1 B.2C. D.45.已知椭圆的一个焦点坐标为,则的值为()A.1 B.3C.9 D.816.已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为,则()A.5 B.25C. D.7.如图,在四面体中,,,,点为的中点,,则()A. B.C. D.8.已知,为椭圆上关于短轴对称的两点,、分别为椭圆的上、下顶点,设,、分别为直线,的斜率,则的最小值为()A. B.C. D.9.已知、分别为双曲线的左、右焦点,且,点P为双曲线右支一点,为的内心,若成立,给出下列结论:①点的横坐标为定值a;②离心率;③;④当轴时,上述结论正确的是()A.①② B.②③C.①②③ D.②③④10.已知双曲线的离心率为,左焦点为F,实轴右端点为A,虚轴上端点为B,则为()A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形 D.锐角三角形11.的展开式中的系数是()A.1792 B.C.448 D.12.已知圆与圆没有公共点,则实数a的取值范围为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某学生到某工厂进行劳动实践,利用打印技术制作模型.如图,该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分(两个圆柱底面圆的圆心重合),大圆柱的轴截面是边长为的正方形,小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半,打印所用原料的密度为,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为________g.(取)14.如图,椭圆左顶点为轴上一点满足,且线段与椭圆交于点是以为底边的等腰三角形,则椭圆离心率为__________.15.点为椭圆上的一动点,则点到直线的距离的最小值为___________.16.写出一个离心率且焦点在轴上的双曲线的标准方程________,并写出该双曲线的渐近线方程________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为深入学习贯彻总书记在党史学习教育动员大会上的重要讲话精神和中共中央有关决策部署,推动教育系统围绕建党百年重大主题,深化中学在校师生理想信念教育,引导师生学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行,以昂扬的状态迎接中国共产党建党周年,哈工大附中高二年级组织本年级同学开展了一场党史知识竞赛.为了解本次知识竞赛的整体情况,随机抽取了名学生的成绩作为样本进行统计,得到如图所示的频率分布直方图(1)求直方图中a的值,并求该次知识竞赛成绩的第50百分位数(精确到0.1);(2)已知该样本分数在的学生中,男生占,女生占现从该样本分数在的学生中随机抽出人,求至少有人是女生的概率.18.(12分)已知等差数列的前n项和为,且.(1)求数列的通项公式及;(2)设,求数列的前n项和.19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C1:的左、右焦点分别为,且椭圆C1与抛物线C2:y2=2px(p>0)在第一象限的交点为Q,已知.(1)求的面积(2)求抛物线C2的标准方程.20.(12分)已知数列满足,(1)证明是等比数列,(2)求数列的前项和21.(12分)圆的圆心为,且与直线相切,求:(1)求圆的方程;(2)过的直线与圆交于,两点,如果,求直线的方程22.(10分)如图,四棱锥中,,,,平面,点F在线段上运动.(1)若平面,请确定点F的位置并说明理由;(2)若点F满足,求平面与平面的夹角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题可得,利用与的关系即求.【详解】∵a1=1,-=1,∴是以1为首项,以1为公差的等差数列,∴,即,∴当时,,当时,也适合上式,所以故选:A.2、D【解析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案.【详解】若圆与直线相切,则到直线的距离为,所以,解得,或.故选:D.3、C【解析】根据导数的概念可得,再利用导数的几何意义即可求解.【详解】因为,所以,则曲线在点处的切线斜率为,故所求切线的倾斜角为.故选:C4、B【解析】首先分别设,,再根据椭圆的定义和性质列出等式,即可求解椭圆的短轴长.【详解】设,,所以,即,即,得,短轴长为.故选:B5、A【解析】根据条件,利用椭圆标准方程中长半轴长a,短半轴长b,半焦距c关系列式计算即得.【详解】由椭圆的一个焦点坐标为,则半焦距c=2,于是得,解得,所以值为1.故选:A6、B【解析】由渐近线方程得到,焦点坐标为,渐近线方程为:,利用点到直线距离公式即得解【详解】由题意,双曲线故焦点坐标为,渐近线方程为:焦点到它的一条渐近线的距离为:解得:故选:B7、B【解析】利用插点的方法,将归结到题目中基向量中去,注意中线向量的运用.【详解】.故选:B.8、A【解析】设出点,的坐标,并表示出两个斜率、,把代数式转化成与点的坐标相关的代数式,再与椭圆有公共点解决即可.【详解】椭圆中:,设则,则,,令,则它对应直线由整理得由判别式解得即,则的最小值为故选:A9、C【解析】利用双曲线的定义、几何性质以及题意对选项逐个分析判断即可【详解】对于①,设内切圆与的切点分别为,则由切线长定理可得,因为,,所以,所以点的坐标为,所以点的横坐标为定值a,所以①正确,对于②,因为,所以,化简得,即,解得,因为,所以,所以②正确,对于③,设的内切圆半径为,由双曲线的定义可得,,因为,,所以,所以,所以③正确,对于④,当轴时,可得,此时,所以,所以④错误,故选:C10、A【解析】根据三边的关系即可求出【详解】因,所以,而,,,所以,即,所以为直角三角形故选:A11、D【解析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.【详解】的展开式中,含的项为.所以的系数是.故选:D12、B【解析】求出圆、的圆心和半径,再由两圆没有公共点列不等式求解作答.【详解】圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,,因圆、没有公共点,则有或,即或,又,解得或,所以实数a的取值范围为.故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4500【解析】根据题意可知大圆柱的底面圆的半径,两圆柱的高,设小圆柱的底面圆的半径为,再根据小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半,求出小圆柱的底面圆的半径,然后求出该模型的体积,从而可得出答案.【详解】解:根据题意可知大圆柱的底面圆的半径,两圆柱的高,设小圆柱的底面圆的半径为,则有,即,解得,所以该模型的体积为,所以制作该模型所需原料的质量为.故答案:4500.14、##【解析】根据题设条件可得坐标,代入椭圆方程后可求椭圆的离心率.【详解】因为,故,,且在轴的正半轴上,则在第二象限中,故,代入椭圆方程有:即,故,故答案为:.15、【解析】设与平行的直线与相切,求解出此时的方程,则点到直线距离的最大值可根据平行直线间的距离公式求解出.【详解】设与平行的直线,当与椭圆相切时有:,所以,所以,所以,由题意取时,到直线的距离较小此时与(即)的距离为,所以点到直线距离的最小值为,故答案为:.16、①.(答案不唯一)②.(答案不唯一)【解析】令双曲线为,根据离心率可得,结合双曲线参数关系写出一个符合要求的双曲线方程,进而写出对应的渐近线方程.【详解】由题设,可令双曲线为且,∴,则,故为其中一个标准方程,此时渐近线方程为.故答案为:,(答案不唯一).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)利用频率和为1求出a;利用百分位数的定义求出知识竞赛成绩的第50百分位数;(2)先利用分层抽样求出男、女生的人数,利用古典概型求概率.【小问1详解】,由,解得设该次知识竞赛成绩的第50百分位数为x,则,解得:.即该次知识竞赛成绩的第50百分位数为【小问2详解】由频率分布直方图可知:分数在)的人数有人,所以这人中,女生有人,记为、,男生有人,记为、、、从这人中随机选取人,基本事件为:、、、、、、、、、、、、、、,共种不同取法;则至少有人是女生的基本事件为、、、、、、、、,共种不同取法,则所求的概率为18、(1)(2)【解析】(1)设等差数列的公差为,根据已知条件可得出关于、的方程组,解出这两个量的值,利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式,利用等差数列前n项和公式求出;(2)求得,利用裂项相消法即可求得.【小问1详解】设等差数列的公差为,由,解得,所以,故数列的通项公式,;【小问2详解】由(1)可得,所以,所以.19、(1)(2)【解析】(1)设,由椭圆的定义可得,结合余弦定理可得出的值,从而可得面积.(2)设,根据的面积结合椭圆的方程求出点的坐标,代入抛物线可得答案.【小问1详解】由椭圆方程知a=2,b=1,,设,则即,求得所以的面积为【小问2详解】设由(1)中,得又,,所以代入抛物线方程得,所以所以抛物线的标准方程为20、(1)见解析;(2)【解析】(1)利用定义法证明是一个与n无关的非零常数,从而得出结论;(2)由(1)求出,利用分组求和法求【详解】(1)由得,所以,所以是首项为,公比为的等比数列,,所以,(2)由(1)知的通项公式为;则所以【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法,属于基础题21、(1)(2)或【解析】由点到直线的距离公式求得圆的半径,则圆的方程可求;当直线的斜率不存在时,求得弦长为,满足题意;当直线的斜率不存在时,设出直线方程,求出圆心到直线的距离,再由垂径定理列式求,则直线方程可求【小问1详解】由题意得:圆的半径为,则圆的方程为;【小问2详解】当直线的斜率不存在时,直线方程为,得,符合题意;当直线的斜率存在时,设直线方程为,即圆心到直线的距离,则,解得直线的方程为直线的方程为或22、(1)F为BD的中点,证明见解析;(2).【解析】(1)由为的中点,取的中点,连接易证四边形为平行四边形,得到,再利用线面平行的判定定理证明;(2)根据题意可得平面ABC与平面AFC的夹角为二面角,取的中点H为坐标原点,建立空间直角坐标
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