天津市南开中学2025届高三数学开学统练试题含解析

PAGE21-天津市南开中学2025届高三数学开学统练试题（含解析）一、选择题1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出后可求.【详解】，故，故选D.【点睛】本题考查集合的运算，此类问题属于基础题.2.设，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，依据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来推断条件．3.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即，故选D．解法二:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，，为中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象实力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两相互垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出来，即可依据双曲线离心率的定义求得离心率．【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有∴，，，∴．故选D．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．5.已知，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等中间值区分各个数值的大小．【详解】，，，故，所以．故选A．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．6.设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】因为表示不超过的最大整数．由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与冲突，故正整数的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．7.已知函数是奇函数，将的图像上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】只需依据函数性质逐步得出值即可．【详解】因为为奇函数，∴；又，，又∴，故选C．【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数．8.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先推断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．【详解】∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以．当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法探讨函数的单调性，进行综合分析．二、填空题9.绽开式中的常数项为________.【答案】【解析】【分析】依据二项绽开式的通项公式得出通项，依据方程思想得出的值，再求出其常数项．【详解】，由，得，所以的常数项为.【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的．10.设，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】把分子绽开化为，再利用基本不等式求最值．【详解】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．【点睛】运用基本不等式求最值时肯定要验证等号是否能够成立．11.在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则__________.【答案】.【解析】分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，．因为∥，，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为．由得，，所以．所以．【点睛】平面对量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中运用坐标方法更为便利．12.已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．【答案】4【解析】【分析】由题，依据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.【详解】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何学问知在梯形中，．故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要留意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得特别紧密，因此，精确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何学问使问题较为简捷地得到解决．13.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】分析：由题意分类探讨和两种状况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类探讨：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合视察可得，实数的取值范围是.点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与推断方法包括：(1)干脆求零点：令f(x)＝0，假如能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连绵不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必需结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．14.已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________【答案】【解析】，分类探讨：①当时，，函数的最大值，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，则：或，解得：或综上可得，实数的取值范围是．【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中肯定值符号的处理，进行有效的分类探讨：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及探讨上，属于难题．解题时，应细致对各种状况逐一进行探讨．三、解答题15.在中，内角所对的边分别为.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，从而，.故【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础学问.考查计算求解实力.16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校状况互不影响，且任一同学每天到校状况相互独立.（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事务“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事务发生的概率.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合独立事务概率公式计算可得满意题意的概率值.【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校状况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，故，从面.所以，随机变量的分布列为：0123随机变量的数学期望.(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.且.由题意知事务与互斥，且事务与，事务与均相互独立，从而由(Ⅰ)知：.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事务和相互独立事务的概率计算公式等基础学问.考查运用概率学问解决简洁实际问题的实力.17.如图，平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得.设，则.(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面.(Ⅱ)依题意，，设为平面BDE的法向量，则，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.(Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.不妨令y=1，可得.由题意，有，解得.经检验，符合题意｡所以，线段的长为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础学问.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象实力、运算求解实力和推理论证实力.18.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最终利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.所以，椭圆方程为.(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，整理得，可得，代入得，进而直线的斜率，在中，令，得.由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.所以，直线的斜率为或.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础学问.考查用代数方法探讨圆锥曲线的性质.考查运算求解实力，以及用方程思想解决问题的实力.19.设是等差数列，是等比数列.已知.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满意其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得，解得，故，.所以，的通项公式为，的通项公式为.(Ⅱ)(i).所以，数列的通项公式为.(ii).【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础学问.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解实力.20.设函数为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为的单调递减区间为.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明【解析】【分析】(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间；(Ⅱ)构造函数，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论；(Ⅲ)令，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数