2024年初中九年级数学上册同步讲义（人教版）第11课 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（学生版）

第11课二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质目标导航目标导航课程标准（1）会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；（2）通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；（3）经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．知识精讲知识精讲知识点01二次函数与之间的相互关系1．顶点式化成一般式

从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．2．一般式化成顶点式．对照，可知，．∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．【注意】1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．知识点02二次函数的图象的画法1．一般方法列表、描点、连线2．简易画法：五点定形法步骤：(1)先根据函数解析式，求和，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线与的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．【注意】当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，知识点03二次函数的图象与性质1．二次函数图象与性质函数二次函数(a、b、c为常数，a≠0)图象开口方向对称轴顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而．简记：在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而．简记：最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最值，抛物线有最高点，当时，y有最值，2．二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征a开口向上开口向下b对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧c图象过原点与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交b2-4ac与x轴有唯一交点与x轴有两个交点与x轴没有交点知识点04求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当时，．【注意】如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．能力拓展能力拓展考法01二次函数的图象与性质【典例1】如图所示是二次函数的图象，以下结论：①；②；③的两个根是，；④，其中正确的是（

）A．③④ B．①② C．②③ D．②③④【即学即练】如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（

）A． B．C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点可能在（

）A．第一或第四象限 B．第三或第四象限C．第一或第二象限 D．第二或第三象限【即学即练】关于抛物线，下列说法错误的是（

）A．当时，对称轴是轴 B．当时，经过坐标原点C．不论为何值，都过定点 D．时，对称轴在轴的左侧考法02二次函数的最值【典例3】已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【即学即练】已知二次函数＝﹣+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4【典例4】已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（

）A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3【即学即练】已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（

）A．4 B．2 C．–2 D．-4考法03二次函数性质的综合应用【典例5】已知A(−3，−2)，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥−2

；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．其中正确的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【即学即练】如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（

）A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④【典例6】已知抛物线的解析式为（m为常数），则下列说法正确的是____________．①当时，点在抛物线上；②对于任意的实数m，都是方程的一个根；③若，当时，y随x的增大而增大；④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点．【即学即练】如图，已知抛物线与x轴相交于于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）分层提分分层提分题组A基础过关练1．抛物线经过点（m，3），则代数式的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．二次函数（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝1 D．直线x＝3．若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点（1，y1），（﹣2，y2），则y1，y2与的大小关系为（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是抛物线y＝﹣3x2﹣6x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y35．已知函数y＝a﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（

）A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大C．当a＝1时，函数图像过点（﹣1，1） D．当a＝﹣2时，函数图像与x轴没有交点6．已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______．8．二次函数的图象过点，，若当时．随着的增大而减小，则实数的取值范围是______．9．已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2（a<0）．(1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式；10．已知抛物线．(1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)当为何值时，函数取得最大值，请求出这个最大值．题组B能力提升练1．将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则、的值为（

）A．， B．，C．， D．，2．如图是二次函数y＝ax2﹣x＋a2﹣9图象，图象过坐标原点，则a的值是（

）A．a＝3 B．a＝－3 C．a＝－9 D．a＝3或a＝﹣33．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（

）A． B． C． D．5．直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图像可能是（

）A． B． C． D．6．二次函数（）的部分图象如图所示，图象过点（，0），对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点A（，），点B（，），点C（，）在该函数图象上，则；（5）m为任意实数，则．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．已知二次函数，当时，自变量的取值范围是______．8．如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为_____．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．(1)求此抛物线的解析式和对称轴．(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；题组C培优拔尖练1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C． D．2．若点A（﹣3，），B（1，），C（m，）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜13．二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如图，下列结论错误的为（）A．b2﹣4ac＞0 B．a+b+c＞0C．ax2+bx+c≥﹣1 D．2a﹣b＝04．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（

）A．abc＜0 B．a＋b＞m（am＋b）（m≠1）C．4a﹣2b＋c＜0 D．3a＋c＝15．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…012……tmn…且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③对称轴为；④；其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．已知抛物线（c为常数）经过点，，，当时，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．7．已知二次函数，当时，函数的最大值为8，则的值是____．8．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．9．已知抛物线的顶点（0，1）．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，直线交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•