上海市实验学校2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷

2024－2025学年上海市实验学校高一年级上学期9月月考数学试卷2024.09一、填空题（本大题共有8小题，每题5分）1．已知全集且，则_______．2．请写出一个条件，使得是它的一个必要非充分条件_______．3．用反证法证明命题“若，则，，都不为0”时，应假设_______．4．集合的所有元素之和为_______．5．已知关于的方程恰有一个实数解，则_______．6．若，则，就称为自倒集合，集合的所有非空子集中，自倒集合的个数为_______．7．设集合，其中元素均为有理数，集合，求_______．8．已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合，如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是_______．二、选择题（每题5分）9．已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（）A． B． C．或 D．10．下列结论中不正确的是（）A．“”是“”的必要不充分条件B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件C．若，则“”是“，不全为0”的充要条件D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件11．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）；（2）对于的任意子集，，当且时，有；（3）对于的任意子集，．当且时，有，则称是集合的一个“－集合类”．例如：是集合的一个“－集合类”．已知，则所有含的“－集合类”的个数为（）A．9 B．10 C．11 D．1212．设集合，集合，若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．那么使能分成两个交集为空集的“破晓集”的并集，且这两个破晓集的并集恰为时，的最大值是（）A．13 B．14 C．15 D．16三、解答题（本大题满分40分）13．（本题满分12分）已知关于的一元二次方程．（1）实数为何值时，方程有两个不同的正根；（2）实数为何值时，方程有一个正根，一个负根；（3）实数为何值时，方程有一个根大于2，另一个根小于2；（4）实数为何值时，方程有一个根大于2，另一个根不大于0．14．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）关于的不等式组的整数解的集合为．（1）当时，求集合；（2）若集合，求实数的取值范围；（3）若集合中有2024个元素，求实数的取值范围．15．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知集合．（1）判断是否属于集合；（2）已知集合，证明：“”是“”的必要非充分条件；（3）求所有满足集合的偶数，并说明理由．四、附加题（本题满分20分）16．（本题满分10分）（1）设且互不相同时，中至少有一个小于；（2）设，求证中至少有一个不小于．17．（本题满分10分）已知集合，，其中，定义，若，则称与正交．（1）若，写出中与正交的所有元素；（2）令，若，证明：为偶数；（3）若，且中任意两个元素均正交，分别求出时，中最多可以有多少个元素．

2024－2025学年上海市实验学校高一年级上学期9月月考数学试卷2024.09一、填空题（本大题共有8小题，每题5分）1【答案】【解析】由题意知，集合，则．2．【答案】【解析】通过小范围推大范围即可得．3．【答案】假设，，至少有一个为0【解析】用反证法证明命题“若，则，，都不为0”时，假设正确的是：假设，，至少有一个为0．4．【答案】57【解析】由题意知集合为，则所有元素之和为57．5．【答案】1【解析】①（舍，此时解集为空集），②（舍）．6．【答案】15【解析】由题意知与与必须成组出现，则自倒集合的个数为．7．【答案】或【解析】观察具体的六个数，其中没有互为相反数，由此知的绝对值互不相等不妨设，则中最小的与次小的两个数分别是及，最大的与次大的两个数分别是及，从而必须有，于是，故，结合，只可能是，由此易知，或者，检验知，这两组解均满足问题的条件，故或．8．【答案】或【解析】给出的函数分子分母都是二次三项式，对应的图像都是开口向上的抛物线，若分子分母对应的方程是同解方程，则，解得，此时函数的值为，若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则需要分子分母的判别式均小于0，即，解①得；解②得，所以的范围是，当时，函数化为，函数定义域为，分母恒大于0，分子的判别式小于0，分子恒大于0，函数值恒正，综上，对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是或．二、选择题（每题5分）9．【答案】B【解析】由Venn图可知，阴影部分的元素为属于当不属于的元素构成，所以用集合表示为，则，则，故选：B．10．【答案】B【解析】对于A选项，，所以“”是“”的必要不充分条件，A选项正确；对于B选项，充分性：若，则为直角，所以为直角三角形，充分性成立；必要性：若为直角三角形，则“为直角”或“是直角”或“为直角”，所以“”或“”或“”，即必要性不成立．因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，B选项错误．对于C选项，充分性：因为，若，则，所以不成立，所以、不全为0，充分性成立；必要性：若、不全为0，则，必要性成立．因此“”是“、不全为0”的充要条件，C选项正确；对于D选项，充分性：取，则为无理数，但为有理数，即充分性不成立；必要性：若为无理数，则是无理数，必要性成立．所以“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，D选项正确；故选：B．11．【答案】D【解析】依题意知，中至少含有这几个元素：，将它看成一个整体；剩余的、、、、；①、、、、5个中添加0个的集合为，1种，②、、、、5个中添加1个的集合为，共3种，③、、、、5个中添加2个的集合共3种，即、；、；、3种添加方式，④、、、、5个中添加3个的集合共4种，即、、；、、；、、；、、，4种添加方式，⑤、、、、5个中添加4个的集合共0种，⑥、、、、添加5个的集合共1种，综上含的“——集合类”的个数为12种．故选：D．12．【答案】B【解析】假设当时，能分成两个不相交的“破晓集”的并集，设和是两个不相交的“破晓集”使得，不妨设，则由于，所以，即，同理可得，可推出，当，这与为“破晓集”矛盾．再证满足要求．当时，，可以分成2个“破晓集”的并集，事实上，只要取，则和都是“破晓集”，且，当时，集合中除整数外，剩下的数组成集合，可以分为2个“破晓集”的并：．当时，集合中除整数外，剩下的数组成集合，可以分为2个“破晓集”的并：．最后，集合中的数分母都是无理数，它与中的任何其他数的和都不是整数，因此令，则和是不相交的“破晓集”，且，故的最大值为14，选B．三、解答题（本大题满分40分）13．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）由题意知．（2）由题意知．（3）由题意知．（4）由题意知．14．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）当时不等式组为，可化为，解得，满足条件的整数不存在，所以．（2）由解得或，因为有唯一整数解，且的两根为和，令，解得，综上，所求的取值范围是．（3）当时，，所以，解得．当时，，所以，解得．所以实数的取值范围是．15．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）【答案】（1）8，9属于，10不属于；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）由于，所以，由于，所以，假设，则，且，由于，所以或，显然均无整数解，所以；（2）证明：集合，则恒有，所以，即一切奇数都属于；又，所以的充分非必要条件是，（3）集合成立，①当和同为奇数和偶数时，均为偶数，所以为4的倍数，②当和一奇一偶时，和均为奇数，所以为奇数，综上所述：所有满足集合的偶数为．四、附加题（本题满分20分）16．【答案】（1）见解析；（2）见解析；【解析】（1）假设均大于等于，则，因为且互不相同，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，故，这与均大于等于矛盾，故假设不成立，则且互不相同时，中至少有一个小于．（2）取依次为1，2，3有比较上式两边的系数，得，所以，所以．17．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）中所有与正交的元素为；（2）对于，存在，其中，使得，令，；当时，；当时，，那么为偶数；（3）8个，2个时，不妨设，在考虑时