上海市曹杨第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（解析版）

曹杨二中高三月考数学试卷2024.10一.填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)1.设.若为纯虚数(i为虚数单位)，则a=__________.【答案】-2【解析】【分析】先将展开化简，然后根据纯虚数的概念来求解的值.展开,因为，所以原式可化为.因为为纯虚数，所以实部，解得.此时虚部，符合纯虚数的定义.故答案为：-22.函数的定义域为________.【答案】.【解析】【分析】令即可求出的取值范围，从而可求出函数的定义域.解：令，即，所以，故答案为:.3.某校高三年级共有学生525名，其中男生294名，女生231名.为了解该校高三年级学生的体育锻炼情况，从中抽取50名学生进行问卷调查.若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为__________.【答案】28【解析】【分析】由分层抽样的性质结合题意计算即可；由题意可得，要抽取的男生人数为人.故答案为：28.4.设，若圆的面积为，则__________．【答案】3【解析】【分析】将圆化成标准方程得出半径，根据面积建立等式即可求解．由题意得圆的标准方程为，则圆的半径为，圆的面积为，解得：，故答案为：．5.在无穷等比数列中，首项，公比，记，则______．【答案】##【解析】【分析】由题意求得，利用等比数列的求和公式求得，再利用数列极限的运算法则求得的值．由题意可得，则，，故有，故答案为：．6.设，，若函数，的最大值为1，但最小值不为，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据正弦函数的单调性，可得-π3详解】当时，，由题意可知，-π3ω>-故答案为：.7.已知m为非零常数．若在的二项展开式中，的系数是的系数的8倍，则m=______．【答案】##【解析】【分析】根据二项式定理分别求出展开式中含的项，然后根据已知建立方程即可求解．展开式中含的项为，含的项为，所以由题意可得，解得.故答案为：．8.设是曲线上一动点，则x+2y的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解极值点与端点值，比较即可求解.由题意可得，令，则令g'(x令,则故在单调递增，在单调递减故故答案：.9.设，，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】先分别写出和时的表达式，再分别解这两种情况下的不等式，最后将解集合并.当时,首先求出的表达式，因为，根据，而，所以，则.然后解不等式，即，移项得到.对于二次函数，其判别式，且二次项系数，所以恒成立，所以时不等式解为.当时,求出的表达式，因为，根据的定义.解不等式，即，移项得到，因式分解得.解为，又，所以此时不等式解为.故答案为：.10.已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得．以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，因为等边的边长为6，所以的内切圆圆心在上，半径，则，，，，，所以，，所以，所以当时，取得最小值．故答案为：．11.若一个正整数的各位数码从左至右是严格增或严格减的，则称该数为“严格单调数”.在不大于4000的四位数中，“严格单调数”共有__________个.【答案】112【解析】【分析】分成逐渐增大和逐渐减小两种情况，注意先选后排（“严格单调数”选出来不需要排，自动排列）.先考虑从左往右逐渐增大的情况，因为不超过4000，所以分成千位数取值为1，2，3三种情况考虑：若千位数为1，则后面百位，十位，个位数字比1大，从剩下8个数字2,3,4,5,6,7,8,9中选3个不重复的从左到右依次增大，共有种选法；若千位数为2，则后面百位，十位，个位数字比2大，则从剩下7个数字3,4,5,6,7,8,9中选3个不重复的从左到右依次增大，共有种选法；若千位数为3，则后面百位，十位，个位数字比3大，则从剩下6个数字4,5,6,7,8,9中选3个不重复的从左到右依次增大，共有种选法；再考虑从左往右逐渐减小的情况，因为不超过4000，所以千位数取值为3，则后面百位，十位，个位数字比3小，则从剩下3个数字0,1,2中选3个不重复的从左到右依次减小，共有种选法；所以一共有个.故答案：112.12.设椭圆的左、右焦点分别为、，直线l经过点，且与Γ交于P、Q两点．若，且，则Γ的长轴长的最小值为______．【答案】【解析】【分析】利用数形结合，设PF设PF2=，则，，即，，整理得：，当且仅当：，即时，取等号，为最小值，故长轴长的最小值，故答案为：．二.选择题(本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)13.已知，则“(k∈Z)，是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】分别判断当时的值，以及当时的取值情况.判断充分性当时，根据余弦函数的性质，.所以由能推出，充分性成立.判断必要性当时，，满足的不只是，还有情况.所以由不能推出，必要性不成立.是的充分非必要条件.故选：A.14.若，且，则必有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，构造函数，，进而利用导数研究函数的单调性，奇偶性，结合函数性质求解即可.解：因为，且，所以，，令，，由于，所以，为偶函数，因为，当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.故选：B15.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，则该四棱锥的高是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意作图，根据四棱锥的几何性质，利用勾股定理，建立方程，可得答案.由题意，作平面，垂足为，在平面内，作，垂足为，取的中点为，连接，如下图所示：设，在中，，则，，在中，，在中，，在正方形中，易知，，则，在中，，在中，，则，解得.故选：B.16.已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】设函数的零点为，结合题设可得，进而求解.由题意，对任意，都有，设函数的零点为，则，即，所以，即，设，则函数为开口向上，对称轴为，且，，所以函数在上有2个零点，即函数的零点个数最多为2个.故选：B.三.解答题(本大题共有5题，满分78分)17.如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合.设P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是圆弧AB的中点.（1）若圆锥的侧面积是圆柱的侧面积，求该几何体的体积；（2）若圆锥的高为1，求直线PB1与平面PAC所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据圆锥侧面积是圆柱侧面积的求出圆锥的高，再计算几何体的体积.（2）涉及线面角的概念，线面角是直线与平面所成的角，可通过向量法求解.先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再求出直线的方向向量，最后根据向量夹角公式求出线面角.【小问1详解】设圆锥的母线长为，圆锥的高为.已知圆锥底面半径，圆柱底面半径，圆柱高.圆锥侧面积，圆柱侧面积.因为圆锥的侧面积是圆柱的侧面积，所以，解得.根据圆锥的母线，底面半径，由勾股定理可得圆锥的高.圆锥体积.圆柱体积.该几何体的体积.【小问2详解】因为圆锥的高为，底面半径为，所以圆锥的母线长.以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则，，，.，，.设平面的法向量.则，令，则，，所以.设直线与平面所成角为.则.所以直线与平面所成角.18.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．设向量，，已知．（1）求角A的大小；（2）设D为边上一点，且，若，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据建立等式，利用正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求解；（2）在中，由余弦定理求得，再次使用余弦定理求得，利用诱导公式进行求解．【小问1详解】，即．在中，由正弦定理得，即．由于B为三角形内角，故，上式即．由于A为三角形内角，解得．【小问2详解】在中，由余弦定理得，故．再由余弦定理，得．因此．19.企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成，生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为万元，其中．（1）若甲企业独家经营，其研发成本为60万元，求甲企业能获得利润的最大值；（2）若乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．试问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；（假设甲企业按照原先最大利润的产量生产，并未因乙的加入而改变）（3）由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益，因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整…，最终双方达到动态平衡(在对方当前产量不变的情况下，己方达到利润最大)，求动态平衡时，两企业各自的产量．【答案】（1）1965万元（2）万台（3）30万台【解析】【分析】（1）设甲企业生产该产品产量万台，获得的利润为，则，再结合二次函数的性质即可求出的最大值．（2）设乙企业生产该产品产量万台，获得的利润为，则，再结合二次函数的性质即可求出的最大值．（3）设甲、乙企业的产量分别为，万台，各自获得的利润分别为，，则，，利用导数求出，均取得最大值时，的值即可．小问1详解】设甲企业的产量为x万台，利润为万元，则．故当且仅当时，取最大值1965．因此当甲企业的产量为45万台时，其获得的利润取最大值1965万元．【小问2详解】设乙企业的产量为x万台，利润为万元，则故当且仅当时，取最大值．因此当乙企业的产量为万台时，其获得的利润取最大值万元．【小问3详解】设甲、乙企业的产量分别为，万台，各自获得的利润分别为，，则，，动态平衡时，，均取得最大值，则，，解得，即动态平衡时，甲、乙企业各自的产量是万台．20.已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点．（1）求双曲线C的方程；（2）求证：直线、的斜率之积为定值；（3）设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）证明见解析（3）存在，【解析】【分析】（1）根据得出和，再结合即可求解；（2）设直线，联立双曲线的方程消元，设Px1,y1、Qx（3）利用条件找到，设，根据计算得出，再利用（2）的等式化简得出，即可证明．【小问1详解】设双曲线的半焦距为c．由题意知．故，因此．【小问2详解】由题意知．设直线，与双曲线方程联立得．设Px1,y1故直线、的斜率之积为．【小问3详解】由题意知，得．设，则．即．由于，上式即，解得．利用(*)式，得，因此存在定点满足题目要求．21.给定函数y=fx，若点P是曲线y=fx的两条互相垂直的切线的交点，则称点P为函数y=fx的“正交点”.（1）若，求证：；（2）若，求证：函数y=fx的所有“正交点（3）设，，记函数y=fx的图像上所有点组成的集合为N.若，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析，（3）【解析】【分析】（1）假设存在，求导，利用导数的几何意义推出矛盾即可；（2）设“正交点”是曲线y=fx在与处切线的交点，求出切线方程即可求出交点坐标，再由切线互相垂直求出即可求解；（3）设曲线y=fx在处的切线经过点P，则有，代入整理解出，再由两条切线垂直得到并设整理后结合二次函数求解即可；【小问1详解】由题意知函数y=fx的定义域，且对任意的，都有，因此.【小问2详解】设“正交点”是曲线y=fx在与处切线的交点.由于