2024年中考数学压轴题预测及答案解析

专题压轴题热点研究专题热度★★★★★1．综合与实践2．阅读与理解3．函数与图象命题热点4．几何图形综合热门方法热点题型解答题热点突破热点1综合与实践名师点拨意挖掘题目中的隐含条件．1(2023秋•北流市期末)综合与实践(1)通过观察以下一位数的积：1×92×8⋯8×29×1．其中每个式子中的两数之和为10ꢀ5×5ꢀ．()(2)通过观察以下两位数的积：11×1912×18⋯18×1219×11．其中每个式子中的两数之和为30测．()(2)x(2)的猜想(包括条件和结论)．尝试用二次函数的知识证明你对问题(2)的猜想．(3)1所示的电路中，R=2ΩR=3ΩR=5Ω2R+R=R1233从a端滑到bR=xΩ(1)5×5(2)15×15；130(3)2A．(1)(2)设第一个数为x30-xy有y=x(30-x)=-(x-15)+225求解；实践应用(3)设R=xΩR=(5-x)Ω0≤x≤5I(1)5×5=25为最大，故答案为：5×5；(2)15×15=225为最大，故答案为：15×15；30x30-xy，则有y=x(30-x)=-(x-15)+225∵-1<0，∴当x=15时，y225，此时这两数分别为15及30-15=15∴(3)设R=xΩR=(5-x)Ω0≤x≤5IUR总111150I==U⋅+=5⋅+=，R+RR+R2+x3+5-x2+x8-x设W=(2+x)(8-x)=-(x-3)+25．∵-1<0W0≤x≤5，∴当x=3时，W取最大值为25I取最小值为5025=2(A)2+3=5(Ω)和8-3=5(Ω)∴2A．2(2024•青山湖区模拟)综合与实践问题提出ABCD中，BC=4P以每秒1个单位的速度从B点出发匀速CAP的垂线交CD于MAMP的运动时间为tsRtΔADM的面积为SS与t的关系．初步感知(1)如图1P由B点向C点运动时，34①当t=3s时，CM=ꢀꢀS=；②经探究发现S是关于tS关于t的函数解析式为；(2)3的坐标系中绘制出函数的图象；t⋯⋯0812348⋯⋯S延伸探究(3)①当t=时，S=7；2②当ΔABP的面积为St的值．34132(1)①，；1②S=t-2t+80≤t≤4；，2(2)见解析；(3)①2±2；②6-25．34134(1)①证明ΔABP∽ΔPCMCM=DM=4t-t2t-4t+16②由题意得PC=4-tCM=DM=4-CM=44形的面积公式即可求解；(2)根据S关于t的函数解析式计算t=123时S(3)①S=7t的值即可；②根据ΔABP的面积为St的值即可．(1)①当t=3时，BP=3CP=4-3=1，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°AD=CD=4，∵AP⊥PM，∴∠APB+∠CPM=∠PMC+∠CPM=90°，∴∠APB=∠PMC，∴ΔABP∽ΔPCM，PCAB1CMBP∴∴=，CM33=，4134∴CM=DM=，41212134132∴RtΔADM的面积S=AD⋅DM=×4×=，34132故答案为：，；②当点P由点B运动到点C时，BP=t，∵ΔABP∽ΔPCM，PCABCMBP4-t4CMt∴==，34t-t2∴CM=，4t-4t+16∴DM=4-CM=，41212t-4t+1612∴RtΔADM的面积S=AD⋅DM=×4×=t-2t+8(0≤t≤4)，412故答案为：S=t-2t+80≤t≤4；，192(2)t=1时，S=-2+8=6.5t=2时，S=2-4+8=6t=3时，S=-6+8=6.52空如下，t⋯⋯0812634⋯⋯S6.56.58在图3的坐标系中绘制出函数的图象；(3)①∵S=7，12∴t-2t+8=7t=2±2，故答案为：2±2；②当点P由点C运动到点B时，CP=t，1212∴SΔABP=AB⋅BP=×4t=2t，∵ΔABP的面积为S的一半12∴2t=t-2t+8t=6±25，∵0≤t≤4，∴t=6-25．3(2024•青秀区校级开学)综合与实践1与图2所示．34是二次函数y=mx-4mx-20m+5的坐标．3y=x+2与坐标轴交于ABx=6分别交抛物线和直线AB于点EFEE′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB于点G．求叶片此处的宽度EE′的长．y=mx2-4mx-20m+54D直线PD与水平线的夹角为45°D长到与点P同一水平位置的点落在射线OP上Q(如图5所示)．求此时一片幼苗叶子的长度．14y=；；x-xD(2,-1)52；35．二次函数y=mx-4mx-20m+5-20m+5=0点EE′关于直线AFE′(1,8)11213103求出点D′(2,3)y=x-x+∵二次函数y=mx-4mx-20m+5过原点，∴-20m+5=0，14解得：m=，14则抛物线的表达式为：y=x-x，则点D(2,-1)；14x=6时，y=x-x=3E(6,3)，当x=6时，y=x+2=8F(6,8)，则EF=8-3=5，过点E作x轴的平行线交AF于点TTE′E′F，则点EE′关于直线AF对称，则点E′(1,8)，则EE′=(6-1)+(8-3)2=52；QD′上取点M点M作MN⎳y轴交抛物线于点ND′与x轴的平行线于点L点N作NS⊥QD′于点S，D(2,-1)，∵直线PD与水平线的夹角为45°PD的表达式为：y=-x+1，1414联立y=x-x和y=-x+1得：x-x=-x+1，5解得：x=-2P(-2,3)，则点D′(2,3)，将点D′的坐标代入y=mx-4mx-20m+5得：3=4m-8m-20m+5，112解得：m=，11213103则抛物线的表达式为：y=x-x+，3由点POP的表达式为：y=-x，21121310332联立上述两式得：x-x+=-x，解得：x=-4或-10(舍去)，即点Q(-4,6)，12由点QD′的坐标得，D′Q=35y=-x+4，即叶子的长度为35．4(2024•兴化市开学)综合与实践：问题情境小莹妈妈的花卉超市以15元/A，BCDE五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价x与日销售量y售价(元/盆)日销售量(盆)A20301822265030544638BCDE数据整理：(1)售价(元/盆)日销售量(盆)模型建立ꢀ18ꢀ(2)y与售价x之间的关系式．拓广应用(3)①要想每天获得400(1)18542050224626383030；(2)y=-2x+90；(3)①要想每天获得40025元或35元；②售价定为30450元．(1)根据销售单价从小到大排列即可；(2)用待定系数法求出日销售量y与售价x之间的关系即可；6(3)①根据每天获得400②设每天获得的利润为ww=-2(x-30)+450(1)根据销售单价从小到大排列得下表：售价(元/盆)日销售量(盆)18542050224626383030故答案为：18542050224626383030；(2)观察表格可知销售量是售价的一次函数；设销售量为yx元，y=kx+b，18k+b=54把(18,54)(20,50)代入得：，20k+b=50k=-2b=90解得：，∴y=-2x+90；(3)①∵每天获得400元的利润，∴(x-15)(-2x+90)=400，解得x=25或x=35，∴要想每天获得40025元或35元；②设每天获得的利润为w元．根据题意得：w=(x-15)(-2x+90)=-2x+120x-1350=-2(x-30)+450∵-2<0，，∴当x=30时，w取最大值450，∴售价定为30450元．5(2023秋•庆云县期末)综合与实践如图18m2的矩形地块am．ABCD墙足够长()a=10m设AB为xmBC为ym．由矩形地块面积为8m2xy=8(x,y)可看成是反比例函数y=8x10m2x+y=10(x,y)可看成一次函数y=-2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点的坐标．8x如图2y=(x>0)的图象与直线l:y=-2x+10的交点坐标为(1,8)和ꢀ(4,2)ꢀ总长为10mAB=1mBC=8mAB=mBC=m．(1)(2)若a=6m(3)求当木栏总长a为多少时？面积为8m2的矩形地块ABCD满足AB=BC．7(1)(4,2)42；(2)(3)当木栏总长a为62m8m2的矩形地块ABCD满足AB=BC．(1)观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为(4,2)；8x(2)观察图象得到l2与函数y=(3)8y=8x(1)将反比例函数y=与直线l:y=-2x+10联立得x，y=-2x+108x∴=-2x+10，∴x-5x+4=0，∴x=1x=4，12∴另一个交点坐标为(4,2)，∵AB为xmBC为ym，∴AB=4BC=2．故答案为：(4,2)42；(2)不能围出；理由：y=-2x+6l2所示：8x∵l2与函数y=图象没有交点，8∴不能围出面积为8m2的矩形；(3)∵AB=BC，∴x=y，∴3x=a，a3a3∴x=，a∴×=8，3∴a=62(负值舍去)，∴当木栏总长a为62m8m2的矩形地块ABCD满足AB=BC．热点2阅读与理解名师点拨6(2024•高平市一模)数学对物理学的发展起着重要的作用，物理学也对数学的发展起着重要的作用，莫尔以下是数学中常见的一个问题：若a+b=2ab的最大值是多少？设a=1+xb=1-xab=(1+x)(1-x)=1-x2=-x2+1．⋯⋯以下是物理中的一个问题：R和R的两个电121R1R11R2R=R+R=+．在某一段12电路上测得两个电阻的和为15kΩ后总电阻的最大值是多少？任务：(1)(2)若abab满足ꢀa=bꢀ时，ab的值最大．(3)解决这个物理问题主要体现的数学思想是A.统计思想B.分类思想．(填序号即可)C.模型思想(4)物理问题中并联后总电阻的最大值是kΩ．154(1)1(2)a=b(3)C(4)．(1)利用题干中的方法和非负数的意义解答即可；(2)利用(1)的结论解答即可；(3)利用数学模型的思想解答即可；(4)利用(2)的结论列式解答即可．(1)设a=1+xb=1-x，9则ab=(1+x)(1-x)=1-x=-x+1∵-x≤0，，∴当x=0a=b=1时，ab取得最大值为1．(2)由(1)知a+b=2a=b=1时，ab取得最大值．∴若abab满足a=b时，ab的值最大．故答案为：a=b；(3)∵解决这个物理问题主要体现的数学思想是利用题干中提供的数学模型解答，∴解决这个物理问题主要体现的数学思想是模型思想，故选：C．(4)∵R+R=15kΩ，12∴R与R的和为定值，12152∴由(2)R=R=kΩ时，R⋅R的值最大．1212111∵∴==+，RR1R21RR+RRR22，RRR+R2∴R=2，22×154∴R的最大值==(kΩ)．1515故答案为：．47(2024•曲阜市校级一模)阅读新知2q表示(q≠0)．aaaaaa⋯a(n为正整数)2=q，3=q⋯，，，，，aaa⋯a(n)为正整数叫123na2123n1做等比数列．其中a叫数列的首项，a叫第二项，⋯a叫第n项，q叫做数列的公比．12n124816⋯q=2．133233⋯3的和．解S=1+3+3+3+⋯+31003S=3+3+3+3+⋯+3+3．3-1因此3S-S=3-1．所以S=．23-1即1+3+3+3+⋯+3=．2学以致用(1)ꢀCꢀA.12345B.26182163C.56281473.5D．-1122-3344-55(2)aaa⋯a是公比为4a=3n项a等于ꢀꢀ．123n1n(3)155253⋯前2024项的和．(1)C；(2)3×4；105-1(3)即前2024项的和是．4(1)(2)n项an的值；(3)2024项的和．(1)由题意可得，2162562822-113221182814≠≠A中的数列不是等比数列；B中的数列不是等比数列；14773.5===C中的数列是等比数列；-3322≠D中的数列不是等比数列；故答案为：C；(2)∵数列aaa⋯a是公比为4a=3，123n1∴它的第n项a=a⋅q=3×41，n1故答案为：3×41；(3)设S=1+5+5+5+⋯+52023，则5S=5+5+5+⋯+55S-S=5-1，4S=5-1，，5-1S=，45-1即前2024项的和是．413128(2023•大同模拟)(1)计算：(-5)-|-3|+(-2)-|-3|+(-2)-；32x-1x-2x+1(2)下面是小明化简分式=-x-12x-1(x-1)2-⋯第一步(x+1)(x-1)21=-⋯第二步(x+1)(x-1)x-12x+1(x+1)(x-1)=-⋯第三步(x+1)(x-1)2-x+1(x+1)(x-1)3-x=⋯第四步=⋯第五步(x+1)(x-1)因式分解；②第③第步开始出现错误．；．1(1)-12(2因式分解；②③四；-．x+1(1)(2)利用分式的加减混合运算的法则解答即可．11(1)原式=25-3-8-1+4-9=29-21=8；(2③第四步开始出现错误．2x-1(x-1)2=-(x+1)(x-1)21====-(x+1)(x-1)2(x+1)(x-1)2-x-1(x+1)(x-1)1-xx-1x+1(x+1)(x-1)-(x+1)(x-1)1=-．x+19(2023•微山县一模)a=N(a>0,a≠1)叫做以为底logN．比如指数式2=16可以转化为4=log162=log25可以转化为5=25．我们根据对数的定xaNx=a25义可得到对数的一个性质：log(M⋅N)=logM+logN(a>0a≠1M>0N>0)logM=aaaamlogN=nM=amN=an∴M⋅N=a⋅a=anm+n=log(M⋅N)．又∵m+aan=logM+logN∴log(M⋅N)=logM+logN．aaaaa解决问题：(1)将指数4=64转化为对数式ꢀ3=log64ꢀ；M(2)证明logaN=logM-logN(a>0,a≠1,M>0,N>0)；aa拓展运用：(3)计算：log2+log6-log4．333(1)3=log64(2)见解析；(3)1．(1)根据新定义公式计算即可．(2)仿照乘法的证明去解答即可．(3)根据公式依次计算即可．(1)3=log64，故答案为：3=log64．(2)设logM=mlogN=nM=amN=an，aaMNMN∴=a÷a=anm-n=loga．又∵m-n=logM-logN，aaMN∴loga=logM-logN．aa(3)log2+log6-log4333=log(2×6)-log433=log12-log433=log33=1．1210(2023•平顶山模拟)24页为大家介绍了杨辉三角．杨辉三角如果将(a+b)n(n为非负整数)的展开式的每一项按字母a面的等式：(a+b)0=11；(a+b)1=a+b11；(a+b)2=a2+2ab+b2121；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31331；将上述每个式子的各项系数排成该表．11该表在我国宋朝数学家杨辉1261(B．Pascal1623--1662)是1654年发现393600年．(1)应用规律：①直接写出(a+b)4的展开式，(a+b)=ꢀa+4ab+6ab+4ab+b4ꢀ；②(a+b)6的展开式中共有(2)代数推理：；已知m(m+3)-(m-3)3能被18整除．(1)①a+4ab+6ab+4ab+b4②，；(2)见解析．764(1)直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案；(2)直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案．(1)①(a+b)=a+4ab+6ab+4ab+b4②∵(a+b)=a+6ab+15ab+20ab+15ab+6ab+b6∴(a+b)6的展开式中共有71+6+15+20+15+6+1=64；；，a+4ab+6ab+4ab+b4，；(2)证明：∵(a+b)=a+3ab+3ab+b3，∴(m+3)-(m-3)3764=(m+9m+27m+27)-(m-9m+27m-27)=m+9m+27m+27-m+9m-27m+27=18m+54=18(m+3)，13∴(m+3)-(m-3)3能被18整除．热点3函数与图象名师点拨(1)将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关并注意挖掘题目中的一些隐含条件．(2)范围要使实际问题有意义．11(2024•潼南区一模)y=ax+bx-2-1,0)CACBC．与x轴交于点A(4,0)和点B((1)求抛物线的表达式．(2)如图1P是直线ACP作直线PD⎳AC交x轴于点D点P作PE⊥52AC于点EPE+AD的最大值及此时点P的坐标．(3)如图2(2)OP交AC于点QCA方向平移5个单位得到新抛物线y在新抛物线y上存在一点M∠OQC-∠MAC=∠BCOM的横坐11标．1232(1)y=x-x-2．52(2)PE+AD的最大值为6P的坐标为(2,-3)．41±100941±1009(3)所有符合条件的点M的横坐标为或．1414(1)运用待定系数法即可求得答案；1(2)运用待定系数法可得直线AC的解析式为y=x-2P作PF⎳y轴交AC于FA作AG⎳y212321242512轴交PD于GPt,t-t-2Ft,t-2ΔPFE∽ΔACOPE=-t+2t=55455-t+tΔDGA∽ΔACOAD=-t+4t(3)将原抛物线沿射线CA方向平移521个单位得到新抛物线y1123225812722得新抛物线y的解析式为y=x--2-+1=x2-x+4Q作QJ⎳xyJ轴交轴于1114PSOS32点P作PS⊥x轴于Stan∠MAC=tan∠POS==C作ACCLAC32CTAC332该垂线上分别截取CL=CT=tan∠LAC=或=tan∠TAC=LT作y轴的垂32KNΔCLK∽ΔACOLK=OC=3CK=OA=6L(-3,4)2定系数法求得直线ALAT(1)∵抛物线y=ax+bx-216a+4b-2=0与x轴交于点A(4,0)和点，B(-1,0)∴，a-b-2=01a=解得：2，32b=-1232∴抛物线的表达式为y=x-x-2．132(2)在y=x-x-2x=0y=-2，2∴C(0,-2)，设直线AC的解析式为y=kx+cA(4,0)C(0,-2)代入，4k+c=0得，c=-212k=解得：，c=-212∴直线AC的解析式为y=x-2，在RtΔACO中，OA=4OC=2，∴AC=+OC2=4+22=25，如图1P作PF⎳y轴交AC于FA作AG⎳y轴交PD于G，则∠PFE=∠ACO，123212设Pt,t-t-2Ft,t-2，12123212∴PF=t-2-t-t-2=-t+2t，∵PE⊥AC，∴∠PEF=∠AOC=90°，∴ΔPFE∽ΔACO，PEOAPFAC∴=，OAAC4251255455∴PE=⋅PF=-t+2t=-t+t，∵AG⎳PFAC⎳PD，∴四边形AGPF是平行四边形，∠ADG=∠OAC，∴AG=PF，∵∠DAG=∠AOC=90°，∴ΔDGA∽ΔACO，12-t+2tADOAAGOCAD42∴==，2∴AD=-t+4t，1552525545532∴PE+AD=-t+t+(-t+4t)=-(t-2)+6，3∵-<0，25∴当t=2时，PE+AD6P的坐标为(2,-3)．212321232258322582(3)由y=x-x-2=x---，将原抛物线沿射线CA方向平移521个单位得到新抛物线y1，123225812722∴新抛物线y的解析式为y=x--2-+1=x-x+4，11如图2Q作QJ⎳x轴交y轴于JP作PS⊥x轴于S，则∠CQJ=∠CAO∠OQJ=∠POSOS=2PS=3，OBOC12OCOA12∵tan∠BCO==tan∠CAO==，∴∠BCO=∠CAO，∴∠BCO=∠CQJ，∵∠OQC-∠OQJ=∠CQJ∠OQC-∠MAC=∠BCO，∴∠OQJ=∠MAC，∴∠MAC=∠POS，PSOS32∴tan∠MAC=tan∠POS==，CLAC32CTAC32过点C作ACCL=CT=tan∠LAC=或=tan∠TAC=，分别过点LT作yKN，∵∠ACO+∠LCK=∠ACO+∠CAO=90°，∴∠LCK=∠CAO，∵∠CKL=∠AOC=90°，∴ΔCLK∽ΔACO，LKOCCKOACLAC32∴===，3232∴LK=OC=3CK=OA=6，∴L(-3,4)，设直线AL的解析式为y=kx+bL(-3,4)A(4,0)代入，11-3k+b=411得，4k+b=0114k=-解得：7，b=747167∴直线AL的解析式为y=-x+，4y=-x+联立方程组得77，12272y=x-x+4整理得7x-41x+24=0，41±1009∴x=；14同理可得T(3,-8)AT的解析式为y=8x-32，16y=8x-32联立方程组得，1272y=x-x+42整理得x-23x+72=0，23±241∴x=；241±100941±1009M的横坐标为或．141423312(2024•渠县校级一模)在平面直角坐标系xOyy=ax+x+c与轴交于点轴xyC33交于AB两点(点A在点B的左侧)A(-30)tan∠ACO=(1)求抛物线的解析式；．(2)如图1D为直线BC上方抛物线上一点，连接ADBC交于点EBDΔBDE的面积为S1，ΔABE的面积为S2S1的最大值；2S(3)如图2CBC平移至C′处OC′=OC点M在平移后抛物线的对称轴△C′BM为以C′BM的坐标．(1)先由锐角三角函数的定义求得CAC的坐标代入抛物线的解析式求解即可；(2)过D作DG⊥x轴于点GBC于FA作AK⊥x轴交BC延长线于KS1S2的最大值；(3)根据OC=OC′可得C′M坐标根据两点距离公式分别列(1)∵A(-30)，∴AO=|-3|=3，3∵tan∠ACO=，3∴CO=3，∴C(0,3)，233将AC的坐标代入y=ax+x+c得，3a-2+c=0c=3，1a=-∴3，c=31713233∴抛物线的解析式为：y=-x+x+3；(2)如答图1D作DG⊥x轴于点GBC于FA作AK⊥x轴交BC延长线于K，设直线BC解析式为：y=kx+b，13233由(1)y=-x+得，，x+3B(330)将B(330)C(0,3)分别代入y=kx+b得：3333k+b=0b=3k=-b=3得，33∴直线BC解析式为：y=-x+3，∵A(-30)K的横坐标x=-3，33代入y=-x+3得y=4，∴K(-34)，∴AK=4，1323333设Dm,-m+m+3Fm,-m+3，13∴DF=-m+3m，∵DG⊥x轴于点GAK⊥x轴，∴AK⎳DG，∴ΔAKE∽ΔDFE，DFAKDEAE∴=，将ΔBDEΔABE分别看作DEAESSDEAEDFAK∴S1===，S212-m+3m∴s1==-m+11234m=-112m-332+916，32s42332S12916∴m=时，；S(3)如答图2OC′C′作C′F⊥y轴于F，13233由抛物线的解析式y=-x+x+3(34)知其顶点为，，∵OC=3OB=33，OBOC∴tan∠BCO==3BC=6，∴∠BCO=60°，∵OC′=OC，∴ΔCOC′是等边三角形，∴CC′=3BC′=3，32332RtΔCFC′中可得CF=C′F=，3323232∴原抛物线的平移是相当于向右平移个单位再向下平移FO=，5325253233232∴平移后抛物线顶点为，x=C′，，18∵M在平移后抛物线的对称轴上，532∴设Mm，又△C′BM为以C′B332532232①C′M=C′B=3-+-m=3，23232解得m=+6或m=-6，5323253232∴M，+6或M，-6，5322②BM=C′B=333-+(0-m)2=3，332332532解得m=或m=-33，53332∴M，或M-，22532325323综上所述△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形M，+6或M，-6或2532332532332M，或M-，5323253232532332532332故答案为：M，+6或M，-6或M或M-．，1213(2024•铜山区模拟)y=x+bx+c与坐标轴交于A(0,-2)B，(4,0)BC:y=-2x+8交y轴于点C．点D为直线ABD作x轴的垂GDG分别交直线BCAB于点EF．(1)求b和c的值；12(2)当GF=BDΔBDF的面积；(3)H是yBEHFH的坐标．3(1)b=-c=-2；234(2)S=；(3)H(0,3)．(1)运用待定系数法即可求出b和c的值；(2)运用待定系数法可得直线AB的解析式为y=x-2Dm,m-m-2E(m,-2m+8)，12123219121212Fm,m-2G(m,0)GF=m=3S=DF⋅BG(3)先证明ΔAOB∽ΔBOC出∠ABC=90°BEHFEH=BFFH=BE，EH⎳BFFH⎳BEΔCEH≅ΔEBF(AAS)ΔHFA≅ΔEBF(AAS)CH=EFHA=EFH是ACH的坐标．12(1)∵抛物线y=x+bx+c与坐标轴交于A(0,-2)B(4,0)两点，，c=-28+4b+c=0∴，3b=-2解得：，c=-23∴b=-c=-2；232(2)∵b=-c=-2，1232∴抛物线解析式为y=x-x-2，设直线AB的解析式为y=kx+a，4k+a=0则，，a=-2k=12解得：a=-21∴直线AB的解析式为y=x-2，213212设Dm,m-m-2E(m,-2m+8)Fm,m-2G(m,0)，，，2∴FG=-1121m-2=2-m，12212当GF=时，2-m=，2解得：m=3，12∴D(3,-2)F3,-G(3,0)，123∴DF=--(-2)=BG=4-3=1，212123234∴S=DF⋅BG=××1=；(3)如图2∵直线BC:y=-2x+8交y轴于点C，∴C(0,8)，∴OC=8，∵OA=2OB=4，OAOBOAOB24OBOC12OBOC4812∴∴===，==，，∵∠AOB=∠BOC=90°，∴ΔAOB∽ΔBOC，∴∠ABO=∠BCO，∵∠CBO+∠BCO=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°，20即∠ABC=90°，∵四边形BEHF是矩形，∴EH=BFFH=BEEH⎳BFFH⎳BE，∴∠CEH=∠ABC=90°∠AFH=∠ABC=90°，∵DE⊥x轴，∴DE⎳y轴，∴∠ECH=∠BEF∠FAH=∠BFE，∴ΔCEH≅ΔEBF(AAS)ΔHFA≅ΔEBF(AAS)，∴CH=EFHA=EF，∴CH=HA，∴H是AC的中点，∴H(0,3)．32kx14(2022•镇海区校级模拟)y=x与双曲线y=交于AB两点，M是第一象限内的双曲线上任意一点．(1)若点A坐标为(2,3)∠AMB=90°M点坐标．(2)若∠ABM=45°BMΔABM的面积是34k值．(3)设直线AMBM分别与x轴相交于PQMA=pMPMB=qMQq-p的值．(1)M(3,2)；6013(2)k=；(3)q-p的值为2．kx6a(1)把点A(2,3)代入y=BMa,定理即可求得答案；kakakx323232(2)设Aa，(a>0)B-a,-y=可求得k=a2Aa,aB-a,-aAB=13a图2点O作OD⊥AB交BM于点D点B作BE⊥x轴于点E点D作DF⊥x轴于点F，可证得ΔBOE≅ΔODF(AAS)DBD求得点MΔABM的面积是34kx(3)设M(s,t)y=得：k=stABABM分别作x轴的垂线AGBKMHGKH点M作x轴的平行线交AG于RBK于L-t+tMAMPARMHMBMQBLMH22即可得出：==，==MA=pMPMB=qMQp=tt21MAMPMBMQq=q-p的值．k(1)把点A(2,3)代入y=得：k=2×3=6，x6x∴反比例函数解析式为y=∵点A坐标为(2,3)，，∴由反比例函数与正比例函数图象的对称性可得点B坐标为(-2,-3)，6设Ma,A(2,3)B(-2,-3)，a6a6a22∴AB=(2+2)+(3+3)=52AM=(a-2)+-3BM=(a+2)++3，∵∠AMB=90°，6a6a22∴(a-2)+-3+(a+2)++3=52，整理化简得a-13a+36=0，∴(a-4)(a-9)=0，解得a=2(与A)或a=-2(舍去)或a=3或a=-3(舍去)，∴M(3,2)；kaka(2)设Aa，(a>0)B-a,-，ka32ka32将Aa,代入y=x=a，32∴k=a2，3232∴Aa,aB-a,-a，32322∴AB=(-a-a)+-a-a=13a，如图2O作OD⊥AB交BM于点D点B作BE⊥x轴于点E点D作DF⊥x轴于点F，则∠OEB=∠OFD=90°，∴∠OBE+∠BOE=90°，∵∠DOF+∠BOE=90°，∴∠OBE=∠DOF，∵∠ABM=45°∠BOD=90°，∴ΔBOD是等腰直角三角形，∴OB=OD，∴ΔBOE≅ΔODF(AAS)，3∴OF=BE=aDF=OE=a，232∴Da-a，设直线BD的解析式为y=mx+n，3am+n=-a则2，32-am+n=-a15m=解得：，n=-a151310∴直线BD的解析式为y=x-a，221y=x-a532，2y=x2ax=-ax=y=a解得：，，3y=-a1512∵M是第一象限内的双曲线上任意一点，15215∴Ma，a，15231517261022∴BM=-a-a+-a-a=a，2过点A作AH⊥BM于点H，AHAB∴AH=22262则=sin∠ABM=sin45°=，222AB=×13a=a，2∵ΔABM的面积是34，1212172610262∴×BM×AH=34×a×a=34，40133∴a=，3240136013k∴k=a=×=；2(3)设M(s,t)y=得：k=st，xy=y=∴x，32x3232x=-x=解得：，y=-y=6st36st26st36st2∴A，B--，过点ABM分别作x轴的垂线AGBKMHGKHM作x轴的平行线交AG于R，交BK于L，6st26st26st2则MH=tAG=BK=AR=AG-RG=AG-MH=-tBL=+t，∵∠ARM=∠MHP=∠BLM=∠MHQ=90°∠AMR=∠MPH∠MQH=∠BQK=∠BML，∴ΔAMR∽ΔMPHΔMQH∽ΔBML，-t+tMAMPARMHMBMQBLMH22∴==，==，tt∵MA=pMPMB=qMQ，MAMPMBMQ∴p=q=，+t-tMBMQMAMP22∴q-p=-=-=2，tt∴q-p的值为2．kx15(2022•青白江区模拟)y=的图象与正比例函数y=mx的图象交于AC两点，其中点A的坐标为(223)．23(1)求反比例函数及正比例函数的解析式；(2)点E是反比例函数第三象限图象上一点．且EC⊥ACC的直线l1与线段AEAE到直线的距离分别为ddd+d的最大值；1212(3)点B(2,0)x轴上取一点P(t0)(t>2)点P作直线OA的垂线llOB经轴22对称变换后得到O′B′O′B′t的取值范围．43x(1)反比例函数的解析式为y=y=3x；1633(2)d+d的最大值为；12(3)t的取值范围是4≤t≤25．(1)利用待定系数法即可求得答案；(2)设E(m,n)C作CF⊥x轴于点FE作EG⊥CF于点G图1∠CFO=∠CGE=90°，233CF=23OF=2EG=-2-mCG=n+23ΔECG∽ΔCOF出E-6,-1点A作AH⊥l于点H点E作EK⊥l于点KER⊥AH于点RR和E重合时，d+d的值最1112AE的长即可；12(3)求出∠MPO=30°OM=tOO′=tO′作O′N⊥x轴于N∠OO′N=30°出O′据对称性点P在直线O′B′O′B′y43x=xb-4ac≥0可．kxk2(1)把A(223)代入y=23=，解得：k=43，43x∴反比例函数的解析式为y=；把A(223)代入y=mx2m=23，解得：m=3，∴正比例函数的解析式为y=3x；(2)由反比例函数和正比例函数图象的对称性可知：AC两点关于原点对称，∴C(-2,-23)，设E(m,n)C作CF⊥x轴于点F点E作EG⊥CF于点G，如图1，则∠CFO=∠CGE=90°CF=23OF=2EG=-2-mCG=n+23，∴∠CEG+∠ECG=90°，∵EC⊥AC，24∴∠OCF+∠ECG=90°，∴∠CEG=∠OCF，∴ΔECG∽ΔCOF，CGOFEGCFn+23-2-m23∴==，2∴m=-8-3n，∵mn=43，∴n(-8-3n)=43，233解得：n=-23(舍去)n=-，12233∴m=43÷-=-6，233∴E-6,-，如图1A作AH⊥l于点HE作EK⊥l于点KER⊥AH于点R，11则∠R=∠RHK=∠EKH=90°，∴四边形EKHR是矩形，∴RH=EK=dAH=d，21∴d+d=AR，12当R和E重合时，d+d的值最大，122336432∵CE2=EG2+CG2=(6-2)2+23-=AC2=(2OC)2=4×[OF2+CF2]=4×[22+(23)2]=64，6431633∴最大值是AE=CE+AC2=+64=；1633∴d+d的最大值为；12(3)如图2ABO′作O′N⊥x轴于Nl2与OA交于点M，∵A(223)B(2,0)，∴AB⊥x∠ABO=90°AB=23OB=2，ABOB232∴tan∠AOB===3，∴∠AOB=60°∠PMO=90°，∴∠MPO=30°，12∴OM=tOO′=t，∵∠OO′N=30°，1232∴ON=tNO′=t，1232∴O′t，t，根据对称性可知点P在直线O′B′上，132ta+b=tx+bO′1232设直线O′B′的解析式是y=a2t，tP(t,0)，代入，ta+b=01232ta+b=t得，ta+b=025a=-3b=3t解得：，∴y=-3x+3t①，43x∵反比例函数的解析式为y=②，①②联立得，3x-3tx+43=0，即x-tx+4=0③，∵O′B′与双曲线有交点，∴△=b-4ac=t-4×1×4≥0，解得：t≥4t≤-4．12又O′B′=2B′点横坐标是1+t，当点B′为直线与双曲线的交点时，t21212由③得，x-t-+4=0，41t221+t-t-+4=0，224解得t=±25，而当线段O′B′与双曲线有交点时，t≤25或t≥-25，∵t>2，综上所述，t的取值范围是4≤t≤25．热点4几何图形综合名师点拨16(2024•泰山区校级模拟)ΔABC内接于⊙OAB=ACOCB作AC的垂线，交⊙O于点DOC于点MAC于点EAD．(1)若∠D=αα的代数式表示∠OCA；(2)求证：CE=EM⋅EB；(3)连接CDBM=4DM=3tan∠BAC的值及四边形ABCD的面积与ΔBMC面积的比值．2652214(1)90°-α(2)见解析；(3)，．12(1)连接OAOBSSS证明ΔAOB≅ΔAOC∠OAB=∠OAC=∠BAC的圆周角相等得∠ACB=∠D=α(2)首先表示出∠CBE=90°-∠ACB=90°-α∠OCA=∠CBEΔCEM∽ΔBEC(3)连接AO并延长交BD于点N接CNCD，首先利用平行线的判定可证OC⎳AD∠DMC=∠ABD=∠ACBCD=DM=3ASA证明ΔAEN≅ΔAED得EN=EDEMEB的长，从而解决问题．(1)OAOB，在ΔAOB与ΔAOC中，AB=ACOB=OC，OA=AO∴ΔAOB≅ΔAOC(SSS)，1∴∠OAB=∠OAC=∠BAC，2∵AB=AB，∴∠ACB=∠D=α，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=α，∴∠BAC=180°-2α，∴∠OAC=90°-α，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=90°-α；(2)证明：∵BD⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE=90°-∠ACB=90°-α，∴∠OCA=∠CBE，∵∠CEM=∠CEB，∴ΔCEM∽ΔBEC，CEBEEMCE∴=，∴CE=EM⋅EB；(3)AO并延长交BD于点N接CNCD，∵AB=AC∠OAB=∠OAC，∴AO垂直平分BC，∴BN=CN，∵∠OCA=∠DAC，∴OC⎳AD，∴∠DMC=∠ABD=∠ACB，∵BC=BC，∴∠BAC=∠CDM，∴∠DCM=∠ABC，∴∠DCM=∠DMC，27∴CD=DM=3，∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEN，∵∠OAC=∠DACAE=AE，∴ΔAEN≅ΔAED(ASA)，∴EN=ED，∴AC垂直平分DN，∴CN=CD=3，∴BN=CN=3，∴MN=BM-BN=4-3=1，由EN=DE得：MN+EM=DM-EM，∴1+EM=3-EM，∴EM=1，∴EB=BM+EM=4+1=5，DE=DM-EM=3-1=2，由(2)知，CE=EM⋅EB=1×5=5，∴CE=5(负值已舍)，∵∠BAC=∠BDC∠DEC=∠AEB，∴ΔDEC∽ΔAEB，DEAECEBEDE⋅EB∴=，2×5∴AE====25，CE5在RtΔABE中，BEAE52552tan∠BAC==，由(2)知，∠OCA=∠CBE=∠CAD，∴AD⎳OC，CEAEEMED12∴==，∴CE=5，12122152∴S=AC×BD=×35×7=，112S=×BM×CE=×4×5=25，2214∴四边形ABCD的面积与ΔBMC面积的比值为．17(2023•越秀区模拟)平行四边形ABCDE在边BC上AEF在线段AEBFAC．(1)如图1AB⊥ACE为BC中点，BF⊥AE．若AE=5BF=26AF的长度；(2)如图2AB=AE∠BFE=∠BACAE沿AC翻折交CD于HC作CG⊥AC交AH于点G．若∠ACB=45°：AF+AE=AG；(3)如图3AB⊥AC∠ACB=30°AB=2AF+BF+CF的最小值．28(1)AF=4；(2)证明见解析；(3)AF+BF+CF的最小值为27．(1)根据直角三角形的中线等于斜边长一半AE=BE=CE=5ΔBEF用勾股定理求出EFAF=AE-EF(2)由题意可得，AC是∠GCECG⊥ACAEGC交于点MAG=AMAG=AE+AFAM=AE+EMAF=EMBF交AC于NE作EP⊥AC于P证明ΔABN≅ΔEAPAN=EPEQCPEQ=EP=ANΔANF≅ΔEQM即可解决；(3)如图3AF和AC手拉手ΔAFC≅ΔAMN以CF=MNFM=AFAF+BF+CF=BF+FM+MNBFMN利用∠BAN=150°AB=2AC=AN=23ΔABN即可解决．(1)解：∵AB⊥AC1，∴∠BAC=90°，E为BC的中点，AE=5，∴AE=BE=EC=5，∵BF⊥AE，∴∠BFE=90°，在RtΔBEF中，EF=BE-BF2=1，∴AF=AE-EF=4；(2)2AE与射线GC交于点M，由题可设∠CAM=∠CAG=α，∵AC⊥CG，∴∠ACM=∠ACG=90°，∴∠AMG=∠AGM=90°-α，∴AM=AG，∵∠BFE=∠BAC，∴∠ABF+∠BAE=∠CAM+∠BAE，∴∠ABF=∠CAM=α，29∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∴∠ABF+∠FBE=∠ACB+∠CAM，∵∠ABF=∠CAM=α∠ACB=45°，∴∠FBE=∠ACB=45°，延长BF交AC于N，∴BN=CN∠BNC=∠ANF=90°，过E作EP⊥AC于P，则∠APE=∠BNA=90°，∠BNA=∠APE在ΔABN与ΔEAP中，∠ABN=∠EAP，AB=EA∴ΔABN≅ΔEAP(AAS)，∴AN=EP，过E作EQ⊥CM于Q，∴∠EQC=∠ACM=∠EPC=90°，∴四边形EQCP为矩形，∵∠BCM=90°-∠ACB=45°，∴∠BCM=∠ACB，∴EP=EQ=AN，∴矩形EQCP为正方形，∴EQ⎳AC，∴∠MEQ=∠FAN，∠MEQ=∠FAN在ΔMEQ与ΔFAN中，EQ=AN，∠EQM=∠ANF=90°∴ΔEQM≅ΔANF(ASA)，∴AF=EM，∵AM=AE+EM，∴AG=AE+AF；(3)3AC为边构等边ΔACNAF为边构造等边ΔAFM，∴AF=AM=FMAC=AN=CN，∠FAM=∠CAN=60°，∴∠FAM-∠MAC=∠CAN-∠MAC，∴∠CAF=∠NAM，AF=AM在ΔAFC与ΔAMN中，∠CAF=∠NAM，AC=AN∴ΔAFC≅ΔAMN(SAS)，∴CF=CM，∴AF+BF+CF=BF+FM+MN，当BFMN四点共线时，AF+BF+CF最小，即为线段BN4，过N作NT⊥BA交其延长线于T，30∴∠BTN=90°，∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵AB=2∠ACB=30°，∴BC=2AB=4，∴AC=BC-AB2=23，∴AN=AC=23，∵∠BAN=∠BAC+∠CAN=150°，∴∠TAN=180°-∠BAN=30°，12在RtΔTAN中，TN=AN=3，∴AT=AN-TN2=3，∴TB=TA+AB=3+2=5，∴BN=TN+TB2=27，∴AF+BF+CF的最小值为27．18(2023•乳山市二模)过四边形ABCD的顶点A作射线AMP为射线AMDP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ∠PAQ=αBQ．(11ABCDα=90°．无论点P在何处，总有BQ=DP(22ABCD是菱形，∠DAB=α=60°∠MAD=15°PQ．当PQ⊥BQ，AB=6+2AP的长；(33ABCD是矩形，AD=6AB=8AM平分∠DACα=90°．在射线AQ43上截取ARAR=AP．当ΔPBRAP的长．(1)证明见解答；(2)AP=2；35224511(3)AP的长为或．31(1)利用正方形性质和旋转变换证明ΔADP≅ΔABQ(SAS)(2)如图2P作PH⊥AB于点HBPΔADP≅ΔABQ(SAS)BQ=DP∠APD=∠AQBΔAPQ是等边三角形，ΔAPH是等腰直角三角形，ΔBPQ角形即可求得答案；(3)分三种情况讨论：①当∠BRP=90°时，②当∠PBR=90°时，③当∠BPR=90°AP的长．(1)1∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB∠BAD=90°，∴∠DAP+∠BAM=90°，∵∠PAQ=90°，∴∠BAQ+∠BAM=90°，∴∠DAP=∠BAQ，∵将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，∴AP=AQ，∴ΔADP≅ΔABQ(SAS)，∴BQ=DP．(2)2P作PH⊥AB于点HBP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，由旋转得：AP=AQ，∵∠DAB=α=60°，即∠DAB=∠PAQ=60°，∴ΔADP≅ΔABQ(SAS)，∴BQ=DP∠APD=∠AQB，∵AP=AQ∠PAQ=60°，∴ΔAPQ是等边三角形，∴∠AQP=60°，∵PQ⊥BQ，∴∠BQP=90°，∴∠AQB=∠AQP+∠BQP=60°+90°=150°，∴∠APD=∠AQB=150°，∴∠DPM=180°-∠APD=180°-150°=30°，∵∠MAD=15°，∴∠ADP=∠DPM-∠MAD=30°-15°=15°，∴∠ADP=∠MAD，∴AP=DP，∴AQ=BQ=PQ=AP，∴∠ABQ=∠BAQ=∠MAD=15°，∴∠PAH=∠PAQ-∠BAQ=60°-15°=45°，∵PH⊥AB，∴∠AHP=∠BHP=90°，∴ΔAPH是等腰直角三角形，2∴AH=PH=AP，232∵BQ=PQ∠PQB=90°，∴ΔBPQ是等腰直角三角形，∴∠PBQ=45°，∴∠PBH=∠PBQ-∠ABQ=45°-15°=30°，2APPHtan∠PBH622∴BH===AP，tan30°22622+62∴AB=AH+BH=AP+AP=AP，∵AB=6+2，2+6∴AP=6+2，2∴AP=2；(3)∠BRP=90°3DPPQB作BE⊥AQ于点E，设AM交CD于点F点F作FG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAM+∠DAP=90°∠ADC=90°，∵∠BAM+∠BAR=90°，∴∠DAP=∠BAR，∵AD=6AB=8，ADAB68434∴==，∵AR=AP，3APARADAB34APAR∴∴==，，∴ΔADP∽ΔABR，DPBRADAB683443∴===BR=DP，∵AM平分∠DACFD⊥ADFG⊥AC，∴FD=FG，在RtΔACD中，AC=AD+CD2=6+82=10，ADAC610335∴sin∠ACD===，FG∵∴=sin∠ACD=，CFDFCF535=，∵DF+CF=CD=8，∴DF=3CF=5，在RtΔADF中，AF=AD+DF2=6+32=35，∵∠DAP=∠BAR∠ADF=∠AEB=90°，∴ΔADF∽ΔAEB，AEADBEDFABAFAE6BE3835∴====，1655855∴AE=BE=，33∵∠BRP=90°，∴∠ARP+∠BRE=90°，∵∠ARP+∠APR=90°，∴∠BRE=∠APR，∴tan∠BRE=tan∠APR，BEERARAP34334∴==，855655∴ER=BE=×=，4∵AR+ER=AE，436551655∴AP+=，352∴AP=②当∠PBR=90°4P作PG⊥AD于点GPH⊥AB于点H，；PGAPDFAF335AGAPADAF635则sin∠DAF===cos∠DAF===，55255∴PG=APAG=AP，∵∠GAH=∠AGP=∠AHP=90°，∴四边形AGPH是矩形，55255∴AH=PG=APPH=AG=AP，55∴BH=AB-AH=8-AP，25555165522∴BP=PH+BH=AP+8-AP=AP-AP+64，25555245522在RtΔDPG中，DP=DG+PG=6-AP+AP=AP-AP+36，4∵BR=DP，3169169128515∴BR=DP=AP-AP+64，42592在RtΔAPR中，PR=AP+AR=AP+AP=AP2，3在RtΔPBR中，PR=BP+BR2，2591655169128515∴AP=AP-AP+64+AP-AP+64，24511解得：AP=；③当∠BPR=90°时，1691285152591655由②知：BR=AP-AP+64PR=，AP2BP=AP-，AP+64，∵PR+BP=BR2，2591655169128515∴AP+AP-AP+64=AP-AP+64，853解得：AP=0或AP=-35224511综上所述，AP的长为或．19(2023•南海区一模)如图1ABCD中，AD=12AB=8E在射线ABΔAED34沿EDA与点GAG交DE于点F．(1G落在BCBG的长；(2E的运动过程中，BG由；(33P为BGAPE在射线ABAP长的最大值．(1)12-45；(2)在点E的运动过程中，BG存在最小值，BG的最小值为413-12；(3)点E在射线AB上运动过程中，AP长的最大值为213+6．(1)由翻折得：DG=AD=12CG=DG-CD2=12-82=45BG=BC-CG(2)以D为圆心，AD长为半径作⊙DG在⊙DG在线段BD上时，BGBG=BD-DGBD=413BG的最小值为413-12；(3)以D为圆心，AD长为半径作⊙DBA至HAH=BA=8接GH12得AP=GHAP最大时，GHG在⊙DHG经过点D时，GH案．(1)当点G落在BC1，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=12CD=AB=8∠B=∠C=90°，由翻折得：DG=AD=12，在RtΔCDG中，CG=DG-CD2=12-82=45，∴BG=BC-CG=12-45；(2)如图2D为圆心，AD长为半径作⊙D，由翻折得：DG=AD=12，∴点G在⊙D上运动，当点G在线段BD上时，BGBG=BD-DG，在RtΔABD中，BD=AB+AD2=8+122=413，35∴BG=BD-DG=413-12，故在点E的运动过程中，BG存在最小值，BG的最小值为413-12；(3)如图3D为圆心，AD长为半径作⊙DBA至HAH=BA=8GH，∵AH=BA，∴点A是BH的中点，∵点P为BG的中点，∴AP是ΔBGH的中位线，1∴AP=GH，2则AP最大时，GH最大，由翻折得：DG=AD=12，∴点G在⊙D上运动，当HG经过点D时，GH4，在RtΔADH中，HD=AH+AD2=8+122=413，∴GH=HD+DG=413+12，12∴AP=GH=213+6，故点E在射线AB上运动过程中，AP长的最大值为213+6．20(2023•邹城市模拟)ABCDD角板绕点D旋转．(1)当三角板旋转到图1CE与AF(2)在(1)DE=1AE=7CE=3∠AED的度数；(3)若BC=4M是边ABDMDM与AC交于点ODF与边DM重合时5(如图2)OF=CN的长．3B36(1)由正方形与等腰直角三角形的性质判断出ΔADF≅ΔCDE即可；(2)设DE=kAECEEFΔAEF∠AED；OMODOAOCAMDC12DFDC(3)由AB⎳CD出===DMDOΔDFN∽ΔDCO=DNDN即可DO(1)CE=AF；ABCDCEF中，FD=DECD=CA∠ADC=∠EDF=90°∴∠ADF=∠CDE，∴ΔADF≅ΔCDE，∴CE=AF，(2)∵DE=1AE=7CE=3，∴EF=2，∴AE+EF=AF2∴ΔAEF为直角三角形，∴∠AEF=90°∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°；(3)∵M是AB中点，1212∴MA=AB=AD，∵AB⎳CD，OMODOAOCAMDC12∴===，在RtΔDAM中，DM=AD+AM2=16+4=25，45∴DO=∵OF=，35，3∴DF=5，∵∠DFN=∠DCO=45°∠FDN=∠CDO，∴ΔDFN∽ΔDCO，DFDC5DNDODN453∴∴=，，=453∴DN=，5373∴CN=CD-DN=4-=热点考题21(2024•裕华区一模)式的二次项系数与一次项系数的和(和为非零数)为一次多项式的常数项．例A=x+2x-3A，经过处理器得到B=(1+2)x-3=3x-3．37若关于x的二次多项式A经过处理器得到B(1)若A=3x-2x+5B关于x的表达式；(2)若A=4x-5(2x-3)x的方程B=9的解．(1)B=(3-2)x+5=x+5(2)B=9的解为1．(1)根据整式处理器的处理方法即可求解；(2)-6x+15=9x的方程B=9的解．(1)∵A=3x-2x+5，∴根据整式处理器可得B=(3-2)x+5=x+5．(2)依据题意可知A=4x-5(2x-3)=4x-10x+15，根据整式处理器可得B=(4-10)x+15=-6x+15，∵B=9，∴-6x+15=9，∴x=1，∴方程B=9的解为1．22(2024•禹州市一模)(1)如图1(每个小正方形的边长都是1)ABCP均在格点上(网格线的交点)P在线段ABPCPC绕点PC的对应点D落在线段ACPCPD关于直线AB的对称线段PE和PF．则①∠BAC=45°；②线段PF可以看作是由线段PC绕点P顺时针旋转°得到．(2)如图23∠BAC=45°P为ABPCP