新人教版九年级数学上册24.1圆导学案

新人教版九年级数学上册24.1圆导学案

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、圆的有关概念（弦、弧、圆心角、圆周角）

2、圆的有关性质（旋转不变性、轴对称性）

3、圆的重要定理（圆周角定理、垂径定理）

【重点难点】

1、圆的有关概念（弦、弧、圆心角、圆周角）

2、圆的有关性质（旋转不变性、轴对称性）

3、圆的重要定理（圆周角定理、垂径定理）

知识概览图

弦：连接圆上任意两点的线段

弧：圆上任意两点之间的部分

圆的有关概念圆心角：顶点在圆心的角

圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角

圆旋转不变性：绕圆心旋转任意角度，都与自身重合

圆的有关性质’

轴对称性：对称轴有无数条，是直径所在的直线

圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的

一半

圆的重要定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

新课导引

2012年7月27日第三十届奥林匹克运动会将在伦敦隆重开幕，世界各国人民都将

目光聚焦在伦敦，下面是几个参加奥运会的国家的国旗，你能观察出它们有什么共同的

特征吗?

【问题探究】这几面国旗的共同特征不能仅从一个角度去考虑，角度不同，得到的

答案也不同，但从几何图形这一角度考虑，易于得出结论.

【解析】这几面国旗的共同特征中，最明显的是都有圆形图案.

教材精华

知识点1圆的有关概念

圆：如图24—1所示，在一个平面内,线段。4绕它固定的一个端点。旋转一周，另一

个端点8所形成的图形叫做圆，固定的端点a叫做圆心，线段2a叫做半径.

以点。为圆心的圆，记作“。。"，读作“圆。”.一

拓展(匕!〃

(1)圆上各点到圆心的距离都等于半径.

(2)到圆心的距离等于半径的点都在圆上.图247

(3)圆可以看做是到定点的距离等于定长的点的集合.

(4)圆是一条封闭的曲线，是指圆周而不是指圆面，圆由圆心确定位置，由半径确

定大小.

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做

直径.如图24—2所示,线段AB,AC,BC都是。。的弦，且线段AB是。。的直

径.

拓展/)、

(1)弦是一条线段，它的两个端点都在圆上.(o/

(2)直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦.VJ//

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.图2/2

以A,8为端点的弧记作AB,读作“圆弧AB”或“弧A8”.圆的任意一条直径的两个

端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.一

B

如图24—3所示，像AB,BC,这样小于半圆的圆弧叫做劣弧,A像

BAC这样大于半圆的圆弧叫做优弧，一般用弧的两个端点及弧

任一点（放在中间）表示，有时在优弧的中间标一个小写字母加，记

图24-3

为优弧BmC.

等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.

等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.实质上,等弧是全等的，不仅弧

长相等，形状大小也一样.

知识点2圆的对称性

圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.

在。。中，将圆周绕圆心。旋转180。，能与自身重合，因此它是中心对称图形，它

的对称中心是圆心。.将圆周绕圆心。旋转任意一个角度，都能与自身重合.

经过圆心。画任意一条直线，并沿此直线将0。对折，直线两旁的部分能够完全重

合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，因为圆有无数条直

径，所以圆有无数条对称轴.

拓展因为圆是轴对称图形，所以在圆内任意作一条直径就可以把圆2等分，作

两条互相垂直的直径就可以把圆4等分,再作两条互相垂直的直径的两组对角的平分线,

可以把圆8等分，进而进行16

等分、32等fo\（L.\分……如图24—4

4等分

图24-4

知识点3垂直于弦的直径（垂径）定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

拓展(1)由垂径定理可以得到以下结论：

①若直径垂直于弦，则直径平分弦及其所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.

③垂直且平分一条弦的线段是直径.

④连接弦所对的两弧的中点的线段是直径.

(2)利用垂径定理及其推论可以证明平分弧，平分弦，证垂直，证一条线段是直径.

(3)利用垂径定理的推论，可以确定圆心的位置：在圆中找出两条不平行的弦，分别

作

两弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是圆心.

(4)由于垂直于弦的直径平分弦，所以可以在圆中构造直角三角形，利用勾股定理列

方程求弦长(或半径).

知识点4圆心角

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系.

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应

的其余各组量也相等.

在同圆或等圆中：

(1)如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等，

(2)如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，

(3)如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，圆心角所对的弧相等.

拓展(1)圆心角、弦、弧之间的关系的结论必须是在同圆或等圆中才能成立.

(2)利用同圆(或等圆)中圆心角、弦、弧之间的关系可以证明角、弦或弧相等.

知识点5圆周角

圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一

爰

2、半圆(直径)所对的圆周是直角；90°的圆周角所对的弦是圆的直径.

拓展此性质介绍了一种常见的引辅助线的方法：有直径，通常构造直径所对的圆

周角；反过来，有90。的圆周角，通常构造直径.

3、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧相等.

拓展“同弧或等弧所对的圆周角相等”常用来证明两角相等或进行角的转换，将一

个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到解题的目的.

知识点6圆内接多边形

(1)如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，

这个圆叫做这个多边形的外接圆.

(2)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.

探究交流

1、下列说法正确吗?为什么？

①直径是弦，弦也是直径.

②半圆是弧，弧也是半圆.

③两条等弧的长度相等，长度相等的弧是等弧.

解析①②③都不正确.直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，半圆是一条特殊的弧,

但弧不一定是半圆，等弧是指在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，它们的长度相等，

形状大小一样，但长度相等的弧，只确定了长度相等，形状表必相同，所以不一定是等

弧.

2,下列说法正确吗?为什么？

①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；

②弦的垂线平分它所对的两条弧；

③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；

④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.

解析①②③都不对，过弦的中点且垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.①中缺少垂

直于弦的条件；②中缺少平分弦的条件；③中“过弦的中点”中的弦一定要强调“不是

直径”，否则不对.只有④正确.

课堂检测

基本概念题

1、下列命题正确的有（）

①顶点在圆周上的角为圆周角；②顶点在圆心的角为圆心角；③弦是直径；④直径

是弦；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑥圆的对称轴是它的直径.

A.2个B.3个C.4个D.5个

基础知识应用题

2、在同圆或等圆中，如果AB=CO,那么AB与的关系是（）

A.AB>CDB.AB^CD

C.AB<CDD.AB=2CD

3、如图所示，已知A3是的直径，弦CD与相交于点

E,当时，（填写一个你认为适当的条件）

4、如图所示，43为0。的直径，从圆上一点C作弦43,NOC。的平分线

交于点P，求证=

综合应用题

5、如图所示，在00中，A3为弦，OCVAB,垂足为C,若AO=5,OC=3,则

弦AB的长为（）

A.10B.8C.6

6、如图所示,一圆弧形门拱的拱高为1m,跨度为4m,

这个门拱的半径为—m.

探索创新题

7、如图所示，AD,5c于点。，且4。=5,8=3,48=4血,则00的直径等于.

体验中考

1、若。。的半径为4cm,点A到圆心。的距离为3cm,则点A与。。的位置关系是

）

A.点A在圆内B.点A在圆上

C.点A在圆外D.不能确定

2、如图所示，在AABC中，AB为。。的直径，ZB=60°,ZC=70°,

/BOD的度数是度.

3、如图所示，是的直径，C,£＞是O。上的两点，且AC=CD

(1)求证OC〃6O；

(2)若6c将四边形OB0C分成面积相等的两个三角形，试确定四

边形QBDC的形状.

学后反思

附：课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、B本题主要考查圆的有关概念.根据圆周角的定义，顶点在圆周上，两边与圆相

交的角为圆周角，两个条件缺一不可，故①错误；由圆心角的定义可知②正确；由弦、

弧、直径及半圆的定义易知③错误，④⑤均是正确的；圆的对称轴为其直径所在的直线,

故⑥错误.故选B.

2、B本题主要考查的是同圆或等圆中弧与弦的关系.在同圆或等圆中，若两条弧相

等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以=.故选B.

3、分析本题考查垂径定理的应用，根据圆的对称性，若ABJ_CE＞，则将0。沿A3

对折，可知点C与点。重合，所以有C£=O£,AC=AD,BC=BD,反之也对，填

上一个即可.

4、分析本题考查垂径定理的应用，连接。P,证弧相等，只需证明。P垂直平分A3

即可.

证明：连接0P,;OC=OP,ZOCP=ZOPC.

­■CP是ZOCD的平分线，ZDCP=ZOCP.

ZOPC=ZDCP..-.OP//CD.

又•.•C"AB,..OPLAB

又Q4=OB,OP垂直平分AB

AP=BP.

【解题策略】本题是利用垂径定理证明弧相等，垂径定理是证弧相等的常用方法之

5、分析本题主要考查垂径定理的应用.解答此题的关键是对“OC_LA3”的理

解.OC经过圆心且垂直于弦AB,由垂径定理可知AC=BC=」AB,由勾股定理，得

2

AC=Sl-OC。=代1=4所以AB=2AC=8.故选B.

规律.方法（1）在关于“垂直于弦的直径”的题目中，很多情况下不直接给出直径，而

只给出直径的一部分，如半径或圆心到弦的距离等，此时要注意灵活运用.

⑵圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距是圆中联系直径（半径）和弦的重要纽带，同时也

是一条十分重要的辅助线.

6、分析本题主要考查的是垂径定理在实际问题中的应用.解答本题的关键是理解

题中的“拱高”和“跨度”，拱高是指弧的中点到弦的中点的线段长，跨度是指弦长，

根据垂

径定理及其相关结论“平分弦且平分弦所对的一条弧的直线垂直于弦并且过圆心”，需

利用圆的半径及弦心距，故设CO所在的圆的圆心为。，连接则AOBC为直角

三角形，4,民0三点共线，且BC=LcD=2m,设半径为xm,那么QB=（x-l）m,利

2

用勾股定理，得。。2=082+3。2,EPX2=（X-D2+22,解得X=2.5,即门拱的半径为

2.5m.故填2.5.

【解题策略】（1）图中由CO及弦C。围成的图形叫弓形，A3是弓形的高.

（2）在解答有关弓形的问题时，常利用解直角三角形的方法求解，所以首先应找到弓

形的弧所在的圆的圆心，然后利用垂径定理与勾股定理等求半径、弦长的一半和圆心到

弦的距离.

7、50分析由ADL8C可知AAOC为直角三角形，又知AC=5,CO=3,所以

4。=4,又由43=4收，可由勾股定理推出30=4,从而得出是等腰直角三角

形，所以N6=45。，所以AC所对的圆心角为90。，若连接。4,OC,则4c是等腰

直角三角形，且斜边AC=5,通过勾股定理可求出半径。4=0C=*及，所以。。的

2

直径为5vL故填5VL

体验中考

1'A分析本题考查点和圆的位置关系，由于点A到圆心的距离小于半径，所以点A

在。。内.故选A.

2、100分析本题综合考查三角形内角和定理及同圆中同弧所对的圆心角、圆周角

的关系，由/8=60。,/。=70。，可知NA=50。，由同圆或等圆中同弧所对的圆周角等

于这条弧所对的圆心角的一半可知NBOD=2ZA=2x50。=100。.故填100.

3、分析本题考查弦、弧以及圆周角、圆心角之间的关系.

证明：（1）•.•AC=C。,.•.弧4c与弧。相等，

:.ZABC=ZCBD.

又­.•OC=OB,NOCB=NOBC,

：.ZOCB=ZCBD,：.OC//BD.

解：（2）由（1）知。。〃8£）,不防设平行线OC与间的距离为九，

又Sme=2OCxh,S.DBC=2BDxh,

•••BC将四边形O8DC分成面积相等的两个三角形，

即S9c=S.C，，OC=B。,.•.四边形08。。为平行四边形•

又；OC=OB,.•.四边形OBDC为菱形.

【解题策略】本题利用了相等的弦所对应的劣弧相等，相等的弧所对的圆周角

相等这一性质，还利用了“面积相等的两个三角形，若它们的高相等，则它们的

底边长相等”这一性质证线段相等.

24.2点、直线的位置关系

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、掌握点与圆的位置关系（点P在圆外、圆上、圆内）及形成条件;

2、掌握直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）及形成条件；

3、掌握并能灵活运用切线的判定和性质、切线长定理；；

【重点难点】

1、掌握点与圆的位置关系（点尸在圆外、圆上、圆内）及形成条件;

2、掌握直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）及形成条件；

3、掌握并能灵活运用切线的判定和性质、切线长定理；

知识概览图

■①点P峭外d>r

点与圆的位置关系②点P存就上d=r

③点Pg|内d<r

①图离d>r

r切线的判定和性质：经过半径

外端且垂

直于这条

J半径的直

线是圆的

切线，圆的

\切线垂直

于过切点

的半径

直线与圆的位置关系②篇切d=r切线长定理：从圆外一点外圆的

两•,11*

与圆有关的'

条切线，它们的切

线

位置关系长相等，这一点与

圆心的连线平分

两

切线的夹角

③口交d<r

皖离d>rt+r2

①相离哈含d<rt+r2(4>4)

汾切d=ri+r2

圆与圆的位置关系(附加),切内切d=r2-rx(弓>4)

③枳交r2-r[<d<r]+r2(224)

新课导引

奥运五环中的五个圆之间有怎样的位置关系呢？在射击靶上，射击弹着点与靶上各

圆上之间存在几种位置关系呢？还有哪些图形与圆之间存在一定的位置关系？

OQ9>

【解析】奥运五环中的五个圆有相交，也有相离，射击弹着点可能在某个圆内，

也可能在圆周上，还可能在圆外，我们常研究的有点与圆、直线与圆及圆与圆之间的位

置关系.

教材精华

知识点1点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有三种，设点到圆心。的距离为d,圆的半径为，如图24-55

所示.

点在圆的外部：点到圆心的距离大于半径，OR=d>r；

马

点在圆上：点到圆心的距离等于半径，OP?=d=r；

点在圆的内部：点到圆心的距离小于半径，。鸟=dVr.I。少

在图24-55中，点耳在圆外，点鸟在圆上，点A在圆内.图24-55

拓展

(1)圆心是圆内的特殊点，它到圆上各点的距离都相等.

(2)除圆心外，圆内各点与圆上各点的距离都有最大值和最小值，如图24-59所示,

过点尸作直径。及PD的长是点尸到圆上各点的最长距离，PE的长是点P到圆上各点的

最短距离.

(3)圆外各点到圆上各点的距离也有最大值和最小值.如图24-60所示，连接P。并延长,

交于于。，民尸。的长是点P到圆上各点的最短距离，PE的长是点P到圆上各点的

最长距离.

(4)过圆内一点作最长弦与最短弦，如图24-61所示，过圆内一点P的最长弦是直径AB,

过P点的最短弦是上述直径垂直的弦DE.

图24-61

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

拓展(1)过同一直线上的三点不能作圆，要注意“过三点的圆”中的“三点”

不在同一直线上，故“三点确定一个圆”这种说法是不对的.

(2)“确定”一词指不仅能作出圆，而且只能作出一个圆，即“有且只有”的意

思.

知识点2三角形的外接圆

三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,

处接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个

三角形的外心.

圆的内接三角形：在圆上任取三点首尾顺次连接组成的三角形

叫做圆的内接三角形.

拓展(1)任意三角形都有且只有一个外接圆.

（2）三角形的外心不仅是三角形外接圆的圆心，它还是三角形三条边的垂直平分

线的交点，它到三角形各顶点的距离相等.

（3）圆的内接三角形有无数个，它可以是任意的锐角三角形、直角三角形、钝角

三角形.

知识点3反证法

探究交流中证明“过同一直线上的三点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明方

法不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同

一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确,

从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法.在某些情形下,反证法是很有效的证明方法.

知识点4直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种，设圆心。到直线/的距离为d,的半径为r,如图

（1）（2）（3）所示.

相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的

割线，两个公共点是直线与圆的交点.

如图（1）所示，直线/与0。有两个公共点A3,此时d<r.

相切：直线和圆有一个公共点，这时我们说条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切

线，这个点叫做切点.

如图（2）所示，直线/与。。有唯一的公共点A,此时d=r.

相离：直线和圆设没有公共点，这时我们说条直线和圆相离.

如图（3）所示，直线/与没有公共点，此时

拓展（1）已知一条直线到圆心。的距离为d,。。的半径为r.①当dVr时，直线/

与相交，/是。。的割线；②当d=7•时，直线/与相切，/是的切线；③当d

>/"时，直线/与相离.

(2)判定直线和圆的位置关系有两个途径：一是通过直线与圆的交点的个数来判

定.二是通过圆心到直线的距离与半径的大小来判定.方法一是直观的，方法二是通过计

算、推理才能得出结论的.证明时往往用方法二.

(3)点(圆心)到直线的距离是指从这点(圆心)向直线所作的垂线段的长度.

知识点5切线

切线的判定定理.

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图24-65所示,直线/与

相切，切点为点A.

拓展(1)判定一条直线是圆的切线的方法：

①定义：直线与圆只有一个公共点，则直线是圆的切线.

②圆心到直线的距离等于半径，则直线是圆的切线.

③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

(2)利用切线的判定定理需满足两个条件：①经过的外端.

②和半径垂直.两个条件缺一不可，否则不一定是切线，如图24-66所示，这里的直线

/都不是圆的切线.

(3)由切线的判定定理可以得出画切线的准确方法：已知圆心和圆上一点，先画出半

径，然后过圆上的点作半径的垂线，即为圆的切线.

(4)如果知道圆的切点和切线，可以确定直径，进而确定圆心，只需过切点作切线的

垂线，则垂线和圆相交所成的线段即为直径，直径的中点即为圆心.

图24-66图24-67

切线的性质定理.

圆的切线垂直于过切点的半径.

此性质可能用反证法证明如下：如图24-67所示，假设Q4与/不垂直，过点。作±/,

垂足为根据垂线段最短的性质有这说明圆心。到直线/的距离小于半

径Q4,于是直线/就要与圆相交，而这与直线/是的切线矛盾.因此，假设不成立，OA

与直线/垂直.

规律方法小结”有切线，连半径，得垂直”，这是已知圆的切线时常用的辅助线的作

法.

切线长的定义及切线长定理.

(1)切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这

点到圆的切线长.如图24-68所示,尸是外一点，PAPB是的切线，

A6是切点，线段PAPB的长为线长.

(2)切线长定理.

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两

条切

线的夹角.

如图24-68所示，从圆外一点P可以引圆的两条切线PAPRAB是切

B

点，根据切线长定理，我们知道OAYPA,OB±PB,而图24-68

OA=OBQP=OP,所以RtOAP三Rt^OBP,所以PA=PB,ZAPO=ZBPO.

拓展(1)从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切线.

(2)由PAPB是的切线，得出R4=P8,NAP0=N8P。的结论可以直接运用，

不必再证明.

(3)在图24-68中，若连接,则不难得出

ZAOB+NAPB=180°,ZAOP=ZBOP=-ZAOB,OP垂直平分AB,这三个结论也可以直

2

接运用.

(4)此定理主要用于证明线段相等、角相等及垂直关系，应重点掌握.

直线和圆的

相交

CD1

位置关系相切Z相离

公共点个数2个1个0个

d与r的关系d<rd=rd>r

公共点名称交占切点—

直线名称割线切线—

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分

线的交点,叫做三角形的内心.

规律方法小结(1)数形结合思想是数学中常用的思想方法，在很多题目中都配有相应的

图形，结合图形探索数量关系是解答许多问题的重要手段，在没有给出图形的问题中,

很多情况下要根据题中条件画出尽可能精确的图形，借图形加深对问题的理解，从而加

快解决问题的速度.

(2)①直线和圆的位置关系和相应概念.

②三角形内心、外心的比较

名称确定方法图形性质

外心：三角形(1)到三个顶点的距

外接圆的三角形三条边的垂离相等；

圆心直平分线的交点aOA=OB=OC

(2)夕卜心不一定在三

角形的内部

(1)到三边的距离相

等；OE=OF=OD

⑵30,CO,AO分另U

内心：三角形

平分

内切圆的三角形三条平分线

BADC

圆心的交点ZABC,ZACB,NBAC

(3)内心一定在三角

形的内部

探究交流

1、经过同一直线上的三个点能作出一个圆吗？

解析假设过同一直线/上A8,C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为尸，如图

24-63所示，那么点P既在线段AB的垂直平分线4上，又在线段

BC的垂直平分线4上，即点P为/4的交点，而4•IL"，1'这与

A

“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以经过同一直

线上的三点不能作圆.

2、钝角三角形的内切圆心一定在三角形的外部吗？

解析三角形的内心一定在三角形的内部，此题易受钝角三角形的外心在三角形的

外部的影响.

拓展(1)设直角三角形两直角边为力，斜边为c,内切圆半径为r,则

1,,、

r-—(a+b-c).

(2)三角形的内心一定在三角形的内部，是三角形三条角平分线的交点，它到三角形

各边的距离相等.

(3)一个三角形只有一个内切圆.

课堂检测

基本概念题

1、已知。0的半径为5cm,A为线段OP的中点，当0P满足下列条件时，分别指

出点A与。。的位置关系.

(1)0P=6cm；(2)OP=10cm；(3)OP=14cm.

基础知识应用题

2、在平面直角坐标系中，以点(2,1)为圆心、1为半径的圆必与()

A.x轴相交B.y轴相交C.x轴相切D.y轴相切

3、如图27-24所示，两个同心圆中，大圆的弦AB,CD相等，且A3与小圆相切于

点E.试判断CD与小圆的位置关系，并说明理由.

图24-74

4、如图所示，AABC的内切圆与BC,CA45分别相切于点。，E,F,且

AS=9cm,BC=14cm,C4=13cm,求AE,BD,C£的长.

综合应用题

5、如图所示，A是。。上一点，半径0C的延长与过点A

线交于3点。。=BC,AC=-OB.

2

(1)求证45是的切线；

(2)若44。。=45。,0。=2,求弦CD的长.

探索创新题

6、(1)如图24-79(1)所示，04,。3是。。的两条半径，且。点C是06

延长线上任意一点，过点。作。。切0。于点。，连接AO交OC于点E,试说明

CD=CE;

(2)若将图24-79(1)中的半径。8所在的直线向上平移交Q4于尸，交于所，

其他条件不变，如图24-792(2)所示，那么CD=CE还成立吗？为什么？

(3)若将图24-79(1)中的半径08所在的直线向上平移到0。外的“，点E是

的延长线与CE的交点，其他条件不变，如图24-79(3)所示，那么上述结论还成立吗？

为什么？

体验中考

1、如果一个圆的半径是8cm,圆心到一条直线的距离也是8cm,那么这条直线和

这个圆的位置关系是()

A.相离B相交C.相切D.不能确定

2、已知和。Q的半径分别为2cm和3cm,两圆的圆心距为5cm,则两圆的位

置关系是（）

A.外切B.外离C.相交D.内切

3、已知圆圆O?的半径不相等，圆。的半径长为3,若圆。2上的点A满足

AQ=3,则圆01与圆。2的位置关系是（）

A.相交或相切B.相切或相离C.相交或内含D.相切或内含

4、如图所示，王在爷家屋后有一块长12m、宽8m的矩形空地，他在以BC为直径

的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，拴

羊的绳长可以选用（）nny

2m

A.3mB.5mIwjj

C.7mD.9m'葭

5、如图所示，小圆的圆心在原点，半径为3,大圆的圆心坐标为（。,0）,半径为5.

如果两圆内含，那么。的取值范围是.

学后反思

附：课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、解：因为A为线段0P的中点，所以。4

2

(1)当0P=6cm时，Q4=3cm<5cm,点A在内部.

(2)当OP=10cm时，Q4=5cm,点A在OO上.

(3)当0P=14cm时，OA=7cm>5cm,点A在。。外部.

2、分析本题主要考查直线与圆的位置关系.解答本题的关键在平面直角坐标系中

确定圆心的位置，因为点(2,1)在第一象限，到y轴的距离为2,

到x轴的距离为1,如图24-72所示，所以这个圆与x轴相切.1故选

图24-72

3、分析由图可以看出CD与小圆相切，关键是怎样证相切，目前条件下不知道CQ

与小圆是否有公共点.这种情况下，可以先过。作CO的垂线段，然后证明垂线段，然后

证明垂线段正好是半径，这样就可以利用切线的判定定理得出结论.

解：CD是小圆的切线.理由：连接。E,过。作。产J_CD于点尸.

切于小圆于点E,，AB.'才力〃

=CD,OE±AB,OF±CD,：.AE=CF.

图24-74

连接AO,CO,则AO=CQ

:.^AEO=^CFO.OE=OF,B[JOF是，卜圆的半径.

又Ob_L8，,CO是小圆的切线.

【解题策略】证明直线和圆相切，应选用合适的方法，若知道直线与圆有公共点,

则可连半径证垂直.若不知道直线与圆有无公共点，则采用作垂线段，证垂线段是半径的

方法.

4、分析本题旨在考查切线长定理.

解：AF=xcm,则AE=AF=xcm,

因为A6=9cm,jBC=14cm,C4=13cm,

所以BE=3O=(9—x)cm,

DC-CE=[14—(9-x)]cm=(5+x)cm,

AE=AC-EC=[13—(5+x)]cm=(8一x)cm,

所以x=8—x,所以x=4,

所以AEndcm,BD=5cm,CE=9cm.

5、分析本题考查切线的判定方法与勾股定理的综合应用.

证明：(1)连接。4,

•••OC=BC,AC=；OB,：.OC=BC=AC=OA,

・•.△ACO是等边三角形，

ZOCA=ZOAC=60°,.-.ZB=ZCAB=30°,

NOAB=90。,;.AB是O。的切线.

解：(2)作于E,.•.NO=60。,NO=30。，

又ZACD=45°,AC=OC=2,

在R/AACE中，CE=AE=&,

在用中，•♦•/£>=30。,

AD=2AE=2V2,DE=#>AE=瓜

CD=DE+CE=5/6+V2.

6、分析解答探究性问题的关键解答第一个问题，它能给后面的问题的探索带来很多

的信息和提示.在（1）中，要说明C£=CD,必须先说明/。。e=/。£。,由于。4,08,

所以NAOB=90。，连接QD,根据。4=0。,ZAEO+ZA=90。,N0D4+NCOE=90。及对

顶角相等可得NC£D=NCD£，而（2）（3）中的问题，可由垂直关系及切线的特征，

同样连接。。可解答.

解：（1）连接QD,因为CD是。0的切线，所以OD_LCD,

所以ZCDE+ZODA=90°,

由题意知ZAOE=90°

在用AAOE中，ZAEO+ZA^Z90°.

在00中，因为。4=。。，所以NA=NO94,

所以NC£>E=ZAEO=NCED,所以CD=CE

（2）8=CE仍然成立.

因为原来的半径。8所在的直线向上平移，所以CF_LAO于F,

在RAAFE中，ZA+ZAEF=90°,

连接OD,有NODA+NCDE=90°,且。4=。。，

所以ZA=ZODA,所以NAEF=NCDE,又NAEF=ZCED,

ZCED=ZCDE,所以8=CE.

（3）CE=CD仍然成立.

因为原来的半径。8所在的直线向上平移，所以AO_LCF.

延长。4交于C77于G,在必AAEG中，NA£G+NGA£=90。，

连接O。，有NCD4+NOD4=90°，且。4=QD,

所以ZADO=ZOAD=ZGAE,

所以ZCDE=ZCED,所以CD=CE.

规律•方法（1）在探究开放性问题中，认真思考、观察第一个问题的解答过程是

解答后面问题的关键，所以要认真总结题中条件和解答过程中得出的信息，从中获取规

律性内容.

（2）点的运动、直线的运动、图形的运动，实际上是在一定范围内的“任意一点、

一条直线、一个图形”，它可以使整个题目发生相应的变化，要抓住在“在运动”过程

中的不变的量和规律，这往往是解答这类问题的突破点.

体验中考

1、分析本题考查直线和圆的位置关系的判定.因为圆心到直线的距离等于半径，

所以这条直线和圆相切.故选C.

2、分析本题考查两圆的位置关系.由两圆的半径是2cm和3cm,它们的和正好与

圆心距5cm相等，可知两圆的位置关系是外切.故选A.

3、分析本题考查两圆的位置关系.由于圆。2上的点A满足=3,但是题中并

没有指明否只有这一点A.当点A是唯一一个到。上的距离等于3的圆。2上的点时，这

时两圆相切（内切或外切），当点A不是唯——个点，另外还有一个到。।的距离等于

3,且在圆O?上的点时，两圆相交.故选A.

4、A分析本题考查两圆相外切的应用，圆心距等于两圆半径的和，羊不能吃到

草，就是说以A为圆心的圆与以。为圆心的圆不能相交，只能相切或相外离.连接

与半圆交于点P,由AB=8m,OB=6m可知。4=10m,所以AP=10-6=4（m）,即

当AP=4m时，OA和相切，所以拴羊的绳子应小于等于4m.故选A.

5、分析本题考查两圆位置关系中的内含问题.当圆心距小于半径之差时，两圆内

含，所以|。一0|<2时，两圆内含，所以-2<a<2.故填-2<aV2.

【解题策略】（1）判断两圆的的位置关系，一定要根据两圆位置关系的判定方

法，当d>R+r,两圆外离，当d=R+r时，两圆外切，当R-rVdVR+r时，两

圆相交，当〃=/?一「时，两圆内切.

0<dVR—r时，两圆内含.

（2）判断两圆相切时，一定要考虑周全，既要考虑外切，又要考虑内切，其中内切容

易被忽略.

24.3正多边形和圆关系

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、正多边形和圆的关系；

2、正多边形的有关计算（中心角、内角、外角等）；

3、正多边形的画法；

4、正多边形的对称性；

【重点难点】

1、正多边形和圆的关系；

2、正多边形的有关计算（中心角、内角、外角等）；

3、正多边形的画法；

4,正多边形的对称性；

知识概览图

<（1）把圆〃（〃23）等分，依次连各分点所得的多边形是这

个圆的内接正〃边形

正多边形和（2）把圆〃（〃23）等分，经过各分点作圆的切线，以相邻

切

圆的关系线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正〃边形

（3）任何正多边形都有一个外接圆和一内切圆，且这两个圆

是同心圆

（1）正〃边形的中心角为迎

正

多

边（2）正〃边形的内角为（〃二2）"80°

正多边形的

形

有关计算

和（3）正“边形的外角为迎

圆

（4）正〃多边形的其他运算均可归结到直角三角形中

正多边形的（1）用量角器等分圆周画

（2）用直尺和圆规等分圆周来画

（1）所有的正多边形都是轴对称图形，一个正〃边形共有〃条

对称轴，每条对称轴都经过正〃边形的中心

正多边形的（2）如果正多边形有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是

对称性心对称图形，它的中心就是对称中心

新课导引

我国国旗上的五角星及正六边形、正三角形等许多图形都可以利用圆的有关知识画

出来.早在古代，就有人用直尺和圆规作出三角形、正方形及正五边形了.目前对于正

多边形的研究，我们经常借助圆来讨论，那么它们之间有怎样的联系呢？我们这节课便

一起来研究.

教材精华

知识点1正多边形的外接圆A

Z1

二个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个o匚

B梭心角、尸

正多边形的外接圆.其中我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫（）

做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正

多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角―,中心到正多

边形的二边c的电离叫做亚多边形的边心垣.如右图所示,六边

形ABCDEF是Q0的内接正六边形或Q0是正六边形ABCDEF的外接圆.

知识点2圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角互补

圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.

知识点3圆内接正〃边形的性质（〃23,且〃为自然数）

圆内接正〃边形都是轴对称图形，都有〃条对称轴.

例如：圆内接正三角形有三条对称轴，圆内接正四边形有四条对称轴，圆内接正六

边形有六条对称轴，而圆内接正五边形有五条对称轴.

圆内接正2〃（〃22,且〃为自然数）边形是中心