高中数学导数满分通关专题15 导数中同构与放缩的应用(原卷版)

专题15导数中同构与放缩的应用同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，考点一部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）【方法总结】在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a＞0且a≠1时，有，(2)当a＞0且a≠1时，有再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0)(“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)(3)，(4)，(6)，再结合常用的切线不等式：，，，等，可以得到更多的结论(7)，．，．(8)，，(9)，，【例题选讲】[例1](1)已知，则函数的最大值为________．(2)函数的最小值是________．(3)函数的最小值是________．[例2](1)不等式恒成立，则实数a的最大值是________．(2)不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．(3)不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．(4)已知函数，其中b＞0，若恒成立，则实数a与b的大小关系是________．(5)已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．(6)已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数k的取值范围是________．(7)已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．(8)已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是________．[例3](2020届太原二模)已知函数.(1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．【对点精练】1．函数的最小值为________．2．函数的最小值为________．3．函数的最大值是________．4．已知不等式，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．5．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．6．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．7．已知a，b分别满足，则ab＝________．8．已知x0是函数的零点，则________．考点二整体同构携手脱衣法【方法总结】在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）(1)eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>k(x1<x2)f(x1)－f(x2)<kx1－kx2f(x1)－kx1<f(x2)－kx2y＝f(x)－kx为增函数；(2)eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<eq\f(k,x1x2)(x1<x2)f(x1)－f(x2)>eq\f(k(x1－x2),x1x2)＝eq\f(k,x2)－eq\f(k,x1)f(x1)＋eq\f(k,x1)>f(x2)＋eq\f(k,x2)y＝f(x)＋eq\f(k,x)为减函数；含有地位同等的两个变x1，x2或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）(1)积型：如，，后面的转化同(1)说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．(2)商型：(3)和差：如；．3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）(1)；(2)；(3)．【例题选讲】[例4](1)若，则A．B．C．D．(2)若，都有成立，则a的最大值为()A．B．1C．eD．2e(3)已知，在区间内任取两实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．[例5]对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数(1)(2)(3)(4)(5)[例6](1)已知不等式，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数，若不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是()A．B．C．D．(3)对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为________．(4)已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是()A．B．C．D．(5)对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为________．(6)已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为()A．B．C．D．[例7]已知函数.(1)判断在上的单调性；(2)若，证明：．[例8](2020·新高考Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．【对点精练】1．已知函数，若对任意正数x1，x2，当x1＞x2时，都有成立，则实数m的取值范围是________．2．已知函数，，当x2＞x1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是()A．B．C．D．3．对不等式进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．4．对方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．5．对不等式进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．6．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为________．7．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是________．8．已知对任意，不等式恒成立