2021年5月江苏省常州市新桥某中学2021届高三年级下册三模考试数学试卷及解析

2021年5月江苏省常州市新桥高级中学2021届高三下学期三模考试

数学试卷

★祝考试顺利★

（含答案）

一、选择题（共8小题,每小题5分，共40分）.

1.集合力与集合8满足［JUGS则集合力与集合8的关系成立的是（）

A.A^BB.BQAC.4n［u8=4D.8no=8

解：因为mG8

所以L（O）2Cu（［⑶，

所以A?B,

故选：B.

2.某学校从4名男生'3名女生中选出2名担任招生宣讲员,则在这2名宣讲员中男、女生各

1人的概率为（）

A.B.c.4D.47

37712

解：某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，

基本事件总数〃=*21,

在这2名宣讲员中男、女生各1人包含的基本事件个数勿=C：以=12,

则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为々皿=普=4.

n217

故选：C.

3.函数尸（x）=包吗至逅邑的图象大致是（）

x2+l

A.

X

2x+sinx

1+2

xJ+l

有a-x）+尸（x）=1+型/曳+1-生/曳=2,则“X）的图像关于点（0,1）对称,排

x"+lx"+l

除G

f（-1）=吗»=-竽V0,排除世

故选：B.

22

4.双曲线三-『l（a>0）的一个焦点到渐近线的距离为（）

a24

A.—B.4C.2D.4

a2

解：双曲线的一个焦点（c,0），一条渐近线是2x-av=0,

|2c-aXQI

由点到直线距离公式,双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是：/2=2

故选：C.

5.已知单位向量Z,E满足（Z+E）i（Z-E），|Z+E1=«,则向量Z,E的夹角是（）

解：根据题意,设向量Z,E的夹角为9,

向量Z,E都是单位向量且|Z+E|则有（W+E）2=T+'b+2a,b=1+1+2cos0=3.

则cos0=/，

TT

又由owewn,贝|Je=—.

故选：B.

6,南宋数学家杨辉《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等

差数列前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数

列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前6项分别

1,6,13,24,41,66,则该数列的第7项为（）

A.91B.99C.101D.113

解:由题意得1,6,13,24,41,66的差组成数列：5,7,11,17,25…，这些数的差组成数列:

2,4,6,8,10-,

故该数列的第7项为10+25+66=101.

故选：C.

7.已知函数f3是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf（/1）

=（/1）f（x），贝l］f（芈）的值是（）

1R

A.0B.—C.1D.—

22

解：当狂7且"0时，由"（/1）=（/1）"x）,得f（x+l）=«）,

x+1X

令g（x）=9,则g（/1）=g（x），所以g（x）是周期为1的函数，

X

所以gg。,1-）=g弓）=2f（y）,

当x=［时，由*五（户1）=（/1）f（X）得，［f弓）q：f（q）,

乙乙乙乙乙

又分（x）是偶函数，所以f（■!）=£（-、），

所以f6）=0,

所以g（竽）=g©）=2f©）=0,所以f（竽）上啜g（竽）=0.

乙乙乙乙乙乙

故选：4

8.第24届冬季奥林匹克运动会,将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市

联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会,北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林

匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先

后举办奥运会、残奥会'青奥会'冬奥会'冬残奥会）国家.根据规划，国家体育场（鸟巢）

成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示,内外两

圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,若由外层椭圆长轴一端点力和短轴一端点8分别向内层椭

圆引切线4G8D（如图），且两切线斜率之积等于小，则椭圆的离心率为（）

22

解：设内层椭圆方程为号三=1（a>6>0）,因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆，

22

可设成,」^一^=1（加>1）,

（ma）2金）2

设切线的方程为y=4（/a）,

22,

与%联立得，（b?+a2kl"x2+2ma3kJx+m2a4k2b2=o,

,2i,2

由△=（）,贝-,同理k22=%（m2-：L）,

akm-1Ja

所以k12k22=4=（*）2,因此eg.

1a4164

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得。分.

9.若复数z满足（1+/）・z=5+3/（其中/是虚数单位），则（）

A.z的虚部为-/

B.z的模为

c.z的共柜复数为4-/

D.z在复平面内对应的点位于第四象限

5+3i(5+3i)(l-i)_5-5i+3i-3i2_8-2i

解:由(1+/)•z=5+37,得z：

Td(1+i)(1-i)i-i22

所以z的虚部为-1,选项力错误；

Iz|=3+(_］)2=^^,选项8正确；

z的共拆复数为4+/,选项C错误；

z在复平面内对应的点为(4,-1)位于第四象限选项。正确.

故选：BD.

10.关于圆C：4户2H■2炉一4+1=°，下列说法正确的是()

4

A.A的取值范围是4>0

B.若〃=4,过"(3,4)的直线与圆C相交所得弦长为2向其方程为12x-5y-16=0

C.若％=4,圆C与V+?=1相交

D.若4=4,勿>0,/7>0,直线mx-ny-1=0恒过圆C的圆心,则工+二28恒成立

mn

解：圆C的标准方程为:(x-^)2+(y+l)2=k，故4正确;

当〃=4时圆C的圆心(2,-1),半径为2,

对于选项B,当直线为x=3时,该直线过点M,此时截得弦长为273.故选项8不正确；

对于选项C,两圆的圆心距为也2-0产+(-1-0)2=代,

大于两圆半径之差的绝对值且小于两圆半径之和，故正确；

对于选项D,易得2而1=0,即2而〃=1,加>0,">0,

—+^-=(-(2mtn)=4+—+4-^8,

mnmnmn

当且仅当包=4工即〃=2m=4时取等号,故正确.

mn2

故选：ACD.

11.已知函数尸(x)=2(|cosx|+cosx)♦sinx,给出下列四个命题()

A.f(x)的最小正周期为n

jr

B.尸(x)的图象关于直线xf■对称

4

C.尸(x)在区间［《，子］上单调递增

D.f(x)的值域为[-2,2]

(2sin2x,cosx^O

解：:.函数分(x)=2(|cosx|+cosx)sinx=s，故分(x)的周期为2n,

0,cosx<.0

故排除A；

K

f-x)=2[|cos-x)l+cos-x)]-sinx)=2(|sinx|+sinx)

2

cosx芋f(x),

故f（x）的图象不关于直线x三对称,故排除B；

4

当亍］，2XG［-J与"（x）=2sin2x,故五（x）在区间［勺，亍］上单调

递增，故C正确；

TT

根据函数的解析式，当x=2An—-,〃6时，”外取得最小值为-2；

4

TT

当x=2An+—kGZ时，"x）取得最大值为2,故f（x）的值域为［-2,2］,故，正确，

4

故选：CD.

12.若0V8Vx2<1,则下列不等式成立的是（）

A.X2广>x/

X1Xz

B.x2e<xie

。・e-e^lnx2-lnx

D・2_J?<]nx27nx]

XpXfv-1'J

解：(1)令*x)=e_,xe(0,1)"'(x)=£.%-U.VO,则函数尸(x)在XW(0,1)

XX”

上单调递减，

■/0<%1<%2<1,.'.f(x,)>f(x2)，因此4正确，8不正确.

(2)令g(x)=e，+lnx,xR(0,1)，则函数尸(x)在xW(0,1)上单调递增，

*/0<xl<x2<1,f(%,)<f(x2)，因此〃正确，。不正确.

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.若(l+2x)2°以=a0+a]X+…+&202]乂2"1(x€R),贝…的值为Z"?1-1

解：令x=0,则为=1,

92021

国如入门X、2021x,,x,12,,a20212021

因为（1+2•万）=%+&•5+%•丁…+加广西j-ao+T户百户…+西丁*,

所以令x=1,贝IJ22°”=%+9+券一+?绊，

222<u/i

202,

所以…第^=2由-a0=2-1.

故答案为：2*1.

14.若函数尸（X）满足5（n+x）+尸（II-X）=0且最大值为2,请写出一个满足条件的函数

尸（X）的解析式：f（x）=2sinx.

解：当函数尸（x）=2sinx时满足大（n+x）+尸（n-x）=0且最大值为2,

故答案为：f（x）=2sinx.

15.已知点48,C为球。的球面上的三点，且N仍”60°,8c*=3,若球0的表面积为48n,则

点。到平面486*的距离为3.

解：球。的表面积S=4n/?=48n,解得/?=2y,

在△4861中，点4B,C为球0的球面上的三点，且N&IU60°,BX3,

外接圆的半径为：r,2r=.3=273.r=M，

sinbO

球心到平面力8。的距离^=7（2V3）2-（V3）2=3-，

故答案为：3.

16.已知数列｛，｝满足ae=W-l（nEN*）,d=1.若从四个条件：①力=唱；②3=2n；

i+an2

③。=3；④8=口中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列｛a』的通项为表示为Asin

O4

（①加中）+B（3>0,|（t）|V）的形式，则an=__^^sin（n兀-《"）寸或

V3/兀、1

-^-sin（nK-k^-）-k^_.

解：数列｛劣｝满足布=^jl（n€N*）,句=1.

当"=1时,解得a2二）"，

当"=2时,解得a=1,

当/7=3时,解得a4二5，

故数列的周期为2,

故T笔=2,解得3=TT,故②不能作为条件，

设a=Asin(3"Q)+8,

所以a=4sin(TI+Q)+8=1,①，

a2=Asin(2n+4))+Q-②,

①+②得B=^~,故④不能作为条件.

4

当①4=W■时,an=^sin(n冗+。)+:，

JT

由于d=1,所以0=--.

0

故an=^sin(n冗

当③。作为条件时,由于4=1,所以A=_噂,

oN

故an=-^sin(n冗

故答案为：^"sin(n冗-母)［或-^'sin(n兀+

四'解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①COSQT；②加C=2«；③a=^，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使问

D

题中的三角形存在,并求出△A?。的面积.

问题：在XABC中，a,b,c是角4B,C所对的边,已知asina«c・cos/,补充的条件是___

和—.

解：,「asin61=yc・cos4,由正弦定理可得：si”sin6'=J§sinOcos/,sinGAO,

冗

.•・sin/4=y・cos4・・.tan/4=y,彳£(0,n)，角星得/4=2~.

若选择①cos8=•，则cos8V-!，

b2

:(冬，TT)，与三角形内角和定理矛盾，因此不能选择①，只能选择②③.

O

由余弦定理可得：6=b2+c2-26ccos三,与加c=2、R联立,

O

解得：bc=2.

.•.△腕的面积S=^X2Xsin3=返.

232

18.如图,在四棱锥彳一86绯中，BC//DE,BELBC,AB=BC=AC=2DE=2BE.

(1)证明：ADI.BC.

(2)若平面及QE，平面ABC,经过4。的平面a将四棱锥4-861宏分成左、右两部分的体

积之比为1：2,求平面a与平面4?C所成锐二面角的余弦值.

【解答】Q)证明：取8c的中点0,连接AO,DO.

因为BO=DE,BO//DE,所以8。优为平行四边形，

又思所以DOLBC.

因为AB=BC=AC,所以AOI.BC,

又40ADgQ所以BC1.平面ADO.

因为4t平面ADO,所以ADA.BC.

(2)解：因为平面■平面ABC、平面平面ABC=BC,

所以Z?0-L平面ABC.

因为Sxcoo：£联=1：2,所以平面4?0即为平面a.

以0为坐标原点，以),08,如所在直线分别为x轴、p轴'z轴建立如图所示的空间直角坐

标系0-xyz,

不妨设心=2,则0(0,0,0),A(V3»0,0)妨(0,1,0),C(0,-1,0),D(0,0,1),

所以正=(-e，-1,0),CD=(O,1,1).

设平面彳。C的法向量为［=(x,y,z),

则AC-n—V3x-y-0^令乂=则了=_历zRl，

CDpn=y+z=0

所以浸(i,-a,M).

又平面a的一个法向量为5=(0,1,0).

设平面a与平面4?C所成的角（锐角）为6,

则cos8=|cosG，蛇77尊

雪|m|斗|n|。1XV77

所以平面a与平面4?C所成锐二面角的余弦值为早.

a=a>(n€N*)

19.若数列｛d｝及同满足n+1n11n且a1=1,0=6.

bn+l=3an+bn+3>(n£N*),

(1)证明：b=3an+3(〃GN*)；

（2）求数列⑵｝和｛力｝的通项公式.

【解答】(1)证明：a^i=an《bn，b"i=3a〃+b〃+3,

=3的+3,

当且〃GN*时,有b=3an+3,

又a,=1,4=6,满足。=34+3,

..•对任意〃GN*,有60=3a0+3；

(2)解：将以=3而+3,2=3a〃+3代入b^=3a„+bn+3,

得a"i=2a〃+1,即a.i+1=2(a„+1),

又句+1=2HO,

:•数列｛4+1｝是以2为首项，以2为公比的等比数列,

n

an+l=2,即an=2n-l.

n

bn=3an+3=3«2.

20.一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展,几乎所有的重大科技进展都与数学息息

相关，我国第五代通讯技术（5G）的进步就是源于数学算法的优化.华为公司所研发的

S/〃g/e/M〃算法在部署5G基站时可以把原来的4G、3G基站利用起来以节省开支,华为创始

人任正非将之归功于“数学的力量”，近年来，我国加大5G基站建设力度，基站已覆盖所有

地级市,并逐步延伸到乡村.

(1)现抽样调查英市所轴的A地和8地5G基站覆盖情况,各取100个村,调查情况如表:

已覆盖未覆盖

4地2080

8地2575

视样本的频率为总体的概率，假设从A地和8地所有村中各随机抽取2个村,求这4个村中/

地5G已覆盖的村比8地多的概率;

(2)该市2020年已建成的5G基站数y与月份x的数据如表:

x123456789101112

y283340428547701905115114231721210926013381

探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响,5G基站建设进度比较慢,随着疫情得到有

效控制,5G基站建设进度越来越快,根据散点图分析，已建成的5G基站数呈现先慢后快的非

线性变化趋势,采用非线性回归模型了=&//拟合比较合理,请结合参考数据,求5G基站数y

关于月份x的回归方程.(卜的值精确到0.01).

b

附：设"=/ny,贝I]Ui=/ny„(/=1,2.­•,12),y^l299.17%

12_12_12__

6.88,£(x「x)=143,£(x「x)(y「y)=3723&£(xrx)(4-口)=32.42,

i=li=li=l

对于样本(打匕),(/=1,2,-,/7)的线性回归方程y=bx+a有

n__

-£(x-x)(y--y)

Xd1AA

,i=l______________——

n__a=y-bx'

02

£(Xi-x)

i=l

解：(1)用样本估计总体，抽到/地5G覆盖的村概率为卜抽至IJ8地5G覆盖的村概率为1,

/地抽到的2个村中5G基站覆盖的村个数为％

则才满足二项分布B(2,看),P(X=i)=C；(/)《产；/=0,1,2；

8地抽到的2个村中5G基站覆盖的村个数为匕

从A地和8地各随机抽取2个村,这4个村中/地5G覆盖的村比8地5G覆盖的村多的概率

为：

p=p(/=Dp(r=o)+p(x=2)p(r=o)+p(x=2)。(丫=1)

=以偿)管)/)2+/)2/)2+，2或(_1)号)鼎.

(2)由指数模型1,bx,设"=/",则"=/">6x,则"与x是线性相关关系.

y-ae

2

.=1+2+3：+12=6.5,88,\(x：L-x)(ux-u)^32.42,£(Xi-x)=143.

iZi=li=l

12__

-£(x「x)(u「u)a

b^^-TT；------------给上?、0.23,1na^~「=6.88-0.23X6.5%5.39,

12__143u-bx

£(x「x)2

i=l

：.u=5.39+0.23x,BPy=e539*023x.

21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为6点(mJ)在抛物线C上，该点到原点的距离

与到C的准线的距离相等.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过焦点厂的直线/与抛物线C交于A,8两点,且与以焦点厂为圆心2为半径的圆交于

M,〃两点，点B,N在y轴右侧.

①证明：当直线/与x轴不平行时，IM|4BN\；

②过点A,8分别作抛物线C的切线/„/2,/,与/?相交于点D,求△"I"与△Z?8/V的面积之积的

取值范围.

fm2=2p

解：(1)由题意可得，/——-p,解得夕=4,

[Vl+m2=l+1-

所以抛物线C的方程为寸=8匕

(2)由(1)知，圆尸方程为：/+(y-2)2=1,

由已知可设/：且彳(M,乂)，8(%,必)，

1y=kx+2,,

由1<得8Ax-16=0,

xJ9=8y

=2222

设。(跖必)是抛物线C上任一点,则|QFIi/xo+(yo-2)=^8y0+(y0-2)(y0+2)-

故抛物线与圆相离.

①证明：当直线/与X轴不平行时,有件0,

方法一：由抛物线定义知，|41|=%+2,|8尸|=%+2.

所以I|M|-|8川1=1(1/1/1-2)-(|明-2)|=||明-|明|=|必-%|=|(代+2)

2

-(kx?+2)|=|k||xl-x2\=\^\^(X1+X2)-4X1X2=

Iki-164k2-4X(-X)=8|k|7k2+l)。，

所以IM|丰|则

方法二：因为4M、N、8四点共线，限〃中点为尸(0,2),

若=则必有48中点与M、〃中点重合,即X,+X2=Q,

因为x、+x2=8k*0,所以|M|于18M.

②由(1)知抛物线方程为y*x2.所以/4x.

o4

所以过点A的切线1］：y^x!=~'x।(x-x।即尸装］x3x；.

同理可得,过点8的切线为©必二小

44oL

由A>4方程联立，得*2丫一乂lynVxjxzexgxi，

解之,得/2=-2,

又得白（x2-x［）x==0,所以Xn=37A^=4k.D（4k,-2）至lj/：y=kx^2的距离

4乙，N乙，口2

」|4kXk-（-2）+2|

=