均值不等式及不等式综合-2025年高考数学一轮复习

专题03均值不等式及不等式综合

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目录

题型一：公式直接用..............................................................................1

题型二：公式成立条件............................................................................2

题型三：对勾型凑配..............................................................................3

题型四：“1”的代换：基础代换型.................................................................4

题型五：“1”的代换：有和有积无常数型...........................................................4

题型六：“1”的代换：有和有积有常数型...........................................................5

题型七：分母构造型：分母和定无条件型............................................................5

题型八：分母构造型：分离型型....................................................................6

题型九：分母构造型：一个分母构造型..............................................................7

题型十：分母构造型：两个分母构造型..............................................................7

题型十一：分离常数构造型........................................................................8

题型十二：换元构造型...........................................................................9

题型十三：分母拆解凑配型........................................................................9

题型十四：万能“K”型..........................................................................10

题型十五：均值不等式应用比大小.................................................................11

题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型.........................................................12

题型十七：因式分解型...........................................................................12

题型十八：三元型不等式.........................................................................13

更突围・檐;住蝗分

题型一：公式直接用

;指I点I迷I津

I

基本不等式：

：(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>Q；

：(2)(2)等号成立的条件：当且仅当a=b.

：(3)基本不等式的变形：

；①常用于求和的最小值；

：②“6W(空)2,常用于求积的最大值；

I

1?-(江三葡三元最而诵芍：WaVb丽茬赢面植运蔡天而莫7_-)

A.gB.a2+b2C.aD.2ab

2.(22-23高三•全国裸后作业)若a>0力>。，则下列不等式中不成立的是()

A.a2+b2>2abB.a+b>2y[ab

C.a2+b2>^(a+b)2

D.

aba—b

3.（22-23高一下•黑龙江佳木斯•开学考试）设x>0,y>0,且孙=9,则％+丁的最小值为（）

A.18B.9C.6D.3

4.（23-24高一下•河南•开学考试）设。>1涉<0,则（）

.a1+b2__77

A.--------..2B.a+b>ab

ab

C.ab<—lD.b<ab

5.（2024•重庆•模拟预测）设羽y>0且尤+2y=l,则logz^+log22y的最大值为

题型二：公式成立条件

指I点I迷I津

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）"一正二定三相等""一正"就是各项必须为正数；

（2）"二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构

成积的因式的和转化成定值；

（3）"三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是

所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

1.（23-24高三•辽宁本溪•开学考试）下列函数中，最小值为2的是（）

2XX

A.y=x+—B.y=e2+e-2

1兀）X2+3

C.y-sinxH--------0<x<—D.y=~.

sinxl2）JX2+2

2.（23-24高三•安徽六安•开学考试）设。>0,b>0,贝〃等26”是"疝»6”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（23-24高三•西藏林芝•期中）下列命题中正确的是（）

A.若a>0,0>0,且a+b=16,则ah<64

4I4

B.右awO,则〃+—22j〃­一二4

a\a

C.若。,b£R,则必之丝土丘

2

D.对任意+均成立.

4.（多选）（23-24高三•四川眉山•期中）下列结论正确的是（）

+2

A.若％<0,—«—2B.,则/'2

xVx2+1

C.贝D.若々>1,则+—

x

5.（多选）（23-24高三•重庆南岸•期中）下列说法正确的是（）

4B函数”记的最小值是2

A.函数y=%+-（%<0）的最大值是T

x

C.函数>=尤+」^•（尤>一2）的最小值是6D.若x+y=4,则f+y2的最小值是8

6.（多选）（23-24高三•贵州贵阳•阶段练习）下列命题中正确的是（）

+b

A.当a,Z?eR时，ab<0

2

B.若x>0,则函数〃无）=尤?+：的最小值等于4石

c.若2，+2y=1,则x+y的取值范围是

।--------------------------Q

D.+（―6WaW3）的最大值是万

题型三：对勾型凑配

指I点I迷I津

1b

1.对勾型结构：t+-,at+-

tt

容易出问题的地方，在于能否“取等”汝口sin。+二一，其中。锐角，ylx2+5+-fJ=

sin。A/%2+5

2.对勾添加常数型

1。1。

对于形如cx+d+---------,则把cr+d转化为分母的线性关系：-（ax+b）+-----+d-一可消去。不必记忆，直接

ax+baax+ba

根据结构转化

2

1.（2023・湖南岳阳•模拟预测）已知函数〃x）=3-X——，则当x<0时，“X）有（）

X

A.最大值3+2忘B.最小值3+2忘

C.最大值3-2近D.最小值3-20

2.（23-24高三•陕西西安•阶段练习）函数>=/+*三（好>5）的最小值为（）

A.2B.5C.6D.7

3.（21-22高二上•陕西咸阳•期中）已知函数〃x）=4x-2+/^的定义域为18,：｝则的最大值

为（）

A.5B.-5C.1D.-1

2

4.（23-24高三•吉林•阶段练习）已知x>3,贝l|y=-^+2*的最小值是（）

x-3

A.6B.8C.10D.12

5.（23-24高三广东佛山•模拟）函数〃同=尤+」三，x>l的最小值为（）

X—1

A.1B.2C.3D.5

题型四：“1”的代换：基础代换型

指I点I迷I津

“1”的代换

.利用常数Lx加=1代换法。多称之为“1”的代换

m

1.（2022高三上•全国・专题练习）若。，6eR,仍>0且。+6=2,则的最小值为（）

ab

A.2B.3C.4D.5

2.（23-24高三•贵州黔南•阶段练习）已知尤,y>0且x+4y=l,则工+工的最小值为（）

xy

A.4夜B.8C.9D.10

3.（23-24高三•河南南阳•阶段练习）若。>0,6>0,。+3b=1,则的工+二最小值是（）

a3b

A.2B.4C.3D.8

21

4.（22-23高一下•湖南邵阳•阶段练习）设〃>0,匕>0,若2a+b=2,则一+7的最小值为（）

ab

21

5.（22-23高三•内蒙古呼和浩特•期中）已知x,y为正实数，且—+—=2,则％+2）的最小值是（）

A.2B.4C.8D.16

题型五：“1”的代换：有和有积无常数型

指I点I迷I津

有和有积无常数

形如+=,可以通过同除ab,化为g+4=t构造"1”的代换求解

1.（23-24高三上•江苏连云港•阶段练习）若a>0,b>0,且a+6=",则2a+b的最小值为（）

A.3+2夜B.2+2&C.6D.3-2&

2.（23-24高二上•陕西西安•期中）已知。>0,6>0且2"=a+2b,贝!|a+86的最小值为（）

27

A.45/2B.10C.9D.

3.（2022•四川乐山•一模）已知尤>0,y>0,且4x+2，一孙=0,则2x+y的最小值为（）

A.16B.8+4点C.12D.6+4及

4.（21-22高三•山西太原•阶段练习）已知a>0,b>0,3a+b=2ab,则Q+〃的最小值为（）

A.2B.3C.2+,\/2D.2+-\/3

5.（23-24高一下•广西•开学考试）已知a>0,b>0,S.a+b=ab,则2必-a+7Z?的最小值是（）

A.6B.9C.16D.19

题型六：“1”的代换：有和有积有常数型

指I点I迷I津

有和有积有常数

形如（M+〃y）+g='求7"+改型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”

的系数系数，如下：

/、/、〃/、/、/xp（mx）+（ny）

t=（rnx+ny）+pxy=（mx+ny）---（nvc）（ny）<\mx+ny）----（z---------）x2

mnmn2

1.（23-24高三产西渡双）巨而*/+/=而+4,贝!ja+匕前猿改宿为（）

A.2B.4C.8D.2V2

2.（23-24高三・甘肃・模拟）若正数〃，力满足刈=々+）+3,则次?的取值范围是（）

A.(-co,6]B.[6,9]

C.[9,+a)D.[9,12]

3.（23-24高三•江苏•模拟）已知正实数〃，b满足"+〃+/?=8,则a+〃的最小值是（）

A.8B.6C.4D.2

4.（23-24高三•安徽阜阳•模拟）已知正实数刘V满足2x+y+6=w，记冲的最小值为〃；若帆几>0且

1Q

满足相+〃=1,记一+―的最小值为b.则Q+〃的值为（）

mn

A.30B.32C.34D.36

5.（23-24高三,福建莆田,模拟）已知％>2,>>1,xy=x+2y+2,则％+y的最小值是（）

A.1B.4C.7D.3+A/17

题型七：分母构造型：分母和定无条件型

指I点I迷I津

无条件分母和定型

;二（，）+J（x）型「满足

mf^x)+ng^x)=t(定值)，则可以构造

1

：…（x）一"/⑺+必可^_1

a+/(x)+

9!的最小值为（）

1.（2020高三・全国•专题练习）一^+-

acosa

A.2B.16C.8D.12

一14

2.（21-22高三・福建莆田•期末）当Ov犬vl时，-+--的最小值为（）

X1-x

A.0B.9C.6D.10

12

3.（2024•山西临汾•三模）若Ovxvl,则一+；的最小值是（）

x1-x

A.1B.4C.2+2垃D.3+20

1?5

4.⑵-23高三江苏南通•模拟）函数“正痴+"（-1.）的最小值是（）

7896

A.-B.—C.—D.一

6785

132

5.（23-24高三•四川成都•期中）若0<%<不，贝！]丫=<+丁丁的最小值为（）

32xl-3x

B.6+4后C.9+76D.不

A.12

题型八：分母构造型：分离型型

指I点I迷I津

对勾分离常数型（换元型）

“C型，可以通过换元f+〃分离降暴，转化为对勾型

mx+n

L_______________________________________________________________________________________________-

1.（21-22高三•辽宁沈阳•模拟）若不等式号产>。在区间[0,1]上有解，则实数。的取值范围是（）

A.ci<A/2—B.avlC.ci<.—D.a<2A/2—

232

2.（23-24高三•海南海口•阶段练习）若函数/（尤）=立空±£在》€[0,内）是增函数，则实数。的取值范围

X+1

是（）

A.（-8,2]B.[0,1]

C.D.[1,2]

3.（2020高三•河北石家庄•阶段练习）已知x<3,则y=的最大值是（）

x—3

A.-1B.-2C.2D.7

.丫2―y।1

4.（20-21高三•辽宁大连・模拟）24"是"关于-的不等式x丘（%>1）有解"的（）

X—1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（20-21高三・浙江绍兴•期中）若,贝蜂=上^^—有（）

2尤-2

A.最大值-IB.最小值-1C.最大值1D.最小值1

题型九：分母构造型：一个分母构造型

指I点I迷I津

单分母

形如a+6=t,求—+1■型，则可以凑配（°+加）+伍）=/+〃2,再利用“1”的代换来求解。

a+mb

其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。

1.（23-24高三•浙江温州•模拟）已知非负实数羽》满足％+y=l,则一+一的最小值为（）

x1+y

794

A.—B.2C.—D.一

353

2.（23-24局一下,福建南平,期中）已知a>0,b>0,2a+b-3=0贝!J.+的取小值为（)

f2〃+17b

33

A.2B.1C.-D.-

24

7I

3.（23-24高三下•江苏扬州・开学考试）已知实数。>1,b>0,满足a+6=3,则义+1的最小值为（

a—1b

八3+2^D3+20r3+4003+4四

4224

i4

4.（23-24IWJ二,浙江,模拟）已知b>0,且。+工=2,则的最小值为（）

ba-1

A.4B.6C.8D.9

44

5.（23-24IWJ三•广东肇庆•模拟）已知a>0,b>l,a+---=1,则—的最小值为（）

b-\a

A.15B.16C.17D.18

题型十：分母构造型：两个分母构造型

指I点I迷I津

双分母

形如a+6=f,求—1—+」—型，则可以凑配（a+M+0+〃）=f+〃z+〃，再利用“1”的代换来求解。

a+mb+n

其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。

L⑵24•全国・模拟预测）设正实数“’6满足a”=2‘则£+为的最小值为（）

345

A2B.一C.一D.

・3456

2.（23-24高三•浙江•期中）已知且2a+Z?=3,则---+——的最小值为（）

2a-12b-1

9i

A.1B.-C.9D.-

22

41

3.（23-24高三•江苏徐州•阶段练习）已知正实数满足--+-=1,不等式相+恒成立，则实

a+bb+l

数机的取值范围是（）

A.m<6B.m<5C.m<9D.m<8

4.（23-24高三上•江苏南京•阶段练习）已知非负实数X,y满足一一+丁二=1,则x+y的最小值为（）

3X+y2y+2

5.（23-24高三・湖北•阶段练习）若x>0,y>0,且一二则3x+y的最小值为（）

x+1x+2y

A.3B.275C.；+逐D.4+2君

题型十一：分离常数构造型

指I点I迷I津

对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化

为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解

cx+dcx+dccx+d

43x-7

1.（23-24图二•广东佛山•阶段练习）已知正数x,丁满足x+y-2,贝IJ+/的最小值是（）

x+23y+4

1113527

A.—B.—C.—D.—

1616816

（高三上•广东东莞•期中）已知为正实数，且则生的最小值为（）

2.23-24a,b0+»=1,±±1+±1

ab

A.1+25/2B.2+2V2C.3+2V2D.4+2A/2

r2+4y2+1

3.（23-24高三•全国,期末）已知尤>0,>>0,且x+y=4,则^—+—的最小值为（）

xy

725

A.4B.-C.——D.5

44

X22

4.（23-24高三•湖北武汉,模拟）已知%且无+>=1,则一—v的最小值为（）

x+1y+2

111

A.-B.-C.1D.一

423

5.（22-23高一下•云南•阶段练习）已知〃>一2,b>0,a+2b=3,则即+g的最小值为（）

a+2b

A.4B.6C.8D.10

题型十二：换元构造型

指I点I迷I津

若已知=r（定值），一^+77'型，则可通过线性换元，令[〜产’?，反解出x,y

g（x,y）h[x,y）\b=h[x,y）

代入条件等式y），中，换元为简单的条件不等式

।___________________________________________________________________________________________________

1.（23-24高三上•四川巴中•开学考试）已知x>y>0且4x+3y=l,则:的最小值为（）

2x—yx+2y

A.10B.9C.8D.7

21

2.（23-24高三上•山东•阶段练习）已知实数x,y满足了>>>0,且3x-y=2,则——+——的最小值为

x+yx-y

（）

A.3B.4C.5D.6

38

3.（21-22高三•河南洛阳•阶段练习）已知正数x,3满足（x+2y）y+（3x+2y）Y=2,则孙的最小值是（）

381

4.（22-23高三上•江西南昌•阶段练习）已知正数工，丁满足白乔+西西1=1'则孙的最小值是（）

5845

A.-B.一C.一D.一

4332

21

（2022•安徽合肥・模拟预测）已知正数X,y满足+-=1,则x+y的最小值（

x+3y3x+y

A3+203+6_3+2五D3+及

A.----------RC.----------

4488

题型十三：分母拆解凑配型

指I点I迷I津

凑配拆解型

形如a+b=r,求—型，则可以凑配（"+M+（bx+〃）=rS+b）,再利用“1”的代换来求解。

ax+mbx+n

其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配

1.（22-23高三上•河北保定•阶段练习）不等式/一4x+/,0的解集为口嬴后，其中0（根＜4,贝！J

11

----------------1---------------的最小值为（

10a+2b4b-4a

1111

A.-B.—C.-D.—

2468

549

2.（22-23高三•河北承德•期末）已知正实数a/满足。+6==,则一十+「「的最小值为（）

3a+2b2a+b

A.6B.5C.12D.10

3.（19-20高三上•陕西榆林•阶段练习）已知＞=1嗝，-17）的值域为［私+划，当正数a,b满足

91

-——-+——不~=初时，则7a+4b的最小值为（）

3a+ba+2b

A2R1r5+2「

44

4.（2024•四川成都•模拟预测）若是正实数，且+=则。+6的最小值为（）

3a+b2a+4b

42

A.-B.-C.1D.2

53

1323

5.（23-24高三下•河北•开学考试）已知。，b均为正实数，且满足一+1=2,则三一+7r1的最小值为

ab2a-l2b-3

（）

A.2B.2A/2C.2A/3D.276

题型十四：万能“K”型

指I点I迷I津

一般情况下的“万能K法”

设K法的三个步骤：

团、问谁设谁：求谁，谁就是K；

回、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；

回、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），20确定最值。

求谁设谁，构造方程用均值

1.（22-23高三上•江苏南京•模拟）已知正实数x,V满足x+'+4y+'=10,则x+4y的最大值为（）

尤y

B.1C.2D.9

1Q

2.（2022・全国•高一课时练习）已知〃/为正实数，且〃+〃=6+—+丁，则，+人的最小值为（）

ab

A.6B.8C.9D.12

14

3.（2022秋•四川成都•高一成都外国语学校校考期中）已知正数〃/满足〃+b+—+:=16,贝g+〃的最大值

ab

是.

14

4.（21-22高三上•湖北襄阳•期中）若正数无，丁满足2x+2y+—+—=9,则工+丁的最小值是（）

xy

153

A.-B.-C.-D.2

242

题型十五：均值不等式应用比大小

r旨।点।迷।津

几个重要不等式

；(1)a2+b2>_2ab(a,beR)；

[(2)ny[ab(a,匕£R)；

(3)—l—22(a,b同号)；

ba

\(4)e审]_或而(a,6eR)；

：(5)尸叶2箍2口(a，beR,a,6>0)

L___2__?___3________a二_______________

1.(23-24高三下.全国•阶段练习)已知。=1,6=ln/=(log67-l)ln5,则()

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

2.（2023・河南洛阳•一模）下列结论正确的是（)

2U232023

log2023<log2022

A-1°§20212022<log20222023<^22B.20222021

20232023

C.^<log20222023<log20212022D.^<log20212022<log20222023

3.(22-23高三・江苏常州・模拟)若a>方>7>1且a”#?,设a=bg/,b=\ogpa,c=logzj3,IJllJ()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

4.(2022•全国•模拟预测)已知2