专题10 极值点偏移问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计 (人教A版2019)

专题10极值点偏移问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计(人教A版2019)授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图针对高中数学选择性必修第二册人教A版教材，本专题旨在帮助学生深入理解并掌握极值点偏移问题的解决方法。结合学生所在年级的知识深度，通过讲解与例题分析，使学生能够运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学思维能力及解题技巧。本教学设计紧密联系课本内容，注重实用性，旨在帮助学生更好地掌握极值点偏移问题的核心概念和解题策略。核心素养目标培养学生逻辑思维与数学抽象能力，通过分析极值点偏移问题，提升学生运用函数性质解决问题的能力。发展学生的数学建模素养，使其能够将实际问题转化为数学模型，并运用逻辑推理和数学运算寻找最优解。同时，培养学生独立思考、解决问题的能力，以及在复杂情境中作出决策的素养。教学难点与重点1.教学重点

①极值点偏移的基本概念和性质的理解与应用。

②利用导数研究函数极值点偏移的方法和技巧。

③结合具体函数模型，探讨极值点偏移的规律。

2.教学难点

①如何通过导数判断极值点偏移的方向和位置。

②对复杂函数极值点偏移问题的分析，尤其是涉及高阶导数的情况。

③将实际问题抽象为函数模型，并运用极值点偏移的知识解决实际问题。

④在多变量函数中，处理极值点偏移问题，特别是涉及约束条件的情况。教学资源1.软硬件资源：计算机、投影仪、交互式白板、数学软件（如GeoGebra）。

2.课程平台：学校内部网络教学平台、在线学习管理系统。

3.信息化资源：数学教学视频、在线练习题库、数字化教材。

4.教学手段：小组讨论、问题驱动、案例教学、实时反馈与评价系统。教学流程1.导入新课（5分钟）

详细内容：通过回顾上一节课学习的函数极值概念，引导学生思考极值点在函数图像上的位置，并提问：“如果极值点发生了偏移，会是怎样的情况？”激发学生的好奇心和探索欲。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

①通过具体函数例子引入极值点偏移的概念，如函数f(x)=(x-2)^2在x=2处取得极小值，探讨当函数形式改变时，极值点的偏移情况。

②介绍利用导数判断极值点偏移的方法，如通过二阶导数符号变化来确定极值点的偏移方向。

③分析极值点偏移的规律，如单调性变化对极值点偏移的影响，并通过具体例题演示如何应用这些规律解决问题。

3.实践活动（15分钟）

详细内容：

①让学生独立完成几个关于极值点偏移的练习题，如求函数f(x)=x^3-3x+1的极值点，并判断其偏移情况。

②分组讨论，每组选择一个复杂的函数模型，分析其极值点偏移的特点，并尝试找出极值点。

③利用数学软件（如GeoGebra）模拟极值点偏移的过程，观察函数图像的变化，加深对极值点偏移的理解。

4.学生小组讨论（5分钟）

详细内容举例回答：

①讨论极值点偏移与函数导数的关系，举例说明如何通过导数的符号变化判断极值点的偏移方向。

②分析不同类型的函数（如多项式函数、指数函数、对数函数）极值点偏移的特点，并举例说明。

③探讨在实际问题中，如何将问题抽象为函数模型，并应用极值点偏移的知识解决实际问题。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：回顾本节课学习的极值点偏移的概念、判断方法和规律，通过板书总结极值点偏移的关键点，强调在解决实际问题时要注意函数的单调性和导数符号变化。同时，指出学生在练习中可能遇到的问题，并给出解决建议。学生学习效果学生在完成本节课的学习后，应取得以下效果：

1.理解并掌握了极值点偏移的基本概念，能够识别和描述函数极值点的偏移现象。

2.学会了利用导数来分析和判断函数极值点的偏移情况，能够通过一阶导数和二阶导数的符号变化来确定极值点的偏移方向和位置。

3.能够将实际问题转化为函数模型，并运用极值点偏移的知识来解决问题，例如在物理学中的最优化问题、经济学中的成本最小化问题等。

4.通过小组讨论和实践活动，提高了与同学之间的合作能力，学会了如何在团队中交流想法和分享解决问题的策略。

5.在解决极值点偏移相关问题时，能够独立思考，形成自己的解题思路和方法，增强了数学思维能力。

6.通过对复杂函数模型的分析，提高了自己的数学抽象能力和逻辑推理能力，能够更好地理解函数的性质和变化规律。

7.能够在教师的引导下，自主探究极值点偏移的规律，培养了自主学习和探究学习的能力。

8.在总结回顾环节，能够准确复述极值点偏移的关键知识点，并能够将这些知识点应用于新的问题情境中。

9.通过对极值点偏移问题的研究，学生对数学的应用价值有了更深刻的认识，增强了学习数学的兴趣和动力。

10.学生在解决实际问题时，能够更加注重函数的单调性和导数的应用，提高了问题解决的实际操作能力。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在教学中引入了实际案例，如物理学中的运动问题、经济学中的成本分析等，使得学生能够将抽象的数学概念与实际应用相结合，提高学习的实用性和趣味性。

2.利用数学软件GeoGebra进行动态演示，让学生直观地观察到函数极值点的偏移过程，增强了学生的直观感知和数学直观思维。

（二）存在主要问题

1.在教学组织上，课堂互动环节的时间分配不够合理，导致部分学生参与度不高，未能充分调动所有学生的学习积极性。

2.教学评价方面，缺乏形成性评价，未能及时反馈学生对知识点的掌握情况，导致学生在学习过程中存在盲点。

3.教学内容与实际生活的联系不够紧密，学生在解决实际问题时仍然感到困难，缺乏将理论知识转化为实际应用的能力。

（三）改进措施

1.优化课堂互动环节，通过小组讨论、提问回答等方式，确保每个学生都有机会参与到课堂讨论中来，提高学生的参与度和积极性。

2.引入形成性评价机制，定期进行小测验或练习，及时了解学生对知识点的掌握情况，并提供针对性的辅导和反馈。

3.加强教学内容与实际生活的联系，通过设计更多与实际生活相关的案例和问题，帮助学生将理论知识应用到实际情境中，提高学生的实践能力。同时，也可以邀请行业专家进行讲座，让学生了解数学知识在实际工作中的应用。课后作业1.题目：求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1的极值点，并分析极值点偏移情况。

答案：求导得f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0得x=1和x=3。计算二阶导数f''(x)=6x-12，f''(1)=-6<0，f''(3)=6>0，因此x=1是极大值点，x=3是极小值点。极值点从x=1向x=3偏移。

2.题目：已知函数f(x)=e^x-x，求f(x)的单调区间及极值点。

答案：求导得f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0得x=0。计算二阶导数f''(x)=e^x，f''(0)=1>0，因此x=0是极小值点。f(x)在x<0时单调递减，在x>0时单调递增。

3.题目：函数f(x)=sin(x)+x在哪个区间内取得极值？并判断极值点的偏移。

答案：求导得f'(x)=cos(x)+1，由于cos(x)的值域为[-1,1]，f'(x)恒大于0，因此f(x)在实数范围内单调递增，没有极值点。

4.题目：分析函数f(x)=x^2-4x+4的极值点偏移情况，并求出极值。

答案：求导得f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2。计算二阶导数f''(x)=2，f''(2)=2>0，因此x=2是极小值点。由于f(x)是开口向上的抛物线，极小值点x=2处也是极值点偏移的终点，极小值为f(2)=0。

5.题目：给定函数f(x)=(x-1)^2(x+2)，求f(x)的极值点和极值，并分析极值点偏移。

答案：求导得f'(x)=2(x-1)(x+2)+(x-1)^2，化简得f'(x)=3x^2