2021年辽宁省本溪某中学高考数学四模试卷

2021年辽宁省本溪高级中学高考数学四模试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合4={-1,0,1},B={x,/},若AnB=B,则实数》=（）

A.-1B.1C.±1D.0或±1

2.（5分）盒子中有4个球，其中3个白球，1个红球，现在从盒中随机无放回地取球，每

次取出一个，直到取出红球为止.则取出3个球停止的概率为（）

A.AB.AC.AD.JL

3468

3.（5分）2021年2月13日，中国诗词大会第六季比赛如约而至.在某场比赛中，有甲、

乙、丙、丁、戊五位选手，有机会争夺该场擂主.观看比赛的三名诗词爱好者，对本场

比赛的描主进行了如下猜测.小张：冠军是甲或丙：小陈：冠军一定不是乙和丙：小亮:

冠军是丁或戊.比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么擂主是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.（5分）已知圆锥曲线C：（GR,f^O,M-1）上满足|OM|=1的点M共

-AL+X1=1f

t+1t

有4个，则此圆锥曲线C的离心率在下面的四个选项中不可能取的值为（）

A.V3B.V2C.返D.返

22

5.（5分）在三角形ABC中,AD=2DB>AE=2EC,P为线段OE上的动点,若强=/藤+加菽,

入，pGR,则l+m=（）

A.1B.2C.2D.2

32

（5分）虚数单位，的平方根是（）

B.-返-返i

A.-1

22__

C.返+返，D.返+返，•或-返-返，

222222

（5分）一条倾斜角为60°的直线与抛物线』=4x交于不同的A,8两点，设弦AB的中

点为C.过C作平行于x轴的直线交抛物线于点，则以。为切点的抛物线的切线的斜

率为（）

A.AB.25/3c.V3

3。・亨

8.（5分）已知尤（1,2）,a=2x2,b=（2X）2,c=22x,则小b,。的大小关系为（)

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD,c>a>b

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

3x-x2,0<x<2

9.（5分）已知函数-x）是定义在R上的偶函数，且当x>0时,f（x）={m（x-2），

,x2

x

znER,那么函数g（x）=fCx）-2在定义域内的零点个数可能是（）

A.2B.4C.6D.8

10.（5分）如图，圆心在坐标原点0、半径为1的半圆上有一动点尸，A,5是半圆与工轴

的两个交点，过P作直线垂直于直线AB,M为垂足.设NAOP=a,则下列结论正确的

A.若ae(0,-i—),则sina+cosa>l

2

B.若a€[0,-2L),则a>sina

2

C.若ae（0,n）,则|丽|+|Ml22|西|

D.若a@0,Tt],则附|+|PB|的最大值为2

11.（5分）如图，正方体ABC。-AiBiCDi的棱长为a,点M,N,P分别是平面AOQMi、

平面CDDiCi、平面ABCD的中心，点Q是线段AiCi上的动点，则下列结论正确的是

B.。点到平面MVP的距离为返zz

3

C.三棱锥M-NPQ的体积为定值工3

24

D.直线。。与平面AiAC。所成角的正切值的最大值为工

2

12.（5分）已知无穷等差数列｛“”｝的公差deN*,S”为其前〃项和，且5,23,29是数列｛斯｝

中的三项，则下列关于数列｛〃”｝的选项中，正确的有（）

A.dmax=6

B.S3W2«4

C.数列｛sina”｝为单调递增数列

D.143一定是数列｛斯｝中的项

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）在四面体ABC。中，△BC£＞是边长为2的等边三角形，△4BO是以8。为斜边

的等腰直角三角形，平面平面4BC,则四面体ABCD的外接球的表面积为.

14.（5分）安排高二年级一、二两个班一天的数、语、外、物、体，一班的化学及二班的

政治各六节课.要求体育课两个班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的

化学和二班的政治要安排在同一节；其他语、数、外、物四科由同一任课教师分班上课,

则不同的排课表方法共有种.

15.（5分）在△A8C中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,若/+/=2（?,则C的

最大值为.

16.（5分）设某组数据均落在区间［10,60］内,共分为［10,20）,［20,30）,［30,40）,［40,

50）,［50,60］五组，对应频率分别为pi,P2,P3,P4,小•已知依据该组数据所绘制的频

率分布直方图为轴对称图形，给出下列四个条件：

①pi=0.1,p3=0.4；

②P2=2p5;

③P1+P4=P2+P5=0.3;

@p\W2P2W4P3W2P4W05.

其中能确定该组数据频率分布的条件有.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步强

17.（10分）己知等差数列｛即｝和等比数列｛仇｝满足，［=2,4=1,a2=b3,a3=b4-2.

（1）求｛斯｝和｛为｝的通项公式;

（2）若数列｛斯｝中去掉数列｛为｝的项后，余下的项按原来的顺序组成数列｛C“，求

C1+C2+G+…+C100的值.

18.（12分）在△ABC中，设7=（cosB,-sin/?）,n=（cosC,sinC）,已知7・W=2.

2

（1）求角A；

（2）设8c的中点为。，若,求cosC.

从以下两组条件中任选其一，补充在上面的问题中并作答.

①sin/BAQ=2sin/CA。；®B<C,AD=^LBC.

214

19.（12分）2021年某省开始的“3+1+2”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治

等四门选考科目，制定了计算转换分7（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规

贝（详见附1和附2）,具体的转换步骤为：

①原始分丫等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.

某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如表：

等级ABCDE

比例约15%约35%约35%约13%约2%

政治学科[81,98][72,80][66,71][63,65][60,62]

各等级对应的原始分区间

化学学科[90,100][80,89][69,79][66,68][63,65]

各等级对应的原始分区间

现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下:

政治化学

个位数十位数个位数

987665406479

986542107012345799

862813469

49358

（1）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为86分，乙同学选考化学学科，其原始分

为93分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别计算甲乙同学的转换分，并从公平性的

角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.

（2）若从该校化学学科等级为4、B的学生中，随机抽取3人，设这3人转换分不低于

90分的有2人，求彳的分布列和数学期望.

附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.

等级ABCDE

原始分从高到低排序的等级人约15%约35%约35%约13%约2%

数占比

转换分7的赋分区间[86,100J[71,85][56,70][41,55]130,40J

Y-VT-T

附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：-2—=，—（其中：打，力别表示原始

丫-丫1T-Ti

分y对应等级的原始分区间下限和上限；T\,乃分别表示原始分对应等级的转换分赋分

区间下限和上限.7的计算结果按四舍五入取整）.

20.（12分）将长（45）、宽（BC）、高（AAi）分别为4,3,I的长方体点心盒用彩绳做一

个捆扎，有如下两种方案：

方案一：如图（1）传统的十字捆扎；

方案二：如图（2）折线法捆扎，其中4E=F8=BG="Ci=Ci/=〃）=£>K=LAi=l.

（1）哪种方案更省彩绳？说明理由;

（2）求平面EFK

2

21.（12分）己知椭圆马盘=1（a>b>0）的右焦点和上顶点分别为点/（c,0）（b>c

a%

>0）和点A,直线6x-5y-14=0交椭圆于3,C两点，且尸恰好为AABC的重心.

（1）求椭圆离心率；

（2）抛物线/=2px的焦点是F,P为抛物线准线上任一点，过点P作抛物线的切线PD,

PE,切点分别为。，E,直线x=0与直线尸£>,PE分别交于M,N两点，点M,N的纵

坐标分别为m,n,求mn的值.

22.(12分)已知函数/(x)=(x+1)e",其中

(1)若/(x)的极值为1,求实数〃的值；

(2)若对任意x20,有/(x)〈L+1恒成立，求实数。的取值范围.

2

2021年辽宁省本溪高级中学高考数学四模试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合4={-1,0,1},B={x,?},若ACB=B,则实数x=（）

A.-1B.1C.±1D.0或±1

【解答】解：•.•集合A={-1,0,1},B={x,7},AHB=B,

••X-1•

故选：A.

2.（5分）盒子中有4个球，其中3个白球，1个红球，现在从盒中随机无放回地取球，每

次取出一个，直到取出红球为止.则取出3个球停止的概率为（）

A.AB.Ac.AD.A

3468

【解答】解：取出3个球停止是指前两次都取到白球，第三次取出红球，

由相互独立事件概率乘法公式得：

取出3个球停止的概率为：

尸r=3—x乂2-x乂—1=1—,

4324

故答案为：1.

4

故选:B.

3.（5分）2021年2月13日，中国诗词大会第六季比赛如约而至.在某场比赛中，有甲、

乙、丙、丁、戊五位选手，有机会争夺该场擂主.观看比赛的三名诗词爱好者，对本场

比赛的描主进行了如下猜测.小张：冠军是甲或丙：小陈：冠军一定不是乙和丙：小亮:

冠军是丁或戊.比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么擂主是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解答】解：假设小张是正确的，冠军是甲或丙，冠军只有一个，

若冠军是甲，则小陈说冠军一定不是乙和丙，就是说可能是甲或丁或戊，则小陈猜的也

是对的，与题意矛盾，故冠军不是甲；

若冠军是丙，则甲，乙，丙，戊都不是冠军，小陈说一定不是乙和丙是错的，小亮说冠

军是丁或戊也是错的，符合题意，故冠军是丙.

故选：C.

22

4.（5分）已知圆锥曲线C：J_=l（/eR,样0,样-1）上满足|OM=1的点M共

t+1t

有4个，则此圆锥曲线C的离心率在下面的四个选项中不可能取的值为（）

A.V3B.V2C.遮D.返

22

【解答】解：若曲线为双曲线时，即有<0,可得-IVfVO,0<r+l<L

22

所以三一-二=1,曲线C为焦点在x轴上的双曲线,

t+1-t

且满足4个点M到。的距离为1,而"=J-由于-1<f<0,

Vt+1

所以6=以=>1,所以A,8都可能取得;

V1+t

当曲线为椭圆时，f>0,且小<1，即

又e=r］，可得返<e<l,所以C可以取得，而。不可能取得.

Vt+12

故选：D.

5.（5分）在三角形ABC中，AD=2DB«AE=2EC，P为线段OE上的动点,若强=/族+疝正,

入，HGR,则/+加=()

A.1B.2C.3D.2

32

【解答】解：

A

为线段。E上的动点，即。、P、E三点共线,

A^AP=XAD+HAE,入+猿=1，

VAD=2DB-AE=2EC)

••AD-fAB.AE=^-AB>

.-*9—*9—•9—♦9—♦

・・AP=人AB+WAC=-入ABqNA。

OOOo

又；AP=/AB+，〃AC，

・1_22―2[[

•・入，m--|1，

oo

l+m="|-九4H4（入+W

ooO0

故选：B.

6.（5分）虚数单位，•的平方根是（）

A.-1B.-返一返i

_22__

C.返+返iD,返+返,•或-返-返i

222222

【解答】解：设z=a+6i（a,bER）,Kz2=i,

贝（]Ca+bi）2=a1-lr+2abi=i,

故选：D.

7.（5分）一条倾斜角为60°的直线与抛物线f=4x交于不同的A,3两点，设弦4B的中

点为C过C作平行于x轴的直线交抛物线于点。，则以。为切点的抛物线的切线的斜

率为（）

A.-1B.273C.73D

3-V

【解答】解：由题意可设直线方程为丫=百乂+5

底q”Mx+b„9

联H2，得3x%（2愿b-4）x+bZ=0-

y=4x

设A（xi,yi）,B（X2,”），

,XI+X2=则xf-fb，yc=V3xc+b=-^'

2>

yD=^代入'=4x'得XDA，

oo

由y1=4x,得y=±24，

在x轴上方,^•y=2yfx1,得y'

77

以D为切点的抛物线的切线的斜率为

故选：C.

8.(5分)已知无€(1,2),Q=2X、b=(2D2,c=22"则〃，b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

【解答】解：xe(1,2)时，?<2-v,所以2乂2<22”,即a<c；

又(2D2=2汽xe(1,2),2x>2x,所以2缄>22"，即b>c；

所以〃，。，c的大小关系为b>c>a.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

3X-X2,0<X《2

9.(5分)已知函数/G)是定义在R上的偶函数，且当x>0时,f(x)=mG-2)

9x2

x

mWR,那么函数g(x)=f(x)-2在定义域内的零点个数可能是()

A.2B.4C.6D.8

3x-x2,0<x42

【解答】解：当工>0时，/(x)={m(x-2)、，

9XCt

X

当0<^<2时・，令3工-7=2,解得x=l或2共有两个解；

当x>2时，令赋■仁2)=2,即(m-2)x=2m,

x

当m=2时，方程无解，

当相>2时，方程有解》=①>2,符合题意，

m-2

当初V2时，方程无解，》=①<2,符合题意，

m-2

所以当x>0时，/(x)=2有2个或3个根，

而函数f(x)是定义在R上的偶函数，

所以函数g(x)=f(JC)-2在定义域内的零点个数可能是4或6,

故选：BC.

10.(5分)如图，圆心在坐标原点0、半径为1的半圆上有一动点P,A,B是半圆与x轴

的两个交点，过P作直线垂直于直线AB,M为垂足.设NAOP=a,则下列结论正确的

B.若a€[0,-ZL),则a>sina

2

c.若ae(0,n),则|面il+lMl22|西I

D.若ae[0,ft],则解|+|P用的最大值为2

TT

【解答】解：sina+cosa=Msin(a+~^->

•♦_/JT\・TV_/7T3兀\

.aG(0,----),・・a-L—G(-----.———),

2444

则sina+cosa=&sin(a(1,«),故A正确；

若ae[0,-2L.),当a=0时，a=sina,故B错误；

2

若ae(0,n),由于“为垂足，始终在AB上，得|而|+|京|=2，

而P是半圆上的动点，...当P为半圆与y相交点时，|而|最大为1,/.

I而1+1房|22|而I成立，故C正确；

若aC[0,n],当P在半圆与y相交点时，|附|+|PB|=2加，故。错误.

故选：AC.

11.(5分)如图，正方体A8CO-4B1C1。的棱长为a,点M,N,P分别是平面AOCiA、

平面C£>。。、平面ABCD的中心，点Q是线段AiCi上的动点，则下列结论正确的是

A.PN与Ai。所成角为三

3

B.D点到平面MNP的距离为叵7

3

C.三棱锥M-NPQ的体积为定值L?

24

D.直线。Q与平面44CG所成角的正切值的最大值为工

2

【解答】解：对于A,连结CID,NP,BD,AIB,

因为N,P分别是CiD和BD的中点，则NPHC\B,

所以PN与4cl所成的角即为G8与4。所成的角，即/AGB,

又4Ci=BCi=4B=&a,则N4CIB=2L,故选项A正确;

3

对于8,NP=LRC=反a，同理可得MN=MP=Y0

2叫22a'

则三棱锥D-MNP为棱长为返a的正四面体，

2

故点D到平面MNP的距离为返*返a巫a，故选项B正确;

323

对于C,因为MNHAC,ACHA\C\^MNHA\C\.

又ACiC平面MNP,MNu平面MNP,即AiCi〃平面MNP,

又点。是线段4cl上的动点,

则点。到平面MNP的距离为定值，且与点Ai到平面MNP的距离相等,

又M为40的中点，则点4到平面MNP的距离与点。到平面MNP的距离相等，均为

故三棱锥M-NPQ的体积VM-NPQ=VD-MNP=

4X4X（挈a）?Xsin萼X坐aja劣故选项C正确；

3223324

对于。，在正方体中，可知平面ACC4,

则直线OQ与平面AiACCi所成的角即为/OQP,

所以tan/QQP=1E•，又。尸=返定

PQ2

则tan/Z）QP取最大值，PQ要取最小值为a,

在

此时tanNL>QP=2_lNl,故选项D错误。

a2

故选：ABC.

12.（5分）已知无穷等差数列｛斯｝的公差旄N*,S”为其前"项和，且5,23,29是数列｛斯｝

中的三项，则下列关于数列｛“”｝的选项中，正确的有（）

A.d"tax=6

B.S3W2a4

C.数列｛sin””｝为单调递增数列

D.>43一定是数列｛a〃｝中的项

【解答】解：由23-5=18；29-23=6,"6N*,因此公差d是6和18的公约数，即d

=1、2、3或6,A正确，

若的=5,d=\,则$3=5+6+7=18,而2a4=2X8=16<18,8错,

若ai=2,d=l则“2=3,“3=4显然有sin2>sin3>sin4,C错;

因为143-29=114=6XI9=kd（髭N*）,所以。正确.

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）在四面体A8CD中，△BCD是边长为2的等边三角形，△A3。是以8。为斜边

的等腰直角三角形，平面A8DL平面ABC,则四面体ABC/）的外接球的表面积为6TT.

【解答】解：•••△AB。是以80为斜边的等腰直角三角形，...ABLA。，

又•.•平面A8OJ_平面ABC,平面A8DD平面A8C=AB,

，D4_L平面ABC,则D4_L4C,可得D4、AB.AC两两相互垂直，

且DA=AB=AC=^-x2=V^，

以A为顶点，以AB、AC、AO为过A点的三条棱构造正方体，

可得四面体ABCD外接球的半径R=S（物2+（物2+（祀）2隹,

四面体ABCD的外接球的表面积为22-

4n/?=4nX=r6加

故答案为：6n.

A

DB

C

14.（5分）安排高二年级一、二两个班一天的数、语、外、物、体，一班的化学及二班的

政治各六节课.要求体育课两个班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的

化学和二班的政治要安排在同一节；其他语、数、外、物四科由同一任课教师分班上课,

则不同的排课表方法共有5400种.

【解答】解：根据题意，分3步进行分析：

①体育课要求两个班一起上，但不能排在第一节，体育课的排法有5种；

②一班的化学和二班的政治要安排在同一节，则这两节的排法有5种；

③剩下四科，不能安排在同一节上课，假设安排在第一、二、三、四四节，

对于一班，有A44种安排方法，假设语文排在第一节，

对于二班，语文不能排在第一节，有3种排法，剩下3科有3种排法，

则剩下4科有24X9=216种排法；

故有5X5X216=5400种排法；

故答案为：5400.

15.（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为〃、b、c,若则c的

最大值为2L.

—3—

22

【解答】解：：/+62=2。2,即02=a+b,

2

262

2,2a+b

2.,22a+b--2.,2,.

，由余弦定理得：cosC=———-=-----------------------=且——L^_^2oab（当且

2ab2ab4ab4ab2

仅当时取等号），

.♦.C的最大值为三.

3

故答案为：2L

3

16.（5分）设某组数据均落在区间[10,60]内，共分为[10,20）,[20,30）,[30,40）,[40,

50）,[50,60]五组，对应频率分别为0,02,P3,P4,P5.已知依据该组数据所绘制的频

率分布直方图为轴对称图形，给出下列四个条件：

①pi=0.1,P3=O.4；

②P2=2p5；

③P1+P4=。2+，5=0.3;

®p\W2p2W4P3W2P4Wp5.

其中能确定该组数据频率分布的条件有①④.

【解答】解：已知P1=P5，P2=P4，且Pl+P2+P3+P4+P5=l，

若选择①，pi=0.1,03=0.4,则可得p2=0.2,p4=0.2,p5=0.1,符合题意；

若选择②，P2=2〃5，则〃3+6pi=l,不能求出pi，P3,不符合题意；

若选③，P1+P4=P2+P5=O.3,则可得P3=O.4,但是pi，P2，〃4，P5的解不能确定，不符

合题意；

若选④，piW2P2<4p3W2P4wP5,则p\=2P2=4P3=2.4=P5，可解得

P3$'P广P5哈，P2=P4*’符合题意・

故答案为：①④.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步强

17.(10分)已知等差数列｛斯｝和等比数列｛d｝满足，的=2,加=1,。2=历,“3=%-2.

(1)求｛斯｝和｛瓦｝的通项公式;

(2)若数列｛斯｝中去掉数列｛d｝的项后，余下的项按原来的顺序组成数列｛Cn｝,求

CI+C2+C3+…+500的值.

【解答】解：(D设等差数列｛斯｝的公差为4,等比数列｛加｝的公比为q,

由卜&+d,解得(d=2,

,q3-2=2+2d।q=2

♦・dn~—2+2(〃-1)=2ft,

n-1n-1

bn=lX2=2=

(2)由=2〃,b=2kL

得加=1,历=2=m，〃3=4=。2，^4=8=04，加=16=〃8，

/?6=32=。16，〃7=64=。32，Z?8=128=464，人9=256=。128.

C1+C2+C3+***+c100=（。］+。2+〃3+八・+〃107）-（人2+为+84+人5+66+力7+68）

107X(214)

-f-254=11302-

18.(12分)在△ABC中，设ir=CcosB,-sinB),n—(cosC,sinC),已知ir,n=2.

2

(1)求角A;

(2)设BC的中点为。，若,求cosC.

从以下两组条件中任选其一，补充在上面的问题中并作答.

①sinN8AO=Lsin/C4r>；®B<C,AD=^2LBC.

214

【解答】解：(1),.'w,rt=cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)=-COSA=A,

2

又(0,n),

.,2兀

.♦A-

(2)选①，设角4,B,C所对应的边分别为a,b,c,

在△CAO中，由正弦定理可得，一尊一=一空----

sin/CADsin/ADC

在△54。中，由正弦定理可得，一里一=一些----

sin/ADBsin/BAD

AADB+AADC=u,

.•.sinNA£>B=sin(TT-ZADC)=sin/AOC,

又的中点为O,s\nZBAD=ls\nZCAD,

2

:.BD=CD,AB=2AC,即c=2b,

由余弦定理可得,a=7b2+c2_2bc.cosA=^4b2+b2_4b2,(J.)

ca2+b2-c2-7b2+b2-4b2247

c°Q2ab-一听2:7.

19.(12分)2021年某省开始的“3+1+2”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治

等四门选考科目，制定了计算转换分T(即记入高考总分的分数)的“等级转换赋分规

则”(详见附1和附2),具体的转换步骤为：

①原始分y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.

某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如表：

等级ABCDE

比例约15%约35%约35%约13%约2%

政治学科[81,98][72,80][66,71][63,65][60,62]

各等级对应的原始分区间

化学学科[90,100][80,89][69,79][66,68][63,65]

各等级对应的原始分区间

现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下:

政治化学

个位数十位数个位数

987665406479

986542107012345799

862813469

49358

（1）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为86分，乙同学选考化学学科，其原始分

为93分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别计算甲乙同学的转换分，并从公平性的

角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.

（2）若从该校化学学科等级为A、3的学生中，随机抽取3人，设这3人转换分不低于

90分的有t人，求？的分布列和数学期望.

附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.

等级4BCDE

原始分从高到低排序的等级人约15%约35%约35%约13%约2%

数占比

转换分T的赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：Y—-V=，T—-T（其中：H，力别表示原始

丫-丫1T-Ti

分丫对应等级的原始分区间下限和上限；T1，乃分别表示原始分对应等级的转换分赋分

区间下限和上限.T的计算结果按四舍五入取整）.

【解答】解：（1）甲同学选考政治学科原始分为86分，

根据等比例转换赋分公式：型竺解得T=90,

86-81T-86

乙同学选考化学学科原始分为93分,

根据等比例转换赋分公式：100-93J00-T,解得T=9O,

93-90T-86

故甲乙两位同学的转换分都为90分；

从公平性的角度谈谈对新高考这种“等级转换赋分法”的看法：

①从已知可得甲乙通项原始分都排第三，转换后都是90分，

因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性；

②甲同学与乙同学原始分差7分，但转换后都是90分，

所以高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不利；

（2）该校化学学科原始分为93分时，根据等比例转换赋分公式：100-93J00-T,可

93-90T-86

得T=90,即原始分低于93分的转换分低于90分，

所以转换分不低于90分的由3人，低于90分的有5人，

W的所有可能取值为0,1,2,3,

CcC

所以p（?=0）=T=a,

C328

r1「2

P（日）=-35.=互

娼28

O

51

PG=3)=-4-=-L,

Co56

故S的分布列为:

0123

P515151

28285656

所以E(E)=OX_L+1X［互+2X至+3X_L=g.

282856568

20.（12分）将长CAB）,宽（BC）、高（A41）分别为4,3,1的长方体点心盒用彩绳做一

个搠扎，有如下两种方案：

方案一：如图（1）传统的十字捆扎；

方案二：如图（2）折线法捆扎，其中4E=FB=BG=/7CI=CI/=JO=OK=LAI=1.

（1）哪种方案更省彩绳？说明理由；

(2)求平面EFK与平面GU所成角的余弦

yr

【解答】解：(1)方案②更省彩绳.理由如下:

方案①中彩绳的总长度为/=2X(4+3)+4=18,

方案②中彩绳的总长度为机=2X旄+6XJ，＜2X2.5+6X1.5=14,

故方案②更省彩绳.

(2)以。为原点，DA,DC,。。所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，

则E(3,1,1),F(3,3,0),K(1,0,0)G(2,4,0),/(0,3,1),J(0,1,0),

/.KE=(2,1,1),KF=(2,3,0),JG=⑵3,0),元=(0,2,1),

设平面EFK的法向量为'=(x,y,z),则白巴=°,Bp(2x4y+Z=°.

,m-KF=02x+3y=0

令y=l,贝!Jx=-3,z=2,ir=(-—,1,2),

22

同理可得，平面G〃的法向量为惹=(-苣，1，-2),

2

——-Y+1-4

・■・cosV-ir，一n、>-一----=-m---*-n=----_-1v4------入_”—~——3，

lm|・|n|椁+1+4X.+1+429

由图可知，平面EFK与平面G〃所成角为钝角,

故平面EFK与平面GIJ所成角的余弦值为-A.

29

22

21.（12分）已知椭圆2_「_=1（">匕>0）的右焦点和上顶点分别为点F（c,0）Ch>c

2,2

ab

>0）和点A,直线6x-5y-14=0交椭圆于B,C两点，且下恰好为AABC的重心.

（1）求椭圆离心率；

（2）抛物线/=2℃的焦点是F,P为抛物线准线上任一点，过点P作抛物线的切线PD,

PE,切点分别为。，E,直线x=0与直线P£>,PE分别交于M,N两点，点M,N的纵

坐标分别为小，几,求优〃的值.

【解答】解：（1）由题意可知，F（c,0）,A（0,b）,

设3（xi,y\）,C（股，”），线段3C的中点为G（x（）,yo）,

由三角形重心的性质可知，AF=2FG，即（C,-b）=2（xo