北师版九年级初三数学上册初中分类题型30讲

第一讲实数

一、实数的基本概念和性质

1、数轴：规定了、、的直线叫做数轴，和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用

有、、等。

2、相反数：只有不同的两个数叫做互为相反数，a的相反数是,0的相反数是,a、b互为相反数O

3、倒数：实数a的倒数是,没有倒数，a、b互为倒数。

4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开—的距离叫做这个数的绝对值。

因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是数，我们学过的非负数有三

个：、、。

5、科学记数法：把一个较大或较小的数写成的形式叫做科学记数法。其中a的取值范围

是。

【名师提醒：0既不是数，也不是数，但它是自然数,a+b的相反数是,a-b的相反数是,0

是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是,倒数等于本身的数是,绝对值等于本身的数

是]

6、若x2=a（a_0）,则x叫做a的,记做土右,其中正数a的平方根叫做a的算术平方根，记做,

正数有个平方根，它们互为,0的平方根是,负数平方根。

7、若x3=a，则x叫做a的,记做蚣，正数有一个的立方根，0的立方根是,负数立

方根。

【名师提醒：平方根等于本身的数有个，算术平方根等于本身的数有,立方根等于本身的数

有o]

考点一：无理数的识别。

例1实数n,-.0,-1中，无理数是（）

5

1

A.兀B.—C.0D.-1

5

考点二、实数的有关概念。

1.-3的相反数是；-3的倒数是o

2.-2013的绝对值是.

3.实数-8的立方根是.

考点三：实数与数轴。

例5实数a在数轴上的位置如图所示，贝加25|=（）

------i——1--------1------>

0a7S

A.a-2.5B.2.5-aC.a+2.5D.-a-2.5

考点四：科学记数法。

例6花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，已知1克=1000毫克，那么0.000037毫克可

用科学记数法表示为（）

A.3.7x10-5克B.3.7x10-6克C.37x1。]克D.3.7xl（y8克

考点五：非负数的性质

例7若a,b为实数，且|a+l|+JE=0,则（ab）2。格的值是（）

A.0B.1C.-1D.±1

对应训练

已知实数x,y,m满足Jx+2+|3x+y+m|=0,且y为负数，则m的取值范围是（）

A.m>6B.m<6C.m>-6D.m<-6

第二讲实数的运算

【重点考点例析】

考点一：实数的大小比较.

例1如图，数轴上A、B两点表示的数分别为行和5.1,则A、B两点之间表示整数的点共有()

A.6个B.5个C.4个D.3个

AB

,・・--->

°亚51

考点二：估算无理数的大小

例2估计JTT的值在()之间.

A.1与2之间B.2与3之间C.3与4之间D.4与5之间

3+百的整数部分是a,3-6的小数部分是b,则a+b等于.

考点三：有关绝对值的运算

例3在数轴上，点A(表示整数a)在原点的左侧，点B(表示整数b)在原点的右侧.若|a-b|=20I3,且AO=2BO,

则a+b的值为.

考点四：实数的混合运算。

例4计算：2013。+(工尸2布60。-|百-2|计算：我+2cos60。-(兀-2」)。

2

第三讲整式

一、整式的有关概念：

：由数与字母的积组成的代数式

1、整式:

多项式:

【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是式。2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是

相同，与系数的大小和字母的顺序无关。】

二、整式的运算：

1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+,a-(b+c)=a-.

②添括号法则：a+b+c=a+()>a-b-c=a-()

2、整式的乘法：

①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的

作为积的一个因式。

②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积,即m(a+b+c)=o

③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积,即

(m+n)(a+b)=。

④乘法公式：I、平方差公式：(a+h)(a—b)=,

II>完全平方公式：(a±b)2=。

【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类

项的一定要O2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。】

3、整式的除法：

①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同

它的指数作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商o即（am+bm）

4-m=o

三、基的运算性质：

1、同底数寤的乘法：―不变相加，即：aman=（a>0,tn,〃为整数）

2、某的乘方：不变相乘，即：（〃m）n=（«>0,“八"为整数）

3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的基o

即：（ab）n=（a>0,b>0,〃为整数）。

4、同底数塞的除法:—不变相减，即：a'^an=（a>0,m、〃为整数）

【名师提醒：运用嘉的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，（卬尸=—（n为奇数），（出尸=（n为

偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知3m=4,213,则9m8"=,]

考点一：代数式的相关概念。

如果单项式-x"iy3与；ybx?是同类项，

那么a、b的值分别为（)

A.a=2,b=3B.a=l,b=2C.a=1,b=3D.a=2,b=2

考点二：代数式求值

113

已知x--=3,则知一x?+—x的值为（)

x22

35_7

A.1B.一C.D.

222

考点三：单项式与多项式。

下列运算，结果正确的是（）

A.m64-m3=m2B.3mn2<m2n=3m3n3

C.（m+n）2=m2+n2D.2mn+3mn=5m2n2

考点四：塞的运算。

下列计算正确的是（）

A.x+x=2x2B.x3,x2=x5C.(x2)3=x5D.(2x)2=2x2

（1）已知a+b=4,a-b=3,则a?-b?=

（2）已知a、b满足a+b=3,ab=2,贝ija2+b2=

考点五：整式的运算

先化简，再求值：（x-1）（x+1）-x（x-3）,其中x=3.

第四讲因式分解

【基础知识回顾】

一、因式分解的定义：

1、把一个式化为几个整式的形式，叫做把一个多项式因式分解。

（）

2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式）整式的积

二、因式分解常用方法：

1、提公因式法：

公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。

提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc=。

【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是,都遵循一个原则：取系数的，相

同字母的o2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为,不能漏掉。3、提公

因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都

要o]

【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，

找准里面的a与b。如：x2-x+丁1符合完全平方公式形式，而xJx+上1就不符合该公式的形式。】

【重点考点例析】

考点一：因式分解的概念

例1多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n）,则m=,n=.

考点二：因式分解

例2分解因式：2X2-4X=.

例4因式分解：mx2-my2.

对应训练

2.因式分解：m2-5m=.

4.分解因式：ab2-4ab+4a=.

考点三：因式分解的应用

例5己知a+b=2,贝!]a2-b2+4b的值为.

第五讲分式

【基础知识回顾】

一、分式的概念

若A,B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做分式

AA

【名师提醒：①若则分式。无意义②若分式4=0,则应且

BB

二、分式的基本性质

分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。

a.mb+m

2、分式的变号法则—上h=-b=。

a

3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。约分的关键是确

定分式的分子和分母中的，

约分的结果必须是分式或整式。

4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分，通分的关键是

确定各分母的o

【名师提醒：①最简分式是指;②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是单项式时，公因式

应取系数的,相同字母的，当分母、分母是多项式时应先再进行约分；③通分

时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母，分母中有多项式时仍然要

先,通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子；④约分通分时一定注意“都”和“同时”

避免漏乘和漏除项】

二、分式的运算：

1、分式的乘除

①分式的乘法：

ac

②分式的除法：---==

ac

2、分式的加减

hr

①用分母分式相加减：-±-=

aa

②异分母分式相加减：-±-==

ac

【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为法来做，其实质是的过程②异分母分式加减过

程的关键是1

b

3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即（一尸=

a

1、分式的混合运算：应先算再算最后算有括号的先算括号里面的。

【重点考点例析】

考点一：分式有意义的条件

例1使式子1+」一有意义的x的取值范围是.

x—1

考点二：分式的值为零的条件

x2—4

例2分式的值为0,则（）

x+2

A.x=-2B.x=±2C.x=2D.x=0

考点三：分式的运算

|m

例3化简（1+—的结果是.

m-\m"-1

考点四：分式的化简与求值

r4-2,—1—4

例4先化简，再求值：（*XX,其中x是不等式3x+7>l的负整数解.

xx-2x-4x+4

考点五：零指数塞和负指数塞

例5下列等式成立的是（）

A.\-2\=2B.(0-1)°=0C.)-'=2D.-(-2)=-2

2

第六讲二次根式

【基础知识回顾】

一、二次根式

式子右（）叫做二次根式

【名师提醒：①二次根式右必须注意a。这一条件，其结果也是一个非负数即：o,②二次根

式6（a>o）中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式】

二、二次根式的几个重要性质：

-----（a》o）①（&）2=（a>0）

_____（a<o）

②V?=___=

(3)=(a>0,b>0)(a>0,b>0)

【名师提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较26和30的大小，可逆用（、份）2=a（aK））将根号外的正

数移到根号内再比较被开方数的大小】

三、最简二次根式：

最简二次根式必须同时满足条件：

1、被开方数的因数是，因式是整式，

2、被开方数不含的因数或因式。

四、二次根式的运算：

1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将的二次根式进行合并，合并的方法与合并同类项

法则相同

2、二次根式的乘除：

除法法则：*=（a>0,

乘除法则：JZ.、/=(a>0,b>0)b>0)

3、二次根式的混合运算顺序：先算再算最后算o

【名师提醒：①、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去（分母有理化）这一方法进行：如:

；②、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用；③、二次根式运算的结果一定

要化成]

【重点考点例析】

考点一：二次根式有意义的条件

例1若式子立亘有意义，则x的取值范围是

X

考点二：二次根式的混合运算

例2计算：（2-6）2012.（2+73）20|3-2|--I-（-V2）°.

2

考点三：与二次根式有关的求值问题

2_i0—2

例3化简求值：/~+=^-^a,其中a=&+1.

a-2。+1a—2

第七讲一次方程（组）

【基础知识回顾】

一、等式的概念及性质：

1、等式：用“=”连接表示关系的式子叫做等式

2、等式的性质：

①、性质1：等式两边都加（减）所得结果仍是等式，

即：若a=b,那么a±c=

②、性质2：等式两边都乘以或除以（除数不为0）所得结果仍是等式即：若a=b,那么a

c=,若a=b（c#o）那么巴=

C

【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”，不能漏项

②等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值__________】

二、方程的有关概念：

1、含有未知数的叫做方程

2、使方程左右两边相等的的值，叫做方程的组

3、叫做解方程

4、一个方程两边都是关于未知数的,这样的方程叫做整式方程

三、一元一次方程：

1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是的方程叫做一元一次方程，一元一次

方程一般可以化成的形式。

2、解一元一次方程的一般步骤：

12'3,4'5'

【名师提醒：1、一元一次方程的解法的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则，要注意灵活准确运用；】

四、二元一次方程组及解法：

1、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=O（a.b.c是常数，a#）,b¥O）；

2、由几个含有相同未知数的合在一起，叫做二元一次方程组；

3、二元一次方程组中两个方程的叫做二元一次方程组的解；

4、解二元一次方程组的基本思路是：；

5、二元一次方程组的解法：①消元法②消元法

【重点考点例析】

考点一：二元一次方程组的解法

2（x-y）x+y=1

例1解方程组：＜34-12.

、3（x+y）—2（2x—y）=3

考点二：一（二）元一次方程的应用

例2假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租

住方案（）

A.5种B.4种C.3种D.2种

故选：C.

例3为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5

元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨.该市小明家5月份用水12吨，交水费20元.请问：该市规定的

每户月用水标准量是多少吨？

第八讲一元二次方程及应用

【基础知识回顾】

一、一元二次方程的定义：

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的方程

2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是,

是常数项

【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a刈这一条件

2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】

二、一元二次方程的常用解法：

1、直接开平方法：如果ax2=b则X?=X尸_X2=

2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为即方程两边都二次项系数，②、移项：把项

移到方程的边

③、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式

④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程

3、公式法：如果方程ax2+bx+c=0（a和）满足b2-4acK）,则方程的求根公式

为

4,因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生AB=O的形式，则可将原方程化

为两个方程，即、从而得方程的两根

【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和

法】

三、一元二次方程根的判别式

关于X的一元二次方程ax2+bx+c=0(ar。)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式,

一般用符号表示

①当_____时，方程有两个不等的实数根,

②当时，方程看两个相等的实数根方程有两个实数跟，则---------

③当时，方程没有实数根

【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数1

四、一元二次方程根与系数的关系：

2

关于X的一元二次方程ax+bx+c=O(a±O)有两个根分别为X,,X2

则X|+X2=X|X2=

五、一元二次方程的应用：

解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、歹U、解、验、答六步进行

常见题型

1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数a(1+x)2=b

2、利润问题：总利润=x或总利润=—

3、几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程

【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否

符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】

【重点考点例析】

考点一：一元二次方程的解

例1若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a#))的解是x=l,则2013-a-b的值是()

A.2018B.2008C.2014D.2012

对应训练

1.已知x=l是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是—.

考点二：一元二次方程的解法

例2一元二次方程x(x-2)=2-x的根是()

A.-1B.2C.I和2D.-1和2

例3用配方法解方程x2-2x-2=0.

4.(2015•山西)解方程：(2x-l)2=x(3x+2)-7.

考点三：根的判别式的运用

例5已知关于X的一元二次方程x2-(2k+l)x+k2+k=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若AABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5,当4ABC是等腰三角形时，

求k的值.

8.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.

考点四：一元二次方程的应用

例6小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.

(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,小林该怎么剪？

(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？请说明理由.

第九讲分式方程

【基础知识回顾】

一、分式方程的概念

分母中含有的方程叫做分式方程

【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】

二、分式方程的解法：

1、解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程：即

2、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根称为方程的增根。因

此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。

【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略

2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方

程无解。如：士0-2=1有增根，则2=,若该方程无解，则2=

x-13

【重点考点例析】

考点一：分式方程的解

ax4

例1若关于X的方程」L=「一+1无解,则a的值是

x-2%—2

考点二：解分式方程

x21

例2解方程:---------1---------=---------

x—4x+2x—2

2x+2x+2-2

1.解方程:

xx-2x2-2x

考点三：由实际问题抽象出分式方程

例3小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60

米的地方追上了他.己知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度.若设小朱速度是x米/分，则根据题意所

列方程正确的是（)

1440144014401440

A.=10B.+10

x-100XXx+100

1440144014401440

C.+10D.=10

Xx-100x+100X

第十讲一元一次不等式（组）

【基础知识回顾】

一、不等式的基本概念：

1、不等式：用连接起来的式子叫做不等式

2、不等式的解：使不等式成立的值，叫做不等式的解

3、不等式的解集：一个含有未知数的不等的解的叫做不等式的解集

【名师提醒：1、常用的不等号有________________________等

2、不等式的解与解集是不同的两个概念，不等式的解是单独的未知数的值，而解集是一个范围

的未知数的值组成的集合，一般由无数个解组成

3、不等式的解集一般可以在数轴上表示出来。注意在数轴上表示为,而

在数轴上表示为】

二、不等式的基本性质：

基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个或同一个不等号的方向,即：

若avb,贝ija+cb+c（或a-cb-c）

基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个不等号的方向,即：若avb,c>0则a

ab

cbc（或一—）

cc

基本性质3、不等式两边都乘以（或除以）同一个不等号的方向,即：若a<b,C<0

ab

则acbe（或一一）

cc

三、一元一次不等式组及其解法：

1、定义：把几个含有相同未知数的合起来，就组成了一个一元一次不等式组

2、解集：几个不等式解集的叫做由它们所组成的不等式组的解集

3、解法步骤：先求出不等式组中各个不等式的再求出他们的部

分，就得到不等式组的解集

4、一元一次不等式组解集的四种情况（a<b）

【名师提醒：1、求不等式的解集，一般要体现在数轴上，这样不容易出错。

2、一元一次不等式组求解过程中往常出现求特殊解的问题，比如：整数解、非负数解等，这

时要注意不要漏了解，特别当出现“N”或“W”时要注意两头的数值是否在取值的范围内】

【重点考点例析】

考点一：不等式的性质

例1若a>b,则下列不等式变形错误的是（）

A.a+l>b+lB.—>—C.3a-4>3b-4D.4-3a>4-3b

22

1.已知实数a、b,若a>b,则下列结论正确的是（）

ab

A.a-5<b-5B.2+a<2+bC.-<-D.3a>3b

33

考点二：在数轴上表示不等式（组）的解

x>]

例2把不等式组1的解集在数轴上表示正确的是（）

2x-l<5

7^,]>

A.-10T234

.>

Cp.-101234

考点三：不等式（组）的解法

例3不等式2x7>3的解集是

对应训练

例4不等式2x-4<0的解集是.

考点四：不等式（组）的特殊解

例5

-2x+l>0

5.求不等式组<的正整数解.

x>2x-5

考点五：确定不等式（组）中字母的取值范围

x+a>0

例6若不等式组!有解,则a的取值范围是

1—2,x>x—2.

第十一讲：平面直角坐标系与函数

【基础知识回顾】

一、平面直角坐标系：

1、定义：具有的两条的数轴组成平面直角坐标系，两条数轴分别称轴

轴或轴轴，这两系数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个

2、平面内点的坐标特征

①P（a.b）：第一象限第二象限

第三象限第四象限

X轴上Y轴上

②对称点：关于y轴的对称点关于y轴的对称点

-------------P（a,b）----------->

关于原点的对称点

③特殊位置点的特点：P（a.b）若在一、三象限角的平分线上，则

若在二、四象限角的平分线上，则

④到坐标轴的距离：P（a.b）到x轴的距离到y轴的距离到原点的距离

⑤坐标平面内点的平移：将点P（a.b）向左（或右）平移h个单位，对应点坐标为（或）,

向上（或下）平移k个单位，对应点坐标为（或）。

3、函数：

⑴、函数的概念：一般的，在某个过程中如果有两个变量x、y,如果对于x的每一个确定的值，y都

有的值与之对应，我们就成x是,y是x的o

⑵、自变量的取值范围：

主要有两种情况：①、解析式有意义的条件，常见分式和二次根式两种情况

②、实际问题有意义的条件：必须符合实际问题的背景

【名师提醒：1、在确定自变量取值范围时要注意分式和二次根式同时存在，应保证两者都有意义，即被开方数应

同时分母应O

2、函数的三种表示方法应根据实际需要选择，有时需同时使用几种方法

3、函数同象是在自变量取值范围内无限个点组成的图形，图象上任意一点的坐标是解析式方程的一个解，反之

满足解析式方程的每一个解都在函数同象上】

【重点考点例析】

考点一：平面直角坐标系中点的特征

例1如果m是任意实数，则点P（m-4,m+1）一定不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（点P的纵坐标一定大于横坐标，.•.点P一定不在第四象限）.

对应训练

1.）点P（a,a-3）在第四象限，则a的取值范围是.

第十二讲一次函数

【基础知识回顾】

一、一次函数的定义：

一般的：如果y=（）,那么y叫x的一次函数

特别的：当6=时，一次函数就变为产kx（厚0）,这时y叫x的

【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b=0时，它才是正比例函数】

二、一次函数的同象及性质：

b

1、一次函数y=kx+b的同象是经过点（0,b）>0）的一条,

K

正比例函数y=kx的同象是经过点和的一条直线。

【名师提醒：因为一次函数的同象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取个特殊的点，过这两

个点画一条直线即可】

2、正比例函数产kx（k#））,当k>0时，其同象过、象限，此时时y随x的增大而；当

k<0时，其同象过、象限，时y随x的增大而。

3、一次函数丫=1«+1）,图象及函数性质

①、kX）b>0过______象限

»y随x的增大而________

②、k>0b<0过______象限

③、k<ObX）过______象限

»y随x的增大而________

④、k<0b>0过______象限

4、若直线11：y=klx+bl与11：y=k2x+b2平行，则klk2,若kl#2,则11与12

【名师提醒：y随x的变化情况，只取决于的符号与无关，而直线的平移，只改变的

值________的值不变】

【重点考点例析】

考点一：一次函数的图象和性质

例1对于函数y=-3x+l,下列结论正确的是（）

A.它的图象必经过点（-1,3）B.它的图象经过第一、二、三象限

C.当x>l时，y<0D.y的值随x值的增大而增大

1.（2015•徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（）

A.y=2x+8B.y=-2+4xC.y=-2x+8D.y=4x

考点二：一次函数的图象和系数的关系

例2Pi（x“y。，P2（x2,y2）是正比例函数y=-‘x图象上的两点，下列判断中，正确的是（）

2

A.yi>y2B.yi<y2

C.当xiVxz时，y】Vy2D.当xiVx2时，yi>y2

对应训练

2.若实数a,b,c满足a+b+c=0,且a<b<c,则函数y=cx+a的图象可能是（）

考点三：一次函数解析式的确定

例4已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且kWO）的图象经过点A（0,-2）和点B（l,0）,则k=,b=

对应训练

4.已知正比例函数丫=1«（kWO）的图象经过点（1,-2）,则这个正比例函数的解析式为（）

11

A.y=2xB.y=-2xC.y=—xD.y=--x

22

考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系

例5如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m,3）,则不等式2xVax+4的解集为（）

33

A.x<—B.x<3C.x>—D.x>3

22

考点五：一次函数综合题

例7如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A,C两点，分别过A,C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且0A,

OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根.

(1)求C点坐标；

(2)求直线MN的解析式；

(3)在直线MN上存在点P,使以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标.

考点六：一次函数的应用

例8(2015•株洲)某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y(单位：厘米)与观察时间x(单位：天)的关系,

并画出如图所示的图象(AC是线段，直线CD平行x轴).

(1)该植物从观察时起，多少天以后停止长高？

(2)求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？

第十三讲反比例函数

【基础知识回顾】

一、反比例函数的概念：

一般地：函数y(k是常数，k/0)叫做反比例函数

【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k#)、x#)、#0

2、反比例函数的另一种表达式为丫=(k是常数，k#0)

3、反比例函数解析式可写成xy=k(k^O)它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等

于]

二、反比例函数的图象和性质：

k

1、反比例函数y=-(k/0)的图象是,它有两个分支，关于对称

X

k

2、反比例函数y=-(k/0)当k>0时它的图象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而当

k<0时，它的图象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而

k

【名师提醒：1、在反比例函数y=]中，因为"0,y制所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴

2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】

3、反比例函数中比例系数k的几何意义:

k

双曲线y=-（k/0）上任意一点向两坐标轴作垂线

X

两垂线与坐标轴围成的矩形面积为，即如图：SoiABOC-

SAAOB=________

【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用］

三、反比例函数解析式的确定

k

因为反比例函数y=一（厚0）中只有一个待定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y

X

值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法

【重点考点例析】

考点一：反比例函数的图象和性质

x

A.图象经过点（1,-3）B.图象在第二、四象限

C.x>0时，y随x的增大而增大D.x<0时，y随x增大而减小

（2015•河北）反比例函数y=竺的图象如图所示,

2.以下结论:

X

m<-1：

个象限内，y随x的增大而增大；

（-1,h）,B（2,k）在图象上，则hVk：

（X,y）在图象上，贝UP'（-X,-y）也在图象上.

确的是（）

A.B.②③