工程力学- 材料力学之应力应变分析强度理论

材料力学刘鸿文主编(第5版)高等教育出版社目录1第七章作业17.1、7.2(a,c)、7.3(a,c,d)、7.4(b,c)7.8、7.102

基本变形的研究步骤应力内力强度、刚度效核截面尺寸设计许可载荷确定外力变形工程实际问题解决超静定强度条件刚度条件3基本变形框架图

变形轴向拉（压）剪切*扭转平面弯曲受力特点

作用在横截面内力垂直轴线且与都作用在纵向对称面内

内力（截面法求）轴力，拉为“+”剪力，作用在剪切面内扭矩T，正负由右手螺旋法则定M下层纤维受拉为“+”应力公式（从变形、物理、静力三方面考虑定）

方向同

（计算剪应力）,方向同FS

沿切向与T转向一致

（矩形类截面）,方向同

FS4变形轴向拉（压）剪切*扭转平面弯曲强度条件变形特点轴向伸（缩）沿剪切面相互错动横截面相对有一个转角（扭转角，纵向线也有转角（剪切角）

横截面沿竖向位移（挠度w）；横截面绕中性轴转过一个角度（转角）

变形公式,

拉为“+”积分求解，用梁支承处的变形条件定积分常数，若M(x)分段还需分界点处的连续条件。

刚度条件变形小于允许值变形小于允许值5第七章应力应变分析强度理论MechanicsofMaterialsChapter7AnalysisofStressandStrainFailureCriteria材料力学6第七章应力和应变分析强度理论Chapter7AnalysisofStressandStrainStrengthTheories

§7-1

应力状态概述

(Conceptsofstress-state)

§7-2

平面应力状态分析-解析法

(Analysisofplanestress-state)§7-3

平面应力状态分析-图解法(Analysisofplanestress-state)

§7-4三向应力状态分析

(Analysisofthree-dimensionalstress-state)7§7-6

广义虎克定律(GeneralizedHook’slaw)§7-7

复杂应力状态的变形比能

(Strain-energydensityingeneralstress-state)§7-8

强度理论(Failurecriteria)§7-5

平面应变状态分析

(Analysisofplanestrain-state)§7-9

莫尔强度理论

(Mohr’sfailurecriterion)8

§7-1

应力状态概述

(Introductionofstress-state)一、应力状态的概念

(Conceptsofstresses-state)请看下面几段动画1、低碳钢和铸铁的拉伸实验(Atensiletestoflow-carbonsteelandcastiron)2、低碳钢和铸铁的扭转实验(Atorsionaltestoflow-carbonsteelandcastiron)9

低碳钢(low-carbonsteel)?塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？

铸铁(cast-iron)

低碳钢和铸铁的拉伸10?为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？

低碳钢和铸铁的扭转

低碳钢(low-carbonsteel)

铸铁(cast-iron)11(1)

拉中有剪，剪中有拉;(2)不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力;

(3)同一面上不同点的应力各不相同;(4)同一点不同方向面上的应力也是各不相同3、重要结论（Importantconclusions)哪一点？

哪个方向面？应力哪一个面上？

哪一点？4、一点的应力状态（stateofstressesofagivenpoint)

过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点的应力状态（stateofstressesofagivenpoint)，亦指该点的应力全貌.12二、应力状态的研究方法(Themethodforinvestigatingthestateofstress)

1、单元体（Elementbody）

任意一对平行平面上的应力相等2、单元体特征(Elementcharacteristic)3、主单元体(Principalbody)

各侧面上切应力均为零的单元体单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布

3

1

2

2

3

1

x

y

xy

yx134、主平面(Principalplane)

切应力为零的截面5、主应力(Principalstress)

主面上的正应力

说明:一点处必定存在这样的一个单元体,

三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为

1,

2,

3且规定按代数值大小的顺序来排列,即

1

2

314

三、应力状态的分类(Theclassificationofstresses-state)1、空间应力状态(triaxialstress-stateorthree-dimensionalstress-state)

三个主应力

1、

2、

3

均不等于零2、平面应力状态(biaxialstress-stateorplanestress-state)

三个主应力

1、

2、

3中有两个不等于零3、单向应力状态(uniaxialstress-stateor

simplestress-state

)

三个主应力

1、

2、

3中只有一个不等于零

3

1

2

2

3

1

2

2

1

1

1

115例题

1画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面16S平面254321543211

x1

x1

x2

x2

2

23

3

3FM17alSF

例题

2画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体

xzy4321zy4321FSMZT1812yxzzy4321FSMZTxzy43213M19例题3分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pDyz

薄壁圆筒的横截面面积mmnpD

′nn(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F20直径平面(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象p

"yOFNFNd

21例4:圆球形薄壁容器，壁厚为t，内径为D，承受内压p作用。22平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有

x,xy

和

y,yx§7-2

平面应力状态分析-解析法(Analysisofplanestress-state)x

xyz

y

xy

yx

x

y

xy

yx23一、斜截面上的应力(Stressesonanobliquesection)1、截面法(Sectionmethod)

假想地沿斜截面ef将单元体截开,留下左边部分的单体元eaf作为研究对象xya

x

x

yx

xyef

nefa

x

xy

yx

y

α

ααnα24xya

x

x

yx

xyef

n(1)由x轴转到外法线n，逆时针转向时则

为正(2)正应力仍规定拉应力

为正(3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转

为正2、符号的确定(Signconvention)efa

x

xy

yx

y

α

ααnα25

设斜截面的面积为dA,ae的面积为dAcos,af

的面积为dAsin

efa

x

xy

yx

y

α

ααnαefaαdAdAsin

dAcos

3、任意斜截面上的应力(Thestressactingonanyinclinedplane)

对研究对象列n和t方向的平衡方程得26化简以上两个平衡方程最后得不难看出即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数27efa

x

xy

yx

y

α

ααnα二、最大正应力及方位(Maximumnormalstressandit’sdirection)

1、最大正应力的方位(Thedirectionofmaximumnormalstress

)令

0和

0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.282、最大正应力(Maximumnormalstress

)将

0和

0+90°代入公式得到

max和

min(主应力）下面还必须进一步判断

0是

x与哪一个主应力间的夹角29(1)当

x>y时，

0

是

x与

max之间的夹角

(2)当

x<y

时，

0

是

x与

min之间的夹角(3)当

x=y

时

，

0

=45°，主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来则确定主应力方向的具体规则如下若约定|

0|<45°即

0

取值在±45°范围内30二、最大切应力及方位(Maximumshearingstressandit’sdirection)

1、最大切应力的方位(Thedirectionofmaximumshearingstress

)令

1和

1+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.312、最大切应力(Maximumshearingstress

)将

1和

1+90°代入公式得到

max和

min比较和可见32例题4简支梁如图所示.已知mm

截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为

=-70MPa，

=50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.A

mmal

A

解：把从A点处截取的单元体放大如图33因为

x

<y，所以0=27.5°与

min对应xA

A

0

1

3

1

334

x

y

xy例题5

图示单元体，已知

x

=-40MPa，

y

=60MPa，

xy=-50MPa.试求ef

截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30°ef(1)求

ef截面上的应力35(2)求主应力和主单元体的方位

x

=-40MPa

y

=60MPa

x

=-50MPa

=-30°因为

x

<y，所以0=-22.5°与

min对应36

x

y

xy22.5°

1

337解（1）求主平面方位因为

x

=

y

，且

x>0例题6求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.

xy所以

0=-45°与

max对应45°（2）求主应力

1=

，

2=0，

3=-

1

338第七章作业2：7.13、7.17、7.18397.19、7.21、7.28§7-3

平面应力状态分析-图解法

(Analysisofplanestress-statewithgraphicalmeans)一、莫尔圆(Mohr’scircle)将斜截面应力计算公式改写为2222+40

因为

x，y，xy皆为已知量，所以上式是一个以

，

为变量的圆周方程。当斜截面随方位角变化时,其上的应力

，

在-直角坐标系内的轨迹是一个圆.1、圆心的坐标(Coordinateofcirclecenter)2、圆的半径（Radiusofcircle)此圆习惯上称为应力圆(planestresscircle),或称为莫尔圆(Mohr’scircle)41(1)建

-坐标系,选定比例尺o

二、应力圆作法（Themethodfordrawingastresscircle)1、步骤（Steps)xy

x

x

yx

xy

y

y42D

xyo

(2)量取OA=xAD

=xy得D

点xy

x

x

yx

xy

xAOB=y(3)量取BD′=yx得

D′

点

yB

yxD′(4)连接DD′两点的直线与

轴相交于C

点(5)以C为圆心,CD

为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C43(1)该圆的圆心C点到坐标原点的距离为(2)该圆半径为D

xyo

xA

yB

yxD′C2、证明(Prove)44三、应力圆的应用（Applicationofstress-circle)1、求单元体上任一截面上的应力(Determinethestressesonanyinclinedplanebyusingstress-circle)

从应力圆的半径CD按方位角

的转向转动2

得到半径CE.圆周上E

点的坐标就依次为斜截面上的正应力

和切应力

。D

xyo

xA

yB

yxD′C2

0FE2

xya

x

x

yx

xyef

n45证明：D

xyo

xA

yB

yxD′C2

0E2

F46点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。说明AB

夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。2

OCBA472、求主应力数值和主平面位置

(Determineprinciplestressandthedirectionofprincipleplanebyusingstresscircle)(1)主应力数值A1和B1两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力

1，

2

1

2D

xyo

xA

yB

yxD′C2

0FE2

B1A1482

0D

xyo

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1（2）主平面方位由CD顺时针转2

0到CA1所以单元体上从

x

轴顺时针转

0（负值）即到

1对应的主平面的外法线

0确定后，

1对应的主平面方位即确定493、求最大切应力(Determinemaximumshearing

stressbyusingstresscircle)G1和G

两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力2

0D

xyo

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1G1G2因为最大最小切应力等于应力圆的半径50

o例题7从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,

x

=-1MPa,

y

=-0.4MPa,

xy=-0.2MPa,

yx

=0.2MPa,(1)绘出相应的应力圆(2)确定此单元体在

=30°和

=-40°两斜面上的应力。

x

y

xy解:(1)画应力圆量取OA=

x=-1,AD

=

XY=-0.2,定出D点;ACBOB

=

y=-0.4和，BD′

=

yx=0.2,定出D′点.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

为直径绘出的圆即为应力圆。51将半径CD

逆时针转动2

=60°到半径CE,E

点的坐标就代表

=30°斜截面上的应力。(2)确定

=30°斜截面上的应力E60°(3)确定

=-40°斜截面上的应力将半径

CD顺时针转2

=80°到半径CF,F

点的坐标就代表

=-40°斜截面上的应力。F80°AD′C

BoD

30°

40°

40°

30°

30°=-0.36MPa

30°=-0.68MPa

40°=0.26MPa

-40°=-0.95MPa52

例题8两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试绘出截面c上a,b

两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。12015152709zab250KN1.6m2mABC53+200kN50kN+80kN.m解:(1)首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图Mmax=MC=80kN•mFSmax=FC左

=200kN250KN1.6m2mABC5412015152709zab(2)横截面C上a点的应力为a点的单元体如图所示a

x

x

xy

yx55由

x，

xy

定出D

点由

y，

yx

定出D′

点以DD′为直径作应力圆O

C(3)做应力圆

x=122.5MPa，

xy

=64.6MPa

y=0，

yx

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A1

1

3A2A1，A2两点的横坐标分别代表a

点的两个主应力

1和

3A1点对应于单元体上

1

所在的主平面56

a

x

x

xy

yx

0

1

312015152709zab(4)横截面C上b点的应力b点的单元体如图所示b

x

x57

b点的三个主应力为

1所在的主平面就是x

平面,

即梁的横截面Cb

x

x(136.5,0)D(0,0)D′

158

已知受力物体内某一点处三个主应力

1、

2、

3利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。一、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力(themaximumnormalstressandshearstressinthree-dimensionalstress-state)§7-4

三向应力状态分析(analysisofthree-dimensionalstress-state)

3

1

2

2

3

1

1

3

首先研究与其中一个主平面

(例如主应力

3所在的平面)垂直的斜截面上的应力

1

2

2

用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象

2

1主应力

3

所在的两平面上是一对自相平衡的力，因而该斜面上的应力

,

与

3无关,只由主应力

1,

2

决定与

3垂直的斜截面上的应力可由

1,

2作出的应力圆上的点来表示

1

2

3

3

2

1

该应力圆上的点对应于与

3所在主平面垂直的所有斜截面上的应力

A

1

O

2B

与主应力

2所在主平面垂直的斜截面上的应力

,

可用由

1,

3作出的应力圆上的点来表示C

3

与主应力

１所在主平面垂直的斜截面上的应力

,

可用由

2,

3作出的应力圆上的点来表示

该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成

的阴影内abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc

1

2

1

2

3

A

1

O

2BC

3结论

三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力

该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A点的横坐标

1

A

1

O

2BC

3

最大切应力则等于最大的应力圆的半径

最大切应力所在的截面与

2所在的主平面垂直，并与

1和

3所在的主平面成450角。例题9

单元体的应力如图所示

,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.解:

该单元体有一个已知主应力

因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据x

截面和y截面上的应力画出应力圆.

求另外两个主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa由

x，

xy

定出D

点由

y，

yx

定出D′

点以DD′为直径作应力圆A1，A2两点的横坐标分别代表另外两个主应力

1和

3A1A2D′

O

DC

1

3

1=46MPa

3=-26MPa该单元体的三个主应力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa根据上述主应力，作出三个应力圆§

7-5

平面应变状态分析(Analysisofplanestrain-state)

平面应力状态下，已知一点的应变分量

x

、

y

、γxy

，欲求

方向上的线应变

α和切应变

,可根据弹性小变形的几何条件，分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量

x

、

y

、γxy在此方向上引起的线应变及切应