2020-2021学年新人教A版（2019）高一数学暑假作业综合十九（含解析）

综合十九-【新教材】人教A版（2019）

高一数学暑假作业（含解析）

一、单选题

1.已知集合4={y\y=2X—l,x6/?},B={x\x2—x—2<0},则（）

A.-IEAB.V3g5C.A\JB=AD.An（CRB）=A

2.已知石谭精巧=¥，则tag的值为（）

A.—在B.在C.—@D.在

2288

3.如图,正方形A2CZ）的边长为2,E为BC边的中点，

产为CD边上一点，若而.荏=|荏『，则|而|=

（）

A.3B.5

C.1D.

22

4.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如下面的折线图所示（虚

线为甲的折线图）,则以下说法错误的是

环数

2__l_J__L-±_L-I

IIIIII

0123456打靶次数

A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大

C.甲的环数的众数比乙的大D.甲打靶的成绩比乙的更稳定

5.已知i为虚数单位，复数z满足z（3+i）=4-2i,则下列说法正确的是（）

A.复数z的模为2

B.复数z的共筑复数为-l+i

C.复数z的虚部为T

D.复数z在复平面内对应的点在第四象限

logi（3—%<1

5''的值域为R,则小的取值范围为（）

{%2—6%+m,x>1

A.(0,8]B.M

C.(0,|]D.(-oo(-i]u(0,|]

7.如图，在正方体4BCD-4$iGDi中，P,Q,M,N,H,R是各条棱的中点（）

①直线.ADi〃平面MNP；@HDyICQ;③P,Q,H,R四点共面；④&C1平

面4Bi5.其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

X32

8.设三个函数y=2+x-2,y=log2x+x-2和y=x-3x+3x-1的零点分别

为无i、0和%3，则（）

A.xrx2>X3,xx+x2>2X3B.xxx2<^3»+%2=2%3

C.XX>^3，+x<D.2%3

1222X3XXX2=-^3»+%22

二、多选题

9.已知Q>o,b>0,下列说法成立的是（）

A.（。+8）2<2（«2+/?2）

B.[ln（a+〃）]2>InsIn。

C.若b（a+b）=4,则〃+5柜8

D.存在a,b>0使得302-lgl2>lg©+等）

10.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两

种三角函数：定义1-cos。为角。的正矢，记作versin仇定义1-sin。为角。的余矢，

记作couersinJ,则下列命题正确的是（）

.167r1

AA.versin——=-

32

B.versin（^—0）=coversin0

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2

C.若如0r>g"T=2,贝ij(couersinx—versin%)=-

versinx-15

D.函数/(%)=versin(2020x-g)+coversin(2020x+g)的最大值为2+y/2

36

11.下列命题中，正确的选项是（）

A.已知非零向量五工，若m+」|=|方一向,则万_1_了

B.对于任意的平面向量区石,3若心方=云1，且为羊。，则3=不

C.对于任意的平面向量。瓦乙若日〃石且方〃3贝联〃

D.设点〃是4ABC所在平面内一点，若宿=丫荏+y宿且x+y=点则4MBC

的面积是△48C面积的[

12.如图，在棱长为1的正方体ABCO-4中，下

列结论中正确的有（）

A.异面直线4C与8cl所成的角为60。

B.直线AB】与平面ABC[£>i所成的角为45°

C.二面角A—3iC—B的正切值为近

D.四面体/—A/C的外接球的体积为在7T

2

三、填空题

13.下面有四个命题:

①设一扇形的半径为2cm面积为4cm2,则这个扇形的圆心角的弧度数是2；

②设等边三角形ABC的边长为2,则向最丽在向量配上的投影为1；

③若tana=则sin2a=|.

④设函数/'（x）=sinx-acosx图象的一条对称轴为直线久=也则实数a的值为

—V3-

所有正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）

14.已知复数z满足z+2^=6+i,则z的实部为.

15.在四棱锥P-ABC。中，底面A8C。是边长为2的正方形，侧面2481底面ABC。，

且乙4PB=60。，当APAB的面积最大时，四棱锥P-ABCO的高为,四棱锥

P-48CD外接球的表面积为.

16.从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率

分布直方图(如图所示).由图中数据可知体重的平均值为kg：若要从体重在

[60,70),[70,80),[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项

活动，再从这12个人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率

为.

四、解答题

17.已知函数/'(%)=i4sin(cox+(p)(A>0,w>0,0<<2兀)的部分图象如图所示.

(1)求函数/(X)的解析式;

(2)若h(x)=/(x)"(x-3,xG[0,=],求九(x)的取值范围.

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18.已知锐角向ABC的内角4B,C所对的边分别a,b,c,且a=3,b=若万=(a,-b),

q=(sin2B,sinA),且方1军.

(1)求角B和边c.

(2)若点。满足耳力：而+；充，求△4C0的面积.

19.某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：

方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2次，超过2

次每次收取维修费200元.

方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3

次每次收取维修费200元.

小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此

搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：

维修次数0123

空调台数20303020

用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率.

(1)求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率;

(2)请问小李选择哪种质保方案更合算.

20.南宁地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利.已知

地铁2号线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2<t<20,经市场调

研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔f相关，当10WtW20时，地铁为满载状

态，载客量为500人；当2Wt<10时，载客量会减少，减少的人数与(10成

正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为s(t).

(1)求s(t)的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；

(2)若该线路每分钟的净收益为Q一.⑴;2656—出元)问：当列车发车时间间隔为

多少时，该线路每分钟的净收益最大？

21.如图，AABC为正三角形，且BC=CD=2,CD1BC,将ZABC沿BC翻

(1)若点A的射影在8力上，求4。的长；

(2)若点A的射影在4BCD中，且直线4B与平面AC。所成角的正弦值为警，求A。

的长.

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22.如图，棱柱4BCD中，底面4BCD是平行四边形，侧棱44i1底面A8C£),

过A8的截面与上底面交于PQ,且点尸在棱45上，点。在棱GB］上，且AB=1,

(1)求证：PQ"A\B\；

(2)若二面角4--C的平面角的余弦值为专，求侧棱BBi的长.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

化简集合4,B即可得出结论AUB=4属于简单的题型.

本题考查了集合的并集运算以及运算能力，属于基础题.

【解答】

解：因为4-{y\y=2X-l,xeR}={y\y>-1}—(—1,+oo),

B——{x\x2—x—2<0]={x|-1<x<2]=(-1,2),

所以4UB=4

故答案为：A\JB=A.

故选C.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，诱导公式以及三角函数的化简求

值，属于基础题.

根据诱导公式和二倍角公式对原式分母进行化解，利用两角和的三角函数公式对原式分

子进行化简，得到1加才+乎”跳，再根据照=如心，得到ltaiLE+逛=9，

---------------co«n9'>1

cos工

即可得到答案.

【解答】

sin(x+-)曲1(工+不)

解：因为~Tt~~~Tt~

281n.-2)曲心+£)2sin(\--)eo«(---)

1.,41.、瓜

一SULTH----CUSTH-----CUSX

=22=22

sin(：—x)CO«N

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所以taikr=>

2

故选B.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的数量积应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

法一：建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解即可.

法二：由题意，根据向量的运算，可得荏1请，即EF14E,再由E是BC的中点,

进而可求解，得到答案.

【解答】

解：法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AQ所在直线为），轴，

建立平面直角坐标系如图所示，

则4(0,0),E(2,l).设|而|=x,则F(x,2),故都=(x,2)，荏=(2,1).

■.■AF-AE=\AE\2,•••(x,2)-(2,1)=2x+2=5,解得x=|,

故选D.

法二：连接EF

D

AB

由题意，■.■AF-AE=\AF\\AE\cosZ.EAF=\AE\2,

：.|AF\cos/.EAF=|宿，

EF_L4E.：E是8c的中点，

•••BE=CE=1.设CF=%,

则CF=2-x,

在RM4EF中，AE2+EF2=AF2,

即2?+I?+(2—x)2+l2=22+x2,

解得x=|>AF=y/AD2+DF2=j.

故选。.

4【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了计算数据的平均数和中位数、众数和方差的应用问题，是基础题.根据图中

数据，计算二人的平均数、中位数、众数和方差即可.

【解答】

解：甲的平均数为(8+6+8+6+9+8)=?,

OO

乙的平均数为*x(4+6+8+7+10+10)=柒二人平均数相等，A正确；

甲的中位数是8,乙的中位数是8,两人中位数相等，8正确；

甲的众数是8,乙的众数是10,甲的众数比乙小，C错误；

甲的数据与乙比较更集中些，更稳定些，。正确.

故选：C.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念、复数的代数表示及其几何意义、共轨复数、复数的模、复数的四

则运算，属于基础题.利用复数的四则运算化简复数z为代数形式，对各选项逐项判定,

即可求出结果.

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【解答】

解：因为z(3+i)=4—2i,

2

匚匚4-2i(4-2i)(3-i)12-4i-6i+2i.

JVT以MZ=---=---------=----------=1—i,

3+i(3+i)(3-i)10

所以复数z的模为J12+(―1)2=V2.故A错误；

复数Z的共规复数为1+i,故8错误;

复数Z的虚部为-1,故C错误；

复数Z在复平面内对应的点为在第四象限，故。正确.

故选£>.

6.【答案】C

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查分段函数的值域，考查分类讨论思想、函数思想，属于中档题.

讨论m>0,zn<0和m=0时函数的单调区间，得到mW0时不成立，zn>0时需满足

/(3)=171-9<mlogi(3-1)=-m,解出即可.

2

【解答】

解：①若?n>0,

则当x<1时，f(x)=logi(3-x)7n单调递增，

2

当x>1时，/(%)=x2—6%4-m=(%—3)2+m—9在(3,+8)上单调递增，在［1,3)上

单调递减，

若函数值域为R,则需〃3)=m-9Wm/ogJ3-l)=m,解得0<瓶w*

②若m<0,

则当％<1时，f。)=logi(3-%)7n单调递减,

2

当x21时，/(x)=/-6尤+m=(x-3)2+m-9在(3,+8)上单调递增，在［1,3)上

单调递减，

不满足函数值域为凡不符合题意，舍；

③若m=0,易知此时不满足题意；

综上：根的取值范围为(0,3，

故选C.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了空间中线线，线面之间的关系，属于中档题.

根据题意，结合面面平行的判定及性质可判断①；假设②成立，推出矛盾，判断②；

利用PQ//HR即可判断③；根据线面垂直的判定与性质即可判断④.

【解答】

解：因为M,N分别是4/8/和C/。/的中点，所以MN〃A/D/,

因为MNC平面4DD14,4/。/<=平面ADD14,

所以MN〃平面A0D1公,

同理NP〃平面40。遇1，

因为MN,NPu平面MNP,MNCNP=N，

所以平面MNP〃平面ADCMi，因为ZD】u平面4DD14,

所以45〃平面MNP,①正确；

对于②，假设“51CQ,显然DDi1CQ,DD1nHD1=D1,DD1u平面DD^AiA,H%u

平面。。1、小，所以CQ，平面OOi.Ai.A,又CD_L平面OR.猫“，所以CQ〃CD,与CQCl

CD=C矛盾，故②错误.

对于③，因为PQ"AC"HR,故P,Q,H,R四点共面，③正确；

对于④，显然&G-LB1D1,ArA1B1D1,AtAn&&=Ar,ArAu平面AiACC】，41clu

平面AiACC],所以当。1J■平面&4CC1，&CU平面4p4CCi，所以BWiL&C,同理可

证&A1ArC,又当。1nBXA=Bi，B]Di，BiAu平面AB"],所以力传_L平面

故④正确

所有正确的是①③④，

故选C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查函数零点与方程根的关系，分别作出函数y=2*与y=log?%,y=2-x三个

第12页，共26页

函数，根据函数图像结合对称可得%+不=2,然后利用基本不等式求出结果，属于中

档题.

【解答】

解：对于函数y=x3—3x2+3x—1,y'=3x2—6x+3=3(x—l)2>0,等号仅在x=

1处取得，

故函数y=/-3/+3%-i是增函数，且刀=1时，y=0,故X3=1,

画出函数y=2工与y=logzX,y=2-x三个函数的

图象如图：

其中4Q1，yi),8(小，乃)分别是两个函数y=2"与y=log?》的图像与直线y=2-x的交

点，

由指数函数y=谟与y=logM的图像关于直线y=x对称，

且y=2-x也关于y=x对称，所以交点A,8关于直线y=x对称，

所以即2—X]+2—刀2=+%2，所以%1+》2=2.

再由基本不等式，得X62<(鬻)2=1(0<X1<%2).

故选B.

9【答案】AC

【解析】

【分析】

本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题.

利用基本不等式逐项判断，要注意等号成立条件.

【解析】

A：变形后，利用。2+炉》2ab即可，当且仅当a=b等号成立，故A正确;

B：令a=b=5易得8错误：

C：由假设知，Q+b=:而a+5b=(Q+b)+4b=(+4b>24^=8,成立，

当且仅当b=l等号成立，故C正确；

。lg6+詈)2电(2楞亏=1，当且仅当^=管，b=5a等号成立，

31g2lgl2=喘等，因为In81nl2<”叱丫=(哼J/y<(InlO)2

故需<1，。错，

故选AC.

10.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查新定义、考查了三角函数y=4sin(3x+s)的性质，考查了三角函数的恒等变

换、三角函数的最值以及三角函数的化简与求值，属于中档题.

A：利用新定义和诱导公式，得到wsinl-cos粤1+cos，结合特殊角

«5o«5

的余弦值即可判定;B：由新定义及同角三角函数关系,得出。ersin6-8)=l-cos(=-

6)=1-sin0=coversin6,可知8正确；C：利用新定义、二倍角公式以及同角三角

函数关系，可进行化简求值可判定；D；由新定义化简得到/"(x)的解析式，再利用正弦

函数的性质，得出最大值可判定.

【解答】

解：由题意，依次各选项进行分析:

对A,tv/sin——=1—cos——=1+cos—=1+；=-,所以A不正确；

*JJ<1—2.

对B,versin(^—0)=1—cos(^-0)=1—sin。=coversin0,所以8正确;

若coversinx-11-sinx-l

对C,=2,即得=tan%=2,所以

versinx-11-cosx-l

(coversinx—versin%)2=[(1—sinx)—(1—cos%)]2

=(cosx—sin%)2=1—sin2x

a2tanxy

=1-----------=1一言=3所以C正确;

l+tan2x1+245

对Q,因为/(j)=rrrsin^2()20j,-+c(n?ersin[2()2(kr+I)

第14页，共26页

=2-«J«(202()J---sin(2O2(kr+()=2-2sin(20201+,

所以f(x)的最大值为4,故。错误.

故选BC.

11.【答案】AO

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的基本概念，属于中档题.

依据概念逐一判断，即可，对于。的判断稍难，注意适当变形.

【解答】

解:对于A,将|五+另|=|2一石|两边平方,

得五2+b2+2a-b=a2+b2—2a-b'

a.K=0,即7f_L了，故正确；

对于8,向量落石,冷茜足五=

则方不正确,

可能了，了不等，但方1(3—F)；

故错误；

对于C,对于任意的平面向量优瓦3

当石=6时，对于任意向量五兄，都有五〃石且成立，

但五//不显然不一定成立，故错误；

对于。，因为丽7=x^+y而，且x+y=}

所以2府=2x南+2y前，

令2而7=而，则B，N,C三点共线，且N点落在线段8c上，M为线段AN的中点,

所以AMBC的面积是△力BC面积的5故正确.

故选AD.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查了球的表面积和体积，异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角，线面垂

直的判定，线面垂直的性质和面面垂直的性质，属于较难题.

利用异面直线所成角求法，对A进行判断，利用面面垂直的性质得当。上平面ABC15,

再利用直线与平面所成角求法，对B进行判断，利用线面垂直的判定得BiCJ■平面480,

再利用线面垂直的性质得4。18传，再利用二面角的求法，对C进行判断，利用四面

体久-的结构特征得其外接球半径，再利用球的体积公式计算，对。进行判断,

从而得结论.

【解答】

解：对于4、在棱长为1的正方体4BCD-481的。1中，

因为4c〃&Ci，所以直线为G与BCI所成的角就是异面直线AC与BQ所成的角，

而小&BC1是正三角形，因此直线&的与SC1所成角为60。，

即异面直线4c与所成的角为60。，因此A正确；

对于8、在棱长为1的正方体ABCD-AiBiGDi中，

因为平面ABCiDi1平面B&C1C交于BC],

设BCiCiBiC=。，则BiOLBC],而当。u平面BBRiC,

所以当。1平面

因此连接AO,则AO是直线AB】在平面ZBG2内的射影，

即4当4。为直线AB】与平面4BGD1成角，

而sin/Bp4O=氏所以NBp4。=30。，

即直线4名与平面ABCiA成角为30。，因此B不正确；

对于C、由8知，在棱长为1的正方体48。。-4道传1。1中，

因为BO1BCAB1BC

而40n48=4,48U平面A3。，4。u平面A50,

所以81c1平面ABO,而40u平面ABO,因此4。18传，

所以乙4OB是二面角4-BiC-B的平面角，

因此tan乙4。8=—=V2,

BO

即二面角BiC-8的正切值为近，因此C正确；

对于D、因为四面体5-的外接球就是棱长为1的正方体4BC。-&B1GD1的外

接球，

而棱长为1的正方体4BCD-4当口久的外接球半径为日，

第16页，共26页

即四面体。i-4晶。的外接球半径为日，

所以四面体。1—4&C的外接球的体积为1;rx(乎)=乎万，因此。正确•

故选ACD.

13•【答案】①④

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判定，涉及扇形的弧长，面积与圆心角，向量的投影，二倍角公式

辅助角公式以及三角函数的性质，属于中档题.

立足题中各种说法结合对应知识点逐一进行推理计算即可求得正确结果.

【解答】

解：对于①，因为扇形的半径为2cs,面积为4cm2,设扇形的圆心角的弧度数为a,

则［x2xa2=4,解得a=2.

所以①正确：

对于②，因为等边三角形A8C的边长为2

所以＜荏.配＞=120。，|荏|=2,

故向量而在向量部上的投影为|而|cosl20。=2X(-|)=-1,

所以②不正确:

对于③，因为tana-\

所以5也2a二驾安

sinza+cos2a

2tana

14-tan2a

2X;4

=砂屋

故③错误；

对于④，因为f(x)=sinx—acosx

=V1+a2sin(x-8)，(其中tan。=a),

又函数一条对称轴为直线％=3

O

从而得到/G)=土五

O

即；；一。一人力+；.k€Z.

所以。A'TF一;.k€Z

因为tan。=a

a=—y/3-

故④正确.

所以答案为①④.

14.【答案】2

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

设2=。+6，（＜1/6/?）.根据复数2满足2+2£=6+3利用复数的运算法则、复数相

等即可得出.

【解答】

解：设2=。+6，（a,bE/?）.

,•,复数z满足z+2z=6+3

3a-bi=6+i,

可得：3a=6,—b=1,解得a=2,b=1.

则z的实部为2.

故答案为2.

15.【答案】V3

287r

—

【解析】

【分析】

本题考查简单多面体及其结构特征，考查面面垂直的性质和线面垂直的判断，考查球的

表面积公式，属于较难题.

作PH1AB,H为垂足,由题得到PH1底面4BC0.当”为AB的中点时，△PAB为等边

三角形，此时面积最大，即可得到四棱锥P-4BCD的高；设等边A/MB的中心为01，

正方形A8CZ）的中心为。2,过。1、。2分别作平面尸AB、平面ABC。的垂线，且交于点

第18页，共26页

0,求出四棱锥P-ABCD外接球的半径，根据球的表面积公式即可得解.

【解答】

解：点P在以弦48=2,所对的圆周角为60。的优弧APB上运动，

作“为垂足，

由侧面P4B，底面ABCD,侧面P4Bn底面ABC。=AB,

则PH_L底面ABCD.

当〃为AB的中点时，APAB为等边三角形，

此时△P4B的面积最大，且PH=V3,

即四棱锥P-ABC。的高为次.

设等边△P4B的中心为0「正方形A8CD的中心为。2，

过。1、。2分别作平面厚8、平面A8CQ的垂线，且交于点O,

则。为四棱锥P-4BCC外接球的球心，

显然R=J。2。2+。2炉=](曰)2+近?=

于是四棱锥P-4BC。外接球的表面积为47r(1)2=等.

故答案为旧；

16.【答案】64.5

2

3

【解析】

【分析】

本题考查频率分布直方图，分层抽样和古典概率的计算，属于中档题.

利用频率分布直方图中的平均值计算公式得出体重的平均值，再得用分层抽样原理得到

各组所要抽取的人数;最后利用古典概型得出概率

【解答】

解：体重的平均值为45x0.005x10+55x0.035x10+65x0.03x10+75x0.02x

10+85x0.01X10=64.5.

体重在[60,70),[70,80),[80,90]三组内的男生分别是30人,20人,10A;

用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，这三组抽取的人数分别是6人，4人，2人

从这12人中选两人当正副队长的基本事件总数为132,两人身高不在同一组内这个事

件所包含的基本事件数为88,

所以两人身高不在同一组内的概率为瑞=|.

故答案为64.5|.

17.【答案】解：⑴由图象有4=g，最小正周期7T偌+9=兀,

27T

所以3=—=2,所以f(x)=V3sin(2x+(p).

由f(得)=一遮，得2+0=手+2左江，kEZ,

所以W=g+2k兀，kEZ.

又因为OV0V2"，所以W=g.

所以/(%)=V3sin(2x+j)

(2)由(1)可知/(x)=V3sin(2x+g),

TC

h(x)=f(x)•f(x--)

=V3sin(2x+g)xV3sin2x

1V3

=3sm2x(-sin2x4-—cos2x)

33V3

=-sinz92xH——sin2xcos2x

22

31—cos4x3V3

=---------------1——sin4x

224

3n3

=-sin(4x--)+-

因为％W［()用,所以4%_,€知I，

所以sin(4x—，)€卜［，斗

所以九(%)的取值范围为［O，］.

第20页，共26页

【解析】本题考查函数y=As讥(3%+9)的图象与性质的综合应用，属于中档题.

(1)考查由部分图象求解析式，由最值求A,最小正周期7求3,根据定点求仍即可求

出函数的解析式；

(2)由⑴可知/(%)=V5sin(2%+：),九(工)=/(%)•/(%—t)=|sin(4x-弓)+京确定

的范围，即可求出九(%)的取值范围.

18.【答案】解：⑴由

得万•1=0

即(0,—b)•(sin2B,sinA)asin2B—bain4=0,

由正弦定理，

2sin.AsinBco«B-tinDsin-4=(),

又sin4W0,sinfiW0,

co«Z?=J,

又Be(°O•=B=：.

由Z?2=a2+c2-2accosB,

代入a-3,b=\，7得c?—3c+2=0,

,c=l或2,

当c=l时，不合题意，舍；

当。=2时;a2<b2+c2,符合题意，

所以r=2；

(2)-E+2前，

33

1nnn

+-AB=^(AC-A^),

3333

•••D在BC上，且为靠近C的三等分点，

SAapr=_CLCSIYIB=—x3x2x——-=——■»

h2222

3

.c_1c_1>/3_V3

••dA4CD_—3x

【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的线性运算，两向

量垂直的坐标表示，解题关键是由正弦定理化边为角，属于基础题.

(1)由向量垂直得数量积为0,再由正弦定理化边为角，可求得B角，然后由余弦定理

求得c,注意取舍.

(2)由向量的线性运算求得。在BC上位置，利用1248c的面积得出结论.

19.【答案】解：(1)设“购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次”为

事件A，

购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数为X,

则rn.Pic(八X，=3c、)=2cx—3x—3F,2、x—1x—1=—13,P人(〜X=4彳)、=-x3—3F,2x—3x—1=—21,

'710105550v71010105100

Q1Q111

P(X=5)=2X-xi=—,=6)=iXi=—,

'J10525'75525

P(A)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=盖.

答：买这样的两台空调在质保期的两年内推使次数提过2次的概率为盖.

(2)选择方案一，小李可能交纳的维修费为300+200xP(X>3)=300+200x盖=

426；

②选择方案二，小车可能交纳的维修费为400+200XP(X>4),

其中P(X>4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=急一总=需，

所以400+200xP(X>4)=474.

因为474>426,所以小李选择质保方案一更合算.①

方案一的维修费用期望为：200X总+400x磊+600xW+800x圭=240元

维修总费用为：300+240=540元,

方案二的维修费用期望为：200x芸+400x4+600x2=114元

维修总费用为：114+400=514元，

故方案二更合算.

【解析】本题考查互斥事件的概率以及相互独立事件同时发生的概率，考查决策问题,

属于中档题.

(1)购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数为X,则X>2时X的可能值为

3,4,5,6,分别求出相应概率，然后利用互斥事件的概率的加法公式即可求解;

(2)分别计算两种方案下维修费用，然后比较可作出正确决策.

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20.【答案】解：(1)当10WtW20时，s(t)=500.

当24t<10时，s(t)=500-k(10-t)2,

vs(2)=372,372=500-/cx(10-2)2,解得/c=2.

s(t)=500-2(10-t)2.

.“八=(500—2(10—)2,210

"()(500,10<t<20

•••s(5)=500-2X52=450人.

(2)当10<t<20时，s(t)=500.

8x500-2656f1344,八一1344,八.

•••Q=----------------60=---------60<---------60=74.4.

ttio

可得Qmox=74.4.

当2Wt<10时，s(t)=500-2(10-t)2.

...Q=幽士&矢匕幽-60=-16(t+费)+260,

因为函数y=t+中在tG[2,4)上为减函数，在tG(4,10)上为增函数，

所以当t=4时，Qmg=132.

所以当列车发车时问间隔为4时，该线路每分钟的净收益最大为132元.

【解析】【试题解析】

本题考查了分段函数的性质、反比例函数的单调性、对勾函数的性质，考查了推理能力

与计算能力，属于中档题.

(1)当10<t<20时，s(t)=500,当24t<10时，s(t)=500-fc(10-t)2,由s(2)=

372,解得即可得出s(t).

(2)当10WtW20时，s(t)=500,可得、=等一60,利用反比例函数的单调性即可

得出Qmax，当2Wt<10时，s(t)=500-2(10-t)2,可得Q=-16«+手)+260W

132,利用对勾函数的性质即可得出.

21.【答案】解：(1)取BC的中点O,连接4。并延长交BO于

・；•・•△ABC是正三角形，C'D±BC，OM1BC,OM//CD,

•・.M是8。的中点，将△力BC沿BC翻折，

若点A的射影在BD上，则4M，平面BCD,

•