2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷（四）文科数学

2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷(四)

文科数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不

清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当

马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡

上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷

类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写

上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用

0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选

修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1-i

1.复数z=「在复平面内对应的点位于()

3+i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

把复数的分母部分进行实数化即可，Z=L=：:二化简后即可得到对应点，进而

3+i(3+z)(3-i)

得到答案.

【详解】Z=上」(l-z)(3-i)_2-4z_l-2z2i

(3+z)(3-i)-io="y-

3+z5~5

]2

在复平面内对应的点为,

1-i

・••复数z=——在复平面内对应的点位于第四象限

3+z

答案选D.

【点睛】本题考查复数的化简，属于简单题.

2.设a,。为非零向量，则“a//”是"a,b方向相同”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的共线的充要条件，即可作出判定，得到答案.

【详解】因为为非零向量，所以a//b时，方向相同或相反，

因此“a//。”是“a力方向相同”的必要而不充分条件.

故选B.

【点睛】本题主要考查了充要条件和必要条件的判断，以及向量共线的充耍条件，属基础题.

其中解答中熟记利用向量共线的充要条件是解答的关键，着重考查了推理与判断能力.

3.若集合{幻2'>20}={幻/因(％-0)<0},则实数a的值为()

2

13

A.—B.2C.-D.1

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指数函数与对数函数的性质，利用集合相等的性质列方程求解即可.

33

【详解】由2'〉2=2?‘解得光>耳；

由log[(x—a)<0=logj解得%>a+i,

22

因为{x|2>20}={x|/og|(x—a)VO},

2

31

所以a+l=—,解得a=—.故选A.

22

【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用以及集合相等的性质，意在考查灵活

运用所学知识解答问题的能力，是基础题.

4.已知函数/(X)是定义在R上的偶函数，且在［0,+e)上单调递增，则三个数

(

«=/(-log313),b=flog,-,c=/(2°6)的大小关系为

ka>

A.a>h>cB.a>c>h

C.b>a>cD.c>a>h

【答案】C

【解析】

【分析】

根据奇偶性得：a=/(log313),通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用

函数的单调性得到a/,c的大小关系.

06

2=log39<log313<log327=3；log,|=log28=3,()<2-<2'=2

28

6

即：0<2°-<log313<log!!

28

/(X)为偶函数,,.a=/(-10g313)=/(log3l3)

又在［(),+8)上单调递增

(,6

•••/log,|j>/(log313)>/(2),即“a>c

本题正确选项：C

【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同

一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.

5.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若

同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是()

*率巾1卧

0OM）1-----------------rt

0020卜-------r*,,<

00151--------r—-I-I—1

rm.

4（150M）70M）90100板摘｛分）

A.成绩在［70,80］分的考生人数最多

B.不及格的考生人数为1000人

C.考生竞赛成绩的平均分约70.5分

D.考生竞赛成绩的中位数为75分

【答案】D

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图中数据，逐项判断即可得出结果.

【详解】A选项，由频率分布直方图可得，成绩在［70,80］的频率最高，因此考生人数最多，

故A正确；

B选项，由频率分布直方图可得，成绩在［40,60）的频率为0.25,因此，不及格的人数为

4000x0.25=1000,即B正确；

c选项，由频率分布直方图可得：

平均分等于45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,即C正确;

D选项，因为成绩在［40,70）频率为0.45,由［70,80］的频率为0.3,

所以中位数为70+10*幽。71.67,故D错误.

0.3

故选D

【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会分析频率分布直方图即可，属于常考题型.

6.在矩形ABC。中，=4,,4=2.若点M，N分别是CO,8C的中点，则

AM-MN=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

本题可以以AO，A8两个向量作为基底向量用来表示所要求的AM，MN，然后根据向量

的性质来运算，从而得出结果.

【详解】由题意作出图形，如图所示：

D____________________C

AB

由图及题意，可得：

AM=AD+DM=AD+-AB,

2

MN=CN—CM=-CB--CD^--BC+-DC=--AD+-AB.

222222

AM-MN=^AD+^AB^-^-^AD+^AB^

1,1,11

=—|AD|2+i|AB|2=——.4+—16=2.

2424

故选c.

【点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题.

22221

7.已知椭圆二+4=1«>6>0）与双曲线二—（a>0,b>0）的焦点相同，则双

/b2a2b22

曲线渐近线方程为（）

A.y=~~2~XRy=土6。

C.y=+xD.y=±-\/2J

2'

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可得2/一2〃="+〃，即“2=3〃，代入双曲线的渐近线方程可得答案.

Y2y2y2]

【详解】依题意椭圆j+4=l(a>b>0)与双曲线^=-(a>0,b>0)即

a~bab~2

x2y2

7—Zr=l(a>°,b>°)的焦点相同，可得：黯_/=_1/+%,

—22

22

h

即/=3〃，...2=正，可得迈=坐，

a3a3

五

b

双曲线的渐近线方程为：y=±交x=±gx,

a3

正

故选A.

【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运

算能力，属于基础题.

8.已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(_0,1),则a»2a=

()

272R1„1n2V2

------D.-C.l).--------------

3333

【答案】B

【解析】

【分析】

先由角a的终边过点尸(-61),求出cosa,再由二倍角公式，即可得出结果.

【详解】因为角a的顶点在坐标原点，始边与％轴正半轴重合，终边经过点P(-夜，1),

-V2V6

所以cosa

J2+1.3

因此cos2a=2cos2a-l=-.

故选B

【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公

式即可，属于常考题型.

9.若函数>="X)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可以是

A-B-

e+ee-e

I-x八x-x

C.=UD.=

XX

【答案】c

【解析】

【分析】

根据图象的对称性，单调性，特殊的函数值，等利用排除法可得.

【详解】当x-0时，r(%)一±8,排除力，6(1中的/(*)-*0)；

xex-0r

当XV0时/'(x)V0,而选项8中x<0时，/■(x)=------->0,选项。中/Xx)=------->0,

ex-e-xx

排除反D；

故选C.

【点睛】本题考查了函数的单调性、符号，极限等，考查数形结合思想.利用特殊点，特殊

的取值是快速解决这类问题的关键.本题是一道中档题.

22

10.已知点P是椭圆:+2=1上非顶点的动点，K，6分别是椭圆的左、右焦点，。是坐

标原点，若M是的平分线上一点，且耳加•MP=O,则|。加|的取值范围是()

A.[0,3)B.(0,2回C.[272,3)D.(0,4]

【答案】B

【解析】

【分析】

采用数形结合，通过延长耳M结合角平分线以及6M-MP=（）,利用中位线定理以及椭圆的

定义,得到|。“卜（卜"21P可=卜一|尸可，然后根据归闾的范围，可得结果.

【详解】如图，

延长F.M交PF2的延长线于点G,

•：F}MMP=O,：.F}M±MP.

又MP为/6?鸟的平分线，.FP司=pq,

且用为我。的中点.

•••0为耳耳的中点，•••|0”卜；归可.

中田固卜比2Hp律网，

，|。叫=#。-2|明卜14Tp可，

•.•4—2血＜,用卜4+2血，且|P6,4,

.•.阿同0,2⑹.

故选：B

【点睛】本题主要考查椭圆的应用，属中档题.

11.已知球。的半径为4,矩形ABCD的顶点都在球。的球面上，球心。到平面A3C0的距

离为2,设球内的一个质点落在四棱锥O—A6C。内的概率为P,则P的最大值为（）

1万31

A.---B.—C.----D.----

4万16167r12万

【答案】C

【解析】

分析】

根据勾股定理，可以得到矩形A8CD两边长的平方和，利用常用的不等式，可得出面积的最

大值，结合几何概型，可得P是四棱锥的体积与球的体积之比，可得结果.

【详解】设矩形的两邻边为》,丁，

由题易知丁+>2=4822孙，

当且仅当x=y时，取等号.

即矩形面积的最大值为24.

由几何概型知识知当四棱锥体积最大时，

L2x24a

产取最大值，故4皿=与------==•

16万

3

故选：C

【点睛】本题主要考查几何概型的应用，同时还考查了常用的不等式。2+。222/7,注意取

等号的条件，属基础题.

12.已知函数“X),对于任意实数,当时，记]/(力一/(%0)|的最大值

—%2—2工x«0

为%MG。)•若/(x)=~>则q.〃+2](T)的取值范围是()

乙IX,X>U

r9-

A.[1,4]B.[2,4]C.(2,4)D.1,-

【答案】A

【解析】

【分析】

先计算利用数形结合，画出|/(x)-1|图像，根据新定义，结合分类讨论的方法，可

得结果.

【详解】由题意得：/(-1)=-1+2=1,

%+2](-1)=|/(%)-1|^，xe[a,a+2],

|-x2-2JC-1|=|(x+1)',x<0

又|/(x)T=<

|2-|x-l|-l|=|l-|x-l||,x>0

可得的图象如图所示,

+.•.区间长度为2,

当。=一1时，

%g（T）=%j］（T）=|〃x）TL

所卬（X）TLT〃°H=I；

当。+2=—1时，

%g（T）=%T（T）=|〃x）TL

所以火X）TLT"—3）7=4,

,4.“+2］（一1）的取值范围为：［1，4］.

故选：A

【点睛】本题主要考查对新概念的理解，以及利用数形结合解决分段函数的问题，属中档题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横

线上.

13.学校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名

同学进行检查，将学生从11000进行编号，则编号落入区间［501,750］的人数为

【答案】10

【解析】

【分析】

按系统抽样的方法，得到抽样距，可得501,750具体在哪一组，简单计算，可得结果.

【详解】从1000名学生中抽取一个容量为40的样本,

系统抽样分40组，每组”四=25个号码,

40

每组抽取一个，

从501到750恰好是第21组到第30组，

共抽取10人.

故选答案为：10

【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，属基础题.

y＞x

14.已知实数x,＞满足＜x+3y44,则z=|3x+y|的最大值是一

xN—2

【答案】8

【解析】

分析】

画出可行域，利用z的几何意义求解即可

【详解】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：

其中A（—2,—2）,C（-2,2）

又2=V10,可知z的几何意义为可行域中的点到直线3x+y=O距离的而倍

可行域中点到直线3x+y=0距离最大的点为A(-2,-2).

工=氏(-2)-2|=8,

故答案为8.

【点睛】本题考查利用线性规划求解最值的问题，关键是能够明确目标函数所表示的几何意

义，利用数形结合来进行求解.

15.在平面直角坐标系x0y中，以点（1,0）为圆心且与直线如-y-21=0（〃住即相切的

所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.

【答案】（x-iy+y2=2

【解析】

试题分析：因为直线如一y—21=0恒过定点（2,T）,所以圆心（1,0）到直线

mx-y-2m-\=Q的最大距离为d=J（2—l）2+（0+1」=叵,所以半径最大时的半径

所以半径最大的圆的标准方程为（x-1尸+V=2.

考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.

【方法点睛】解决直线与圆的问题时，一方面，注意运用解析几何的基本思想方法（即几何

问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直

线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的

条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用.

16.在直线y=-2上任取一点Q,过。作抛物线f=4y的切线，切点分别为A、B,则直

线AB恒过定点______.

【答案】（0,2）

【解析】

【分析】

假设A（X1,y）,3（%,%），利用导数，分别求出抛物线在这两点的切线方程，根据两方程都

过点Q,通过观察发现，可得结果.

【详解】设Q（/,-2）,A（%,y）,

抛物线方程变为y=—f,则x,

42

则在点A处的切线方程为y—y=g%（x—5）,

化简得，y=^xtx-yi,同理，

在点B处的切线方程为y-^x2x-y2.

又点Q。,-2）的坐标满足这两个方程，

代入得：—2=/工/—y，—2=——y29

则说明A（x，yJ,都满足

方程—2=~xt—y,

即直线AB的方程为：y-2=^tx,

故直线AB恒过定点（0,2）.

故答案为：（0,2）

【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合应用，以及过定点问题，属中档题.

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.AABC的内角A、B、C所对的边分别为。、5、c.己知2sin3-sinC+cos3=2cosA,

且sin5¥1.

（1）求角。的大小；

（2）若4=近，角6的平分线交AC于。，且百，求C.

2「

【答案】（1）§乃仁）c=46

【解析】

【分析】

（1）在三角形中，可得到cosA=—cos（3+C）,结合两角和的余弦公式，化简，可得结果.

（2）在ACBO中，利用正弦定理，可得到NBDC,然后结合角平分线知识，可得a=b,

利用余弦定理，可得结果.

【详解】（1）由2sin3-sinC+cos3+2cos（B+C）=0,

得-2cos8cosC=cosB,

因为sinbwl,则cosbwO,

故cosC=-g,CG（0,1）.

则c=2%.

3

(2)在ACBO中,

BDBC

由正弦定理得:

sinCsinZBDC

则sinNBDC=BCsinC=变，

BD2

7TTT

故/BDC=—,则NC8A=—=NC48,

46

a=b=V?，

由余弦定理，c2=a2+h2—2ah-cosC=6»

即c=\/6.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，解决三角形中的问题，要联想到正弦定

理、余弦定理以及面积公式，通常也会和三角函数结合，以及不等式，属中档题.

18.已知等差数列｛4｝的前5项和为50,%（）=31,数列｛%｝满足

G+"+与++-^7=4什1（"€?/）.

14424'i、'

（1）求数列｛%｝的通项公式;

⑵记数列｛%｝前“项和为T“，求小9.

2019

【答案】⑴an=3n+\(2)4+3

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列的通项公式以及前〃项和公式，可得公差d,利用公式，可得结果.

⑵根据（1）的结论，通过计算q+•+叁++旨=勺（〃22）,与原式联立，可得c.，

然后利用公式法，可得结果.

【详解】（1）设等差数列｛4｝的公差为d.

5-(q+4)

50(%TO

依题意得,2=>5

%,=31

.-o=31

所以“4o.%=3

10-3

故=%+(〃-3)d=1()+(次—3)4,

即=3〃+1.

(2)由G+a+…+^Y=a“+|(〃eN*),①

当〃=1时，。］=。2=7,

"22时，q+尹…+言=%，②

①一②得：q=(6用—q)4"T=34-(〃之2).

故％9=7+3-(4+4?+…+423)

所以《019=7+3・J：：)=42019+3

【点睛】本题考查求等差数列的通项公式以及等比数列求和，属基础题.

.如图，已知三棱柱中，底面。，

19ABC—44cl4Al_LABC,N84C=904Al=1,

AB=6,AC=2.E,尸分别为棱CG，8C的中点.

(1)求异面直线EF与43所成角的大小；

(2)若G为线段AA的中点，试在图中作出过E、F、G三点的平面截该棱柱所得的多边

形，并求出以该多边形为底，4为顶点的棱锥的体积.

【答案】(1)(2)截面见详解，体积为且

48

【解析】

【分析】

(1)连接A。，AC；交于点。，根据中位线定理找到与48的平行线O尸，并找到异面直线

Er与AB所成角，计算OF,EROE长度，根据余弦定理，可得结果.

(2)画出截面GE/W,计算四边形GEF7V的面积，根据AB〃面GEEV,可得从到面

GEFN的距离，结合椎体体积公式，可得结果.

【详解】(1)连接AC,交于点。，连接QF,GE

如图

由AAJ.底面ABC,ACu面ABC,

所以A41_LAC,又NBAC=90°

所以ACLAB,ABu面AB4

所以ACJ•面AB4，

故四边形A&GC为矩形，所以G,O,E共线

。为AC的中点，所以OF〃Af,

故异面直线EF与AB所成角为NOEE

AA]=1,AS=>/3，AC—2,

且E，尸分别为棱CG，BC的中点

所以A6=2,OE=1,BC"

所以OF=1,EF=也

又OF2+OE?=EF?且OF=OE

所以AOE广为等腰直角三角形，

71

故NOEE=一

4

(2)取45的中点N连接GN,FN,

又G为线段A4的中点，所以GN//&B

贝UGN〃OF,且GN=OF

过£、尸、G三点的平面截该棱柱

所得的多边形为四边形GE/W

由(1)可知，NF//GEELGNLGE

所以四边形GEMV为直角梯形，

所以

,_(NF+GE)7VG_(l+2)xl_3

SGEFN=2=-2—=5

又平面GEKV,GNu面GEFN,

所以4B〃平面GEE/V,作NM_L48

所以NAI=BNlsinZNBM=BN必=6

A1B4

且A到截面的距离即NM=—

4

所以匕?ii-UGcErF/vN=、SKNN8M=—

【点睛】本题主要考查空间几何体中异面直线所成的角以及锥体的体积，常用到作辅助线，

以及线面，面面之间的关系，属中档题.

20.在ZVLBC中，A、B的坐标分别是卜上,0),(&,0),点G满足AG+3G+CG=€).>

轴上一点〃，满足GM//AB，且=

(1)求AABC的顶点C的轨迹E的方程；

(2)直线/：y=H+，*与轨迹E交于P、Q两点，若在轨迹E上存在点R,使四边形OPR。

为平行四边形(。为坐标原点)，求机的取值范围.

22(、

【答案】(1)轨迹£的方程为L+2_=](yN0)；(2)—00,.....——

26^I2JL2)

【解析】

【分析】

(1)假设点C坐标，根据重心知识，可得到点G,进一步得到点M，利用=

可得结果.

(2)联立轨迹£的方程与直线/的方程，结合韦达定理，根据OR=OP+OQ,可得R的坐

标，把R代入E的方程，以及」,可得结果.

【详解】⑴设C(x,y)(yx0)

由AG+BG+CG=()，

所以可知G为AABC的重心，且GM//A8

又川-夜,0),8(夜,0),所以

加河)，5l.\MC\^\MB\

22

所以轨迹£的方程为二-+二=l(y#o)

26V7

(2)设P&,y),Q(巧,％)，

由四边形OPRQ为平行四边形,

则OH=O尸+OQ,所以R（x+w，X+%）

y=kx+m

<x2y2=>（3+公卜2+26x+>-6=0

---1---=1

26

△=（2〃mp-4（3+巧（疗一6）>0

贝IJ2%2-M+6>0①

-2kmm2-6

3+%=和，平2=二正

6m

X+%=%（玉+々）+2m-

3+k2

由点R在轨迹E上，所以

（-2km\（6mY

L1±£J_11±E1=1

2+6

化简可得：攵2=2〃/一3②

②代入①可得：,n2>0

又由②可知，/〃223

所以机2或m<一Y6

22

所以

加的取值范围为-8,—-—，+8

22

IJL）

【点睛】本题主要考查椭圆与直线的应用，一般来讲圆锥曲线与直线的综合应用，都需联立

方程，结合韦达定理，考验计算能力，数中档题.

21.已知函数/（x）=ae*的图象在％=0处的切线与函数y=lnx的图象在％=1处的切线互

相平行.

（1）求。的值；

（2）若/‘（X）之侬对xe（0,4w）恒成立，求实数，”的取值范围;

(3)若数列［坐］的前〃项和为7；,求证：Tn<—^—~.

［〃J\72(〃+1)

【答案】(1)4=1；(2)(-8,e］；(3)见详解

【解析】

【分析】

(1)根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得/'(())与函数y=lnx的图象在％=1处的导

数，由于切线平行，可得结果

XX

(2)利用分离参数的方法，得到根4然后构建函数g(x)=2，利用导数研究函数g(x)

的单调性，根据g(x)的值域与加的大小关系，可得结果.

(3)根据(2),得到然后令x=〃2代入，两边取对数，进行化简，结合不等式可

得见?-+一1］,最后求和可得结果.

n21nn+\J

【详解】(1)由/(x)=ae’，所以尸(x)=ae\

则1(O)=a,又y，=(lnxy=：

所以y'k=l，据题意可知：«=1

(2)由(1)可知〃x)=e*

又侬对尤€(0,+oo)恒成立，

即加〈《在xe(O,+x5)恒成立，

X

令g(x)=幺，g'(-y)=-

XX

当0<%<1时，g'(x)<0

当x>l时，g'(x)>0

所以g(x)在(0,1)单调递减,

在单调递增，

所以gmin(x)=g(l)=e

所以〃

所以实数m的取值范围为(-8,e]

(3)由(2)可知：

当xe(O,”)时，f^x)>ex,即

令x=",所以两边取对数，

可得〃2—1iInn2>

所以

„If11II11)

〃211223nn+\)

即