2020-2021学年人教A版必修一作业03函数的概念与性质

章末检测(三)函数的概念与性质

A卷——学考测评卷

(时间：120分钟，满分：150分)

一'单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.已知函数f(x)由下表给出，则等于()

X1234

f(x)2341

A.1B.2

C.3D.4

解析：选A•.•八3)=4,.••A/(3)]=A4)=1.

2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是()

A.府)=七二g(x)=x—1

B.f(x)=p,g(x)=(y[x)2

C.f(x)=x2—2,g(t)=t2—2

D.fix)=\jx+l-\]x—l,g(x)=^/x2—1

解析：选C对于A,丹*)=乞]，g(x)=x-l的定义域不同，化简后对应关系相同，

不是相同函数；

对于B,y(x)=qp,g(x)=(m)2的定义域不同，对应关系不同，不是相同函数；

对于C,八*)=/—2,g(f)=F—2的定义域相同，对应关系相同，是相同函数；

对于D,f(x)=y]x+l-yjx—l,8(*)=正匚1的定义域不同，化简后对应关系相同，不

是相同函数.故选C.

3.函数八幻=4口三+]的定义域是()

A.[-1,+8)B.(一8,0)U(0,+~)

C.[-l,0)U(0,+8)D.R

l+x>0,

解析：选C要使函数有意义，需满足即X2一1且xWO.故选C.

IxWO,

(x+1

7,x>2,

4.已知函数/(x)=jx-2则｛2)的值等于()

l/(x+3),x42,

A.4B.3

C.2D.无意义

x+1>2

解析：选C•••人幻=,*一2,x'

、/(x+3),xW2,

.\A2)=A5)=言=2.故选C.

5.已知/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且1一l)+g(l)=2,/(l)+g(-l)=4,则g(l)等

于()

A.4B.3

C.2D.1

解析：选B；/U)是奇函数，.,.八-1)=一八1).

又；g(x)是偶函数，...g(—l)=g(l).

••V(—l)+g(l)=2,.•.g(D-/U)=2.①

•••_AD+g(—1)=4,.•.犬l)+g(l)=4.②

由①②，得g(l)=3.

6.已知/(*)=一/+2.X与g(x)=：在区间［1,2］上都是减函数，则a的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,1］

C.(一1,0)U(0,1)D.［-1,O)U(O,1］

解析：选Bf(x)=-x2+2ax=—(x—a)2+a2,其单调递减区间为(a,+°°),人工)在区

间［1,2］上是减函数，则aWL

又g(x)=f在区间［1,2］上是减函数，则a>0.

综上可得，OVaWl.

7.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则

该市这两年生产总值的年平均增长率为()

.p+g„(i+p)(i+g)~~i

A-T-B-2

C.亚D.1(l+p)(l+q)-1

解析：选D设年平均增长率为x,则有(l+p)(l+g)=(l+x)2,解得x=N(l+p)(l+g)

-1.

8.已知定义域为R的函数人x)在区间(4,+8)上为减函数，且函数y=/U+4)为偶函

数，则()

A.B.

C.八3)》5)D.人3)或6)

解析：选D•.•y=/U+4)为偶函数，.\A-x+4)={x+4).令x=2,得近2)=八一2+

4)=42+4)=犬6),

同理，八3)=八5).又知|x)在(4,+8)上为减函数，

V5<6,：.f(2)<f(3),#2)=46)勺15),负3)=犬5)*6).故选D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0

分)

9.若夫x)为R上的奇函数，则下列说法正确的是()

A.x)=0

B.f(x)-fi-x)=2f(x)

C.

D皿

解析：选AB••VU)在R上为奇函数,

：.f(x)+f(-X)=f(x)-f(x)=0,故A正确.

f(x)-f(~x)=fix)+j(x)=2fix),故B正确.

当x=0时，人工)叭一x)=0,故C不正确.

Jx)

当x=0时,分母为0,无意义，故D不正确.

fi-x)

10.某工厂八年来某种产品总产量y(即前x年年产量之和)与时

间x(年)的函数关系如图，下列说法中正确的是()

A.前三年中，总产量的增长速度越来越快

B.前三年中，总产量的增长速度越来越慢

C.前三年中，年产量逐年增加

D.第三年后，这种产品停止生产

解析：选BD由题中函数图象可知，在区间［0,3］上，图象是凸起上升的，表明总产量

的增长速度越来越慢，因此A错误，B正确；由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减少，

因此C错误；在区间［3,8］上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0.因此

D正确，故选B、D.

11.有下列几个命题，其中正确的是()

A.函数7=2必+*+1在(0,+8)上是增函数

B.函数在(-8,-1)U(—1,+8)上是减函数

C.函数7=小惑r二x2的单调区间是［―2,+°°)

2x-3x>0

D.已知函数g(x)={是奇函数，则犬x)=2x+3

x<0

解析：选AD由7=2%2+工+1=2^+：)2+(在［―：,+8)上递增知，函数7=2X2+X

+1在(0,+8)上是增函数，故A正确；,=高彳在(一8,—1),(―1,+8)上均是减函数，

但在(一8,—1)U(—1,+8)上不是减函数，如一2<0,但_，工［<J1,故B错误；y=

•\/5+4x—x2在［―2,—1)上无意义，从而在［—2,+8)上不是单调函数，故C错误；设x<0,

则一x>0,g(—x)=—2x—3,因为g(x)为奇函数，所以/(x)=g(x)=—g(—x)=2x+3,故D

正确.故选A、D.

12.定义在R上的奇函数{x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0,+8)上的图象与大x)

的图象重合，设”>b>0,则下列不等式正确的是()

A.f(b)—f(—a)>g(a)—g(—b)

B.J(b)—f(—a)<g(a)—g(b)

C.f(a)—f(—b)>g(b)—g(—a)

D.f(a)—f(—b)<g(b)—g(—a)

解析：选AC为奇函数,g(x)为偶函数，.1-A—a)=/S),g(—6)=g®.•.•4>/>>(),

g(a)>g(b)>0,JLfia)=g(a),f(b)=g(b),f(b)—ft—a)=f(b)+J(a)=g(b)

+g(a)>g(。)—g(b)=g(a)—g(—A),，A正确，B不正确•又g(A)—g(—a)=g(b)—g(a)<0,而

=f(a)+/(Z>)>0,...C正确，D不正确.故选A、C.

三'填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.函数八*)=系在［-5,—4］上的值域是.

解析：；/U)在［-5,-4］上单调递减，

333

八-5)=^^=-1,/(-4)=^^=-2-

「31

•••加)豆一2，-I.

答案：［一］-1

14.已知二次函数_/U)=a/+2ax+l在区间［-3,2］上的最大值为4,贝Ia的值为

解析：人》)的对称轴为直线X=-1.

3

当a>0时，/(x)max=/(2)=4,解得a=G；

当avO时，/(x)max=./1—1)=4,解得〃=一3.

3・

综上，得或a=—3.

O

答案：一3或方

15.(一题两空)已知事函数人》)=(加一5/〃+7)xF—i(/n£R)为偶函数.

(1)信)的值为;

(2)若八2a+l)=/(a),则实数a的值为.

解析：(1)由,〃2—5"?+7=1,得,”=2或3.

当/n=2时，八幻=-3是奇函数，.•.不满足题意，.•.m=2舍去；

当,〃=3时，八*)=/4是偶函数，满足题意，

:如AX，

M5=(护=3

(2)由_Ax)=x-4为偶函数及式2a+l)=J(a)可得|20+1|=@,即2a+l=a或2a+l=-a,

.".a=­1或a=一

答案：(1)16⑵-1或一；

16.设某公司原有员工100人从事产品4的生产，平均每人每年创造产值f万元(f为正

常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,xGN*)人去进行新开发的产品8的生产.分

流后，继续从事产品4生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了L2x%.若

要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是.

解析：由题意，分流前每年创造的产值为100«万元)，分流x人后，每年创造的产值为

(100-x)(l+1.2x%)r,

0<x<100,xGN*,

则由彳

.(100—x)(l+1.2x%X>100/,

解得0<xW苧.

因为xGN*,所以x的最大值为16.

答案：16

四'解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤)

17.(本小题满分10分)已知函数/U)=x+F，且/(1)=3.

⑴求m的值；

⑵判断函数/U)的奇偶性.

解：(1)；八1)=3,即1+,”=3,：.m=2.

2

(2)由(1)知，J(x)=x+~9其定义域是{x|xrO,xER},关于原点对称，又x)=­x

一：=—(x+：)=—/U),工此函数是奇函数.

18.(本小题满分12分)已知函数八x)=l—刍

(1)若g(x)=/(x)—a为奇函数，求a的值；

(2)试判断八幻在(0,+8)内的单调性，并用定义证明.

2

解：(1)由已知g(x)=,/(x)—明得g(x)=l—a—7

因为g(x)是奇函数，所以g(—x)=—g(x),

2（1-a—D，解得a=L

即I—a

（一x）

(2)函数人x)在(0,+8)内为增函数.

证明如下:

任取0<Xl<X2,则兀⑺一於2)

=]_2_11_2)=2(处—必)

X|\xx)X1X2,

因为0<Xl<X2,所以©—*2<0,XlX2>0,

,2(X1-X2)-

从而氐；：…'<0,即八w)勺3).

•*1X2

所以函数八*)在(0,+8)内是增函数.

19.(本小题满分12分)如图，定义在[-1,+8)上的函数人x)

的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.’

⑴求胆4))的值及外)的解析式；J1

⑵若求实数X的值.-Ip

解：⑴根据图象可知人4)=0,

则加4))=1A0)=1.

设直线段对应的方程为y=kx+b.

将点(0,1)和点(一1,0)代入可得力=1,k=l,

即y=x+l.

当x>0时，设y=ax2+bx+c.

因为图象过点(0,0),(4,0),(2,-1),

2

代入可得y=-X—X.

x+1,-

所以八

尸?“一x,x>0.

(2)当x+l=；时，x=-I，符合题意；

当;》2—x=；时，解得x=2+#或x=2一而(舍去).

故x的值为一；或2+而.

20.体小题满分12分)已知/(X)是R上的奇函数，且当x>0时，八*)=炉一x—1.

⑴求JU)的解析式；

⑵作出函数1x)的图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间.

解：⑴设x<0,贝x>0,

所以八一X)=(-x)2—(-X)-1=x2+x-1.

又因为函数<》)是奇函数，所以八-x)=-八%),

所以f(x)=—f(—x)=­X2—x+1.

当x=0时，由｛0)=一40),得1Ao)=0,

X2—x—l(x>0),

所以/U)=,o(x=o),

x2—x+l(x<0).

(2)作出函数图象，如图所示.

21.(本小题满分12分)已知函数(arl).

⑴若a>0,求/U)的定义域；

(2)若大外在区间(0,1］上是减函数，求实数a的取值范围.

解：(1)当。>0且时，由3一得xw］,即函数/(X)的定义域是(一8,

(2)当a—1>0,即。>1时，要使/U)在(0,1］上是减函数，则需3—aXl2O,此时lvaW3.

当。一1<0,即a<l时，要使人用在(0,1］上是减函数，则需一a>0,且3—aXl'O,此时

。<0.

综上所述，所求实数a的取值范围是(一8,0)U(l,3］.

22.(本小题满分12分)销售甲、乙两种商品所得利润分别是以，九万元，它们与投入

资金x万元的关系分别为yi=i6/x+l+a,了2=取(其中m,a,b都为常数)，函数ji,yi

对应的曲线G,C2如图所示.

⑴求函数刈，y2的解析式；

(2)若该商场一共投资8万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值.

/n+a=O,

解：⑴由题意得，,8

3/〃+〃=彳

故w=1\/*+1—酎2o).

811

由题意得8〃=予解得)=g,故72二铲(工20).

(2)设甲商品投入资金x万元，则乙商品投入资金(8-x)万元.

由(1)得7二八/^^一色十^出一幻，0WxW8,

^\/x+l=£(lWf43),则y=-1/2+|/+1=—1(/—2)2+1,

9

当1=2,即x=3时，y取得最大值

9

所以该商场所获利润的最大值为1万元.

B卷——高考滚动测评卷

(时间：120分钟，满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.若函数.*x)=ax2+(a—2b)x+a—1是定义在(一〃,0)U(0,2a—2)上的偶函数，则

A.1B.3

C.TD.J

解析：选B因为偶函数的定义域关于原点对称，则一“+2a—2=0,解得a=2.又偶

函数不含奇次项，所以a—2方=0,即％=1,所以式x)=2x?+l,所以产要)=41)=3.

2.若”>0,则函数y=R(x-a)的图象的大致形状是()

[x(x-a),x20,

解析：选B函数y=|x|(x—a)=J当x20时，函数y=x(x—〃)的图

1―x(x—a),x<0,

象为开口向上的抛物线的一部分，与X轴的交点坐标为(0,0),3,0).当XV。时，函数y=一

x(x—a)的图象为开口向下的抛物线的一部分.故选B.

3.已知函数y=/(x+l)定义域是[-2,3],则》=/(*-1)的定义域是()

A.[0,5]B.[-1,4]

C.[-3,2]D.[-2,3]

解析：选A由题意知，-2WxW3,—1这x+lW4.

...一1近*一1近4,得OWx近5,即y=_/U-l)的定义域为[0,5].

x2+2x,x<0,

4.已知函数火x)=若大一。)+八4)40,则实数a的取值范围是()

_x2—2x,x20,

A.[-1,1]B.[-2,0]

C.[0,2]D.[-2,2]

a>Q,

解析：选D依题意，可得

(—a)2+2(—a)+a2—2a^0

a<0,[a=0,

或｛或〈

[(—a)2—2(—a)+a2+2a^0[2(02—2X0)^0,

解得一2《a《2.

5.若y(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)=/a)+g(x)+2在(0,+8)上有最大值8,则在(一

8,0)上，尸(幻有()

A.最小值一8B.最大值一8

C.最小值一6D,最小值一4

解析：选D；/U)和g(x)都是奇函数，.7/U)+g(x)也是奇函数.又F(x)=fix)+g(x)

+2在(0,+8)上有最大值8,.力医)+8(X)在(0,+8)上有最大值6,.7/U)+g(x)在(一8,

0)上有最小值一6,二/(x)在(一8,0)上有最小值一4.

6.已知函数八x)是(一8,0)U(0,+8)上的奇函数，且当x<0时，『

函数的图象如图所示，则不等式MU)<0的解集是()[I

A.(-2,-1)U(1,2)-2、卜O~~5

B.(-2,-l)U(0,l)U(2,+°°)V

C.(-8,-2)U(-l,0)U(l,2)

D.(一8,-2)U(-l,0)U(0,l)U(2,+00)

解析：选D当x>0时，人》)<0.由图象关于原点对称，

/.xe(0,l)U(2,+«>);当XVO时，_Ax)>0,

(—8,-2)U(-l,0)..•.选D.

7.已知函数/U)的图象关于直线x=l对称，且在(1,+8)上单调递增，设“=/(—

b=f[2),c=f[3},则a,b,c的大小关系为()

A.c<b<aB.b<a<c

C.b<c<aD.a<b<c

解析：选B\•函数八x)的图象关于直线x=l对称，.•.“=/(一;)=携.又大x)在(1,+

8)上单调递增，.•.犬2)勺0)勺(3),即从a<c.

fg(x),八*)，8(%)，

8.已知函数八x)=3-2|r|,g(x)=x2~2x,尸(x)="、〃、“、贝！1()

A./(x)的最大值为3,最小值为1

B.尸(x)的最大值为2—巾，无最小值

C.尸(x)的最大值为7—2#,无最小值

D.尸(x)的最大值为3,最小值为一1

fg(x),/(x)2g(x),Lr-

解析：选C由尸(%)=，知当3—2|x|2x2—2x,即2一市WxW小时，

1/W,观

12

F(x)=x—2x;当x—2x>3—2\x\f即x<2—巾或时，F(x)=3—2|x|,因此F(x)=

x2—2x,2sWxW小,

3-2|x|,xv2s或x>\[i

3+2x,x<2—木,

=<2

X-2X92s0W班,作出其困象如国所示，观察图象可以发现，尸(X)max=

、3—2x,x>\[3

产(2—S)=7-2S，无最小值，故选C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0

分)

9.若函数)，="的定义域为R且为奇函数，则a可能的值为()

A.1B.1

C.2D.3

解析：选BD当(z=；时，氟函数的定义域为[0,+°°),A不符合题意；当1=

1时，幕函数y=x的定义域为R且为奇函数，B符合题意；当a=2时，森函数y=*2的定

义域为R且为偶函数，C不符合题意；当a=3时，森函数y=/的定义域为R且为奇函数，

D符合题意.故选B、D.

10.下列说法正确的是()

A.函数人x)的值域是[-2,2],则函数人x+1)的值域为

B.既是奇函数又是偶函数的函数有无数个

C.若AU8=8,贝!|AC8=4

D.函数人X）的定义域是[-2,2],则函数八*+1）的定义域为

解析：选BCD由/U）与八x+1）的值域相同知，A错误；设_/U）=0,且xWO,。是

关于原点对称的区间，则|x）既是奇函数又是偶函数，由于。有无数个，故式x）有无数个，

B正确；由AU5=5得，A^B,从而ADB=A,C正确；由-2Wx+lW2得一3WxWl,

D正确.故选B、C、D.

11.对于定义域为。的函数y=/lx）,若同时满足下列条件：①/U）在。内单调递增或

单调递减；②存在区间口，b]^D,使府）在口，切上的值域为[a,b].那么把y=/（x）（xCO）

称为闭函数.下列结论正确的是（）

A.函数7=d+1是闭函数

B.函数^=一必是闭函数

C.函数/（用=扃■是闭函数

D.〃=一2时，函数而是闭函数

解析：选BD因为了=必+1在定义域R上不是单调函数，所以函数了=必+1不是闭

,=一/，

函数，A错误；7=一3在定义域上是减函数，由题意设[a,b]^D,则«。=一於，解得

lb＞a,

因此存在区间[-1,1],使＞=一£*在[-1,1]上的值域为[-1,1],B正确；*x）

=#J=1一品，在（一8,—1）上单调递增，在（一1,十8）上单调递增，所以函数在定义

域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数，C错误；若＞=4+而$是闭函数,

a=k+\la+2,

则存在区间[a,b],使函数/U）的值域为[a,b],即彳.____所以%b为方程x

[b=k+y[b+2,

=«+、x+2的两个实数根,即方程了2—（2A+l）x+«2—2=0（x\—2,x2A）有两个不等的实

'/＞0,”/>0,

灭―2）"°，解得一当k＞-2时，有＜犬A)20，W

根.当"W-2时，有＜此

2A+142H-1

、2〉匕

不等式组无解.综上所述，AC（一点-2,因此D正确.故选B、D.

12.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步

价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超

过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是()

A.出租车行驶4km,乘客需付费9.6元

B.出租车行驶10km,乘客需付费25.45元

C.某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用

D.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km

解析：选BCD在A中，出租车行驶4km,乘客需付费8+1X2.15+1=11.15元，A

错误；在B中，出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15X5+2.85X(10-8)+1=25.45元，

B正确；在C中，乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2X2.15+1=13.3元，乘坐两次需

付费26.6元，26.6>25.45,C正确；在D中，设出租车行驶xkm时，付费y元，由8+5X2.15

+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15X5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.故

选B、C、D.

三'填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.1Am+l)=x+3,则大x)=.

解析：由题可设近+l=f,21,...1怨)=«—1)2+3,.\/(x)=(x-l)2+

3(x2l).

答案：(X-1)2+3(X21)

14.已知函数_/^)=於*2一小一3,则该函数的单调递增区间为.

解析：设t=x2—2x—3,由即*2—2x—320,解得xW—1或x，3,所以函数八》)

的定义域为(一8,—1］U［3,+°°).因为函数f=x2—2x—3的图象的对称轴为x=l,所

以函数t在(-8,—1］上单调递减，在［3,+8)上单调递增，所以函数八工)的单调递增区

间为［3,+~).

答案：［3,+8)

15.(一题两空)已知函数1x)=x2-4x+a+3,“GR.

⑴若函数/(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为；

(2)若函数八幻在上存在零点，则实数a的取值范围为

解析：的图象与X轴无交点，

.,.J=16-4(a+3)<0,：.a>l,即实数a的取值范围为(1,+°°).

(2)\•函数八》)的图象的对称轴为直线x=2,且开口向上，

.•JU)在上单调递减，

...要使八x)在上存在零点，

#1户0,a《0,

需满足即.:.-8式aWO,

18+心0,

即实数a的取值范围为［-8,0］.

答案：(1)(1,+8)(2)[-8f0]

16.记实数xi,X29…，x〃中的最大数为max{xi,如…，xn}9最小数为min{xu必,…，

x〃},则min{x+l,x2—x+1,—x+6}的最大值为.

解析：如图所示，j=min{x+l,X2—x+1,—x+6}的图象为图中的实线部分，则易知

所求最大数即为图中B点的纵坐标.又n，D，故所求最大值为最

答案：\

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤)

x,xG[0,2],

17.体小题满分10分)已知函数八x)=<4

x€(2,4].

(1)在图中画出函数八X)的大致图象；

(2)写出函数八x)的最大值和单调递减区间.

解：(1)函数./(X)的大致图象如图所示.

(2)由函数八外的图象得出，八x)的最大值为2,函数的单调递减区间为[2,4].

18.(本小题满分12分)定义在(-1,1)上的函数4x)满足八一*)=一危:)，且由1-4)十负1

一2")<0.若<x)是(一1,1)上的减函数，求实数a的取值范围.

解：由式1一。)+#1—2。)<0,

得_/U_a)v_2a).

xG(—1,1),

."./(I—a)<y(2a—1).

又是(一1,1)上的减函数，

(-1<1-a<l,

二，-l<2a—1<1,解得

[1-a>2a—1,

故实数a的取值范围是(0,I).

19.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的最小值为1,且/(0)=负2)=3.

(1)求人x)的解析式；

(2)若{x)在区间[2a,a+1]上不单调，求实数a的取值范围；

(3)在区间[-1,1]上，y=/U)的图象恒在y=2x+2,〃+l图象的上方，试确定实数，〃的

取值范围.

解：(1)由题意设八x