初中数学九年级复习：圆的对称性

专题18圆的对称性

阅读与思考

圆是一个对称图形.

首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同

时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这

是圆特有的旋转不变性.

由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、

弦心距、弧之间的关系定理及推论.这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面

有广泛的应有.一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用.

熟悉以下基本图形和以上基本结论.

我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也古代的美索不达米亚人最先开始

制造圆轮.日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了

深深的烙印.

例题与求解

【例1】在半径为1的。。中，弦AB,AC的长分别为百和右，则乙BAC度数为.

（黑龙江省中考试题）

解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB与AC有不同位置关系.

由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问

题的解决.

【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB,CD,EF.如果A8+CD=EF,那么AB+CZ）

与石产的大小关系是（）

A.AB+CD=EFB.AB+CD>EF

C.AB+CD<EFD.AB+CZ•与EF的大小关系不能确定

（江苏省竞赛试题）

解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考.

【例3】⑴如图1,已知多边形ABOEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BOEC组成，

。。过A,D,E三点,求。。的半径.

（2）如图2,若多边形ABDEC是由等腰/XABC和矩形BDEC组成，AB=AC=BD=2,。。过A,D,

E三点，问。。的半径是否改变？

（《时代学习报》数学文化节试题）

解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，。的半径不改变，解法类似⑴.

等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个

从形式到结果依然完美的图形.

三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习.

［例4］如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC,D为的中点，DE±AB于E.求证：

BD2_AL>2=AB'AC.

（天津市竞赛试题）

解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明.

D

圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法.同样，圆也为解决直

线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等

或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧.

【例5】在△ABC中，又是AB上一点，且AM2+BM2+CA/2=2AM+2BM+2cM—3.若尸是线段AC

上的一个动点，。。是过尸，M,C三点的圆，过P作尸Z)〃AB交。。于点。.

(1)求证：M是AB的中点；

⑵求的长.(江苏省竞赛试题)

解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM,BM,CM的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，

促成圆周角与弧、弦之间的转化.

D

【例6】已知AD是。。的直径，AB,AC是弦，MAB=AC.

D

图3

⑴如图1,求证：直径A。平分NA4C；

⑵如图2,若弦8c经过半径OA的中点E,F是CD的中点，G是总的中点，。。的半径为1,

求弦FG的长；

(3)如图3,在⑵中若弦BC经过半径。4的中点£,尸为劣弧上一动点，连结B4,PB,PD,PF,

PA+PF

求证:的定值.

PB+PD

(武汉市调考试题)

解题思路：对于⑶，先证明/8以=/£＞尸F=30。，ZBPD=600,这是解题的基础，由此可导出下列解

题突破口的不同思路：①由ZB及1==/。尸b=30。，构建直角三角形；②构造B4+P凡尸B+PD相关线段；

③取8。的中点"，连结尸加，联想常规命题；等等.

本例实质是借用了下列问题：

⑴如图1,PA+PBMPH；⑵如图2,PA+PB=PH；

a

⑶进一步，如图3,若NAPB=a,PH平分/APB,贝ljPA+PB=2PHcos万■为定

值.

能力训练

A级

1.圆的半径为5cm,其内接梯形的两底分别为6cm和8cm,则梯形的面积为cm2.

2.如图，残破的轮片上,弓形的弦长是40cm,IWJCQ是5cm,原轮片的直径是一cm.

（第4题图）

第2题图第3题图

BA

3.如图，已知CO为半圆的直径，A8LC。于8.设则=加n-=_______.

BD12

（黑龙江省中考试题）

4.如图，在中，ZC=9Oo,AC=6，BC=\,若BC=1,若以C为圆心，的长为半径

的圆交AB于尸，则4尸=（江苏省宿迁市中考试题）

5.如图，AB是半圆。的直径，点尸从点O出发，沿OA—A3—8。的路径运动一周.设。尸长为

s,运动时间为r,则下列图形能大致地刻画s与/之间的关系是（

那么AC的长为（）

A.0.5cmB.1cmC.1.5cm

（第7题图）（第8题图）

7.如图，A8为。。的直径，C。是弦.若4B=10cm,CZ）=8cm,那么A,B两点到直线CZ）的距离

之和为（）

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

8.如图，半径为2的。。中，弦AB与弦CD垂直相交于点P,连结OP.若。尸=1,求AB2+CD2

的值.（黑龙江省竞赛试题）

9.如图，AM是。。的直径，过。。上一点B作BNLAM于N,其延长线交。。于点C,弦CD交

AM于点E.

（1）如果CD_LAB,求证：EN=NM；

（2）如果弦CD交AB于点F5.CD=AB,求证：CE7=EF・ED；

⑶如果弦CD,的延长线交于点R且CD=A8,那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；

若不成立，请说明理由.

（重庆市中考试题）

（第9题图）

1

10.如图，。。的内接四边形中，AB>AC,M是8c的中点，于点求证：BH=-

（AB-AC）.

（河南省竞赛试题）

（第10题图）

11.⑴如图1,圆内接△ABC中，AB=BC=CA,OD,为。。的半径，OD_LBC于点、F,OE1AC

1

于点G.求证：阴影部分四边形OBCG的面积是AABC面积的耳.

⑵如图2,若/DOE保持120。角度不变，求证：当/。OE绕着。点旋转时，由两条半径和AABC

的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是/XABC的面积的g.

12.如图，正方形ABC。的顶点A,。和正方形的顶点K,L在一个以5为半径的。。上,

点、J,M在线段BC上.若正方形ABC。的边长为6,求正方形的边长.

（上海市竞赛试题）

（第12题图）

B级

1.如图，A8是。。的直径，CD是弦,过A,8两点作C。的垂线，垂足分别为E,F.若AB=10,

AE=3,BF=5,贝1]EC=.

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

2.如图，把正三角形A8C的外接圆对折，使点A落在的中点A上，若BC=5,则折痕在△ABC

内的部分。£长为.（宁波市中考试题）

3.如图，已知。。的半径为R,C,。是直径同侧圆周上的两点，AC的度数为96。，BD的度

数为36。.动点p在上，则C尸+P。的最小值为.

（陕西省竞赛试题）

4.如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（）

55^/17

A.五C4D.

B・至16

5.如图，A3是半圆。的直径，C是半圆圆周上一点,M是AC的中点，MN1AB于N,则有（

)

1B.MNC3点

A.MN=-AC旦C.MN=-ACD.MN=AC

2253

（武汉市选拔赛试题）

（第6题图）（第7题图）

第4题图第5题图

6.已知，4?为。。的直径，。为AC的中点，于点E,且OE=3.求AC的长度.

7.如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的。。；对角线AC是直径，对角线AC和8。的交点

为P,AB=BD,且PC=0.6,求四边形ABC。的周长.

（全国初中数学联赛试题）

8.如图，已知点A,B,C,。顺次在。。上，AB=BD,于求证：AM=DC+CM.

（江苏省竞赛试题）

\/o

----淞

（第8题图）

9.如图，在直角坐体系中，点8,C在x轴的负半轴上，点A在y轴的负半轴上，以AC为直径的

圆与的延长线交于点。，CD^AO，如果AB=10,AO>BO,且是龙的二次方程x2+乙+48=0

的两个根.

⑴求点D的坐标；

⑵若点尸在直径AC上，且判断点（-2,10）是否在过。，尸两点的直线上，并说明理

（河南省中考试题）

7

O

（第9题图）

10.⑴如图1,已知为。O的弦,C是劣弧的中点，直线CD_LB4于点E,求证:

⑵如图2,已知B4,PB为。。的弦，C是优弧A3的中点，直线CD_LB4于点E,问：AE,PE与

之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论.

D

图1

11.如图，已知弦CZ）垂直于。。的直径AB于L,弦AE平分半径0C于X.求证：弦OE平分弦

8c于（全俄奥林匹克竞赛试题）

A

（第11题图）

12.如图，在△ABC中，。为AC边上一点，且AD=OC+C8,过。作AC的垂线交△ABC的外接

圆于过M作AB的垂线MN,交圆于N.求证：MN为△ABC外接圆的直径.

专题18圆的对称性

例115。或75。提示：分A8、AC在圆心。同侧、异侧两

种情况讨论.（第12题图）

例28

例3（1）解法一：如图，将正方形8OEC上的等边AABC向下平移，使其底边与DE重

合，得等边△OOE.：A、B、C的对应点是。、D、E,：.OD=AB,OE=AC,AO=BD.V

等边△ABC和正方形8DEC的边长都是2,.•.AB=Br>=AC=2,.•.OD=OA=OE=2.：

A、D、E三点确定一圆，。到A、D、E三点的距离相等.点为圆心，0A为半径，，该圆的半径为

2.解法二：如图，将AABC平移到AODE位置，并作AF_LBC,垂足为产，延长交。E于

H.「△ABC为等边三角形，垂直平分8C,；四边形8OEC为正方形，垂直

平分正方形边DE.又「DE是圆的弦，...AH必过圆心，记圆心为。点，并设。。的半径-t,c

为r.在MZkABF中，,/ZBAF=30°,：.AF=AB-cos30°=2x—=,：.OH=AF+

2D--F.

FH-OA=a+2-r.在放△O£>8中，OH^+DH^=OD^,；.(君+2-厂)2+12="，解得「=2.

(2)。。的半径不变，因为AB=AC=BO=2,此题求法和(1)一样，。。的半径为2.

例4提示：BD2-A£>2=(B£2+££>2)-(A£2+££>2)=(BE+AE)(BE-AE)=AB(BE-AE),只需要证明

AC=BE-AEBPRJ.在BA上截取BF=AC.连。F可证明△OB尸注ZkDCA,贝。。/=A£),AE=EF.

例5(1)由条件，^f(AM-l)2+(BM-l)2+(CM-l)2=0,：.AM^BM=CM=1.因此，M是AB中点,

且NACB=90。.(2)由(1)知，ZA=ZPCM,5LPD//AB,：.ZA=ZCPD,ZPCM=ZCPD,因此,

CD=PM,CPM=DCP,于是有DP=CM=1.

例6（1）连结8。、CO,是直径，所以Z48r>=/ACO=90。，XVAB=AC,AD=AD,:4ABD

^△ACZ),ZBAD=ZDAC,...A。平分NBAC.(2)连结02、OC,则。A_LBC,又AE=0E,得AB

=BO=OA=OC,AA08,AA0C都为等边三角形，连结。G,则/3。斤=90。，FG=收.(3)取3。

的中点过"作MS_LB4于S,MT上PF于T,连AM,FM./BPM=NDPM=30°,ZAPM=Z

FPM=60°,则MS=MT,MA=MF,R/AASM也RrZkFTM,Rt^PMS^RtAPMF.：,PS=-PM.：.PA

2

「PAIPFPMin

+PF=2PS=2PT=PM.同理可证：PB+PD=>J3PM.：.-------=-=——=-==—为定值.

PB+PDJ3PMJ33

A级1.49或72.853.14.—5.C6.D7.D8.过。点作OE_LAB于E,OF±

3

CD于尸，连结O。，OA,则AE=BE,CF=DF,'：OE^=AO^~AE^=^--AB^,OF^=OD^~FD^=

4

4--CD2,.\O£2+oF2=(4-ly4B2)+(4-lcZ)2)=p^+OF2=OP2=i2,即4--AB2+4--CD2=1,

44444

714

故AB2+C£)2=28.得X[=—3(舍去)，x2=^,正方形JKLM的边长为了.

B级".2加—3提示:作OM_LCD于M,则EC=f(EF-CD).2.y3.yj3R提示:设D是D点关于

直径AB对称的点，连结CD交AB于P,则P点使CP+PD最小，ZCOD'=120°,CP+PD=CP+PD

=CD'=V3R.

a2+12-r2f-

4.D提示：如图：--，得“,.1,一解得a=!1,I[?

(2—a)2+(2)2—r2-lo

5.A提示:连结OM,则OM_LAC.

6.解法一:连结0D交AC于点F,・・，D为AC的中点，AAC±OD,AF=CF.XDE±AB,AZDEO=Z

AFO.・・・△ODE之△OAF.・・・AF=DE.•・•DE=3・・・AC=6.解法二:延长DE交。O于点G,易证AC=2AD=

r'\r'\r'x

AD+AG=DG,贝1JDG=AC=2DE=6.

7.连结BO并延长交AD于H,因AB=BD,故BHJ_AD,又/ADC=90°,则BH〃CD,从而AOPB

-△CPD,得舒=器，艮喂=]r06,解得CD=1.于是AD=，AC2—CD2=2色,又。人如甘,

则AB=#AH2+BH2=，2+4=&,BC