2021年山东省菏泽市中考数学试卷

2021年山东省荷泽市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）

1.（3分）如图，数轴上点A所表示的数的倒数为（）

-4-3-2-101234

A.-3B.3c.-AD.A

33

2.(3分)下列等式成立的是()

A.a3+a3=a56B.=

C.(«-b)2—a1-b1D.(-2a3)2=4(6

x+5<4x-l

3.（3分）如果不等式组的解集为x>2,那么〃?的取值范围是（)

x>m

A.mW2B,m22C.m>2D.m<2

4.（3分）一副三角板按如图方式放置,含45°角的三角板的斜边与含30。角的三角板的

长直角边平行，则Na的度数是（)

C.20°D.25°

5.（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）

Dn

2430

6.（3分）在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩,

将这组数据整理后制成如下统计表：

成绩（次）1211109

人数（名）1342

关于这组数据的结论不正确的是（）

A.中位数是10.5B.平均数是10.3

C.众数是10D.方差是0.81

7.（3分）关于x的方程（Jt-1）2x2+（2H1）x+l=0有实数根，则z的取值范围是（）

A.人＞1且B.k》工且太#1C.k＞工D.%＞工

4444

8.（3分）如图（1）,在平面直角坐标系中，矩形ABC。在第一象限，且8C〃x轴，直线y

=2x+l沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABC。截得的线段长为小直线

在x轴上平移的距离为b,a、6间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面

积为（）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡

的相应区域内）

9.（3分）2021年5月11日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对

外发布：截至2020年11月1日零时，全国人口共约1410000000人.数据1410000000

用科学记数法表示为.

10.（3分）因式分解：-1+2/-〃=.

11.（3分）如图，在RtZXABC中，ZC=30°,D、£分别为AC、BC的中点，DE=2,过

点B作BF//AC,交DE的延长线于点F,则四边形ABFD的面积为.

12.（3分）如图，在△ABC中，ADLBC,垂足为。，4。=5,BC=10,四边形EFGH和

四边形HGM0均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△4EM与

13.（3分）定义：[a,b,c]为二次函数丫=/+法+。（aWO）的特征数，下面给出特征数为

[m,1-m,2-词的二次函数的一些结论：①当机=1时，函数图象的对称轴是y轴；②

当机=2时，函数图象过原点；③当机＞0时，函数有最小值；④如果机＜0,当x＞工时，

2

），随x的增大而减小.其中所有正确结论的序号是.

14.（3分）如图，一次函数y=x与反比例函数（x＞0）的图象交于点A,过点A作

X

AB.LOA,交x轴于点5；作氏4]〃。4,交反比例函数图象于点4；过点4作Ai5i_LAiB

交x轴于点&再作BIA2〃BAI,交反比例函数图象于点A2,依次进行下去，…，则点

A2021的横坐标为.

三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）

15.（6分）计算：（2021-IT）°-|3-4cos30°-（A）L

4

22

16.（6分）先化简，再求值：其中丑〃满足典=-工.

m-2nm2-4rnn+4n32

17.（6分）如图，在菱形ABC。中，点用、N分别在AB、CB上，且NADM=NCDN,求

证：BM=BN.

18.（6分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°

方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西

安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？

19.（7分）列方程（组）解应用题

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销

售量将增加120千克.

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让

顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？

20.（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、。4分别在坐标轴上，且

k

04=2,OC=4,连接。B.反比例函数y=—L（x>0）的图象经过线段08的中点。，

并与AB、BC分别交于点E、F.一次函数了=上什匕的图象经过E、F两点.

（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点P是x轴上一动点，当PE+P尸的值最小时，点P的坐标为

21.(10分)2021年5月，特泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽

取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个

等级，学校绘制了如下不完整的统计图.根据图中提供的信息解答下列问题：

L5米折返跑条形统计图

(1)请把条形统计图补充完整；

(2)合格等级所占百分比为%；不合格等级所对应的扇形圆心角为度;

(3)从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校运

动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率.

22.(10分)如图，在。。中，AB是直径，弦垂足为H,E为前上一点，尸为弦

0c延长线上一点，连接FE并延长交直径A8的延长线于点G,连接AE交于点P,

若FE=FP.

(1)求证：FE是。。的切线；

(2)若。0的半径为8,sinF=3,求的长.

5

23.(10分)在矩形ABC。中，BC=MCD,悬E、尸分别是边A。、BC上的动点，且AE

=CF,连接EF,将矩形ABC。沿E/折叠，点C落在点G处，点。落在点，处.

(1)如图1,当EH与线段BC交于点P时，求证：PE=PF；

(2)如图2,当点尸在线段C8的延长线上时，GH交AB于点M,求证：点M在线段

EF的垂直平分线上；

(3)当AB=5时，在点£由点A移动到中点的过程中，计算出点G运动的路线长.

24.(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线>=以2+加-4交x轴于A(-1,0)、

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点P为第四象限内抛物线上一点，连接P8,过点C作CQ〃8P交x轴于点°,连

接PQ,求△P8Q面积的最大值及此时点尸的坐标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线向右平移经过点(工，0)时，得到新抛

2

物线y=ai7+4x+ci,点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点凡使得

以A、P、E、尸为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，

请说明理由.

参考：若点Pl(XI,yi)、P2(X2,”)，则线段P1P2的中点PO的坐标为(3_—.―——

22

2021年山东省荷泽市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）

I.（3分）如图，数轴上点4所表示的数的倒数为（）

A

।।।।।।ill.

-4-3-2401234

A.-3B.3C.-AD.-1

33

【解答】解：点A表示的数为-3,

-3的倒数为-1,

3

故选：C.

2.（3分）下列等式成立的是（）

A.a3+a3=a6B.33

C.Ca-b)2=a2-b1D.(-2a3)2=4〃6

【解答】解：A.。3+/=2。3,故本选项不合题意;

8.〃・/="4,故本选项不合题意；

C.（a-h）2=a2-2ah+h2,故本选项不合题意；

D.（-2^3）2=V,故本选项符合题意；

故选：D.

x+5<4x-l

3.（3分）如果不等式组的解集为x>2,那么m的取值范围是（)

x>m

A.»iW2B.C.m>2D.m<2

【解答】解：解不等式x+5V4x-1,得：x>2,

•.•不等式组的解集为x>2,

.•.znW2,

故选：A.

4.（3分）一副三角板按如图方式放置，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的

长直角边平行，则/a的度数是（）

C.20°D.25°

【解答】解：如图:

U：AB//CD,

・・.N8AO=NO=30°,

•・・NBAE=45°,

・・・Na=45°-30°=15°.

故选：B.

5.（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）

A.12TTB.187TC.24nD.30n

【解答】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1,大圆半径是2,

则大圆面积为：TTX22=4TI,小圆面积为：iiX12=K,

故这个几何体的体积为：6X4TT-6XTT=24IT-6n=187r.

故选：B.

6.（3分）在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩,

将这组数据整理后制成如下统计表:

成绩（次）1211109

人数（名）1342

关于这组数据的结论不正确的是（）

A.中位数是10.5B.平均数是10.3

C.众数是10D.方差是0.81

【解答】解：根据题目给出的数据，可得：

中位数是皿工1=10（分），

2

平均数为：12X1+11X3+10X4+9X2=10.3,

1+3+4+2

；10出现了4次，出现的次数最多，

.••众数是10；

方差是：-L[（12-10,3）2+3X（11-10.3）2+4X（10-10.3）2+2X（9-10.3）2]=0.81.

10

这组数据的结论不正确的是A.

故选：A.

7.（3分）关于x的方程（~1）27+（2火+1）》+1=0有实数根，则上的取值范围是（）

A.无＞1且上#1B.人》上且公，C.k＞工D.

4444

【解答】解：当&-1W0,即ZW1时，此方程为一元二次方程.

：关于x的方程（01）2/+（2k+[）》+1=0有实数根，

；.△=（2Z+1）2-4X（k-1）2xi=12k-320,

解得上力工；

4

当％-1=0,即％=1时，方程为3x+l=0,显然有解；

综上，k的取值范围是&》工，

4

故选：D.

8.（3分）如图（1）,在平面直角坐标系中，矩形45c。在第一象限，且BC〃x轴，直线y

=2x+l沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形A8CQ截得的线段长为小直线

在x轴上平移的距离为b,a、。间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABC。的面

积为（）

【解答】解：如图所示，过点8、。分别作y=2x+l的平行线，交A。、8C于点E、F.

由图象和题意可得4£=4-3=1,CF=8-7=1,BE=DF=ABF=DE=7-4=3,

则AB=[BE2-AE2=V^1=2,BC=BF+CF=3+l=4,

二矩形ABCD的面积为AB-BC=2X4=8.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡

的相应区域内)

9.(3分)2021年5月11日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对

外发布：截至2020年11月1日零时，全国人口共约1410000000人.数据141000000()

用科学记数法表示为1.41X109.

【解答】解：1410000000=1.41X109,

故答案为：1.41X109.

10.(3分)因式分解：-a。2/-a=-a(a-I)2.

【解答】解：原式=*a(/-2a+\)

--a(«-1)2.

故答案为：-a(a-1)，

11.(3分)如图，在RtZ^ABC中，ZC=30°,D、E分别为AC、BC的中点，DE=2,过

点B作B/〃AC,交。E的延长线于点尺则四边形A8F。的面积为」

【解答】解：：£＞、E分别为AC、8c的中点，

是△ABC的中位线，

：.DE//AB,DE=^AB,

2

：.AB=2DE,DF//AB,

又•：AC,

：.BF//AD,

四边形ABF。是平行四边形，

ABA.BE,

•,•5平行四边形ABFD=AB.BE,

•:DE=2,

・・・AB=2X2=4,

在RtZXABC中，

VZC=30°,

，AC=2AB=2X4=8,

BC=VAC2-AB2=V82-42=4^）

：.BE=LBC=2«,

2

；.S平行四边形ABFO=4X

故答案为873.

12.（3分）如图，在△ABC中，ADLBC,垂足为O,AD=5,BC=\O,四边形EFG”和

四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么与

四边形8CME的面积比为1：3.

【解答】解：•••四边形EFG/7和四边形”GNM均为正方形，

：.EF=EH=HM,EM//BC,

：./\AEM<^/\ABC,

•APEM

"AD'BC"

••-5---E-F-=--2-E-F,

510

：.EF=^-,

2

:.EM=5,

,?AAEMsAABC,

S

.AAEM(EM)2=」，

5△ABCBC4

SHa®BCME—S/\ABC-S&AEM=3S&AEM,

...△4EM与四边形8cME的面积比为1：3,

故答案为：1：3.

13.(3分)定义：［a,b,可为二次函数)=0^+法+c(a#O)的特征数，下面给出特征数为

［m,1-m,2-词的二次函数的一些结论：①当机=1时，函数图象的对称轴是y轴；②

当m=2时，函数图象过原点；③当机>0时，函数有最小值；④如果，〃<0,当时，

2

)，随x的增大而减小.其中所有正确结论的序号是①②③.

【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为［，〃，1-，〃，2的二次函数的表达式为y

—nv?+(1-〃?)x+2-m.

♦.•此抛物线的的对称轴为直线犬=上=上

2a2m2m

...当m=l时，对称轴为直线x=0,即y轴.故①正确；

:当机=2时，此二次函数表达式为)=寸-x,令x=0,则y=0,

二函数图象过原点，故②正确；

:当〃?>0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确;

•・加＜0,

对称轴抛物线开口向下，

2m22m

・・・在对称轴的右侧，），随犬的增大而减小.

即时，y随X的增大而减小.

22m

故④错误.

故答案为：①②③.

14.（3分）如图，一次函数y=x与反比例函数丁=工（尤>0）的图象交于点A,过点A作

x

AB.LOA,交x轴于点3；作34〃。4,交反比例函数图象于点Ai；过点Ai作Ai3i_LAi3

交不轴于点&再作81A2〃&U,交反比例函数图象于点42,依次进行下去，…，则点

A2021的横坐标为_42022±42021_-

【解答】解：如图，分别过点A,Ai,A2,作x轴的垂线，垂足分别为C,D,E,

:一次函数y=x与反比例函数），=2（%>0）的图象交于点A,

X

'y=x

工联立|1,解得A（1,1）,

y=­

X

：.AC=OC=lfNAOC=45°,

9

：AB10Af

•••△0A8是等腰直角三角形，

・・・OB=2OC=2f

,

：A\B//OA1

AZA\BD=45°,

设BO=m,则Ai£>=m,

.'Ai（〃z+2,加）,

二,点4在反比例函数y=L上，

x

；・m（771+2）=1,解得"?=-1+M，（m二一1一亚，负值舍去），

・・・4（&+1，亚-1），

VA1B1±A1B,

：.BB\=2BD=2y/2-2,

*,«OBI=2>>y^.

B\Ai//BA\,

，NA28IE=45°,

设B\E=t,则A2E=t,

.\A2（t+2y/~2ft）,

点Ai在反比例函数y=』上，

X

K+26）=1,解得，（，=-«-«，负值舍去），

・・・A2电用,如-6

同理可求得43（2+«,2-«）,

以此类推，可得点A2021的横坐标为42022+42021・

故答案为：V2022+V2021-

三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）

15.（6分）计算：（2021-n）°-|3-VT^I+4cos30°-（A）1

4

【解答】解：原式=1-（2娟-3）+4X喙-4

=1-2后3+2«-4

=0.

22

nm

16.（6分）先化简，再求值：r-_其中〃2,〃满足典=-△.

m-2nm2-4inn+4n232

［解答］解：原式=1+空区・（哽

m-2n-（m-n）（m-►n）

=]_m2n

m+n

m+n_m-2n

m+nm+n

—--3n,

mF

•.•处=-△，

32

••机=-,

2

则原式=号」=号一=-6.

?如7n

17.（6分）如图，在菱形ABCZ）中，点M、N分别在AB、CB上，且NADM=NCDN,求

证：BM=BN.

【解答】证明：；四边形ABC力为菱形，

：.AD=CD=AB=BC,ZA=ZC.

在△AMD和△CNZ）中，

fZA=ZC

<AD=CD，

ZADM=ZCDN

.♦.△AMDmACND（ASA）.

：.AM=CN,

:.AB-AM=BC-CN,

即BM=CN.

18.（6分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°

方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西

安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？

北

【解答】解：过点C作CD1_8A的延长线于点D,如图.

由题意可得：ZCAD=60Q,ZCBD=30°=ZDCA,

J.ZBCA^ZCAD-ZCBD=60°-30°=30°.

即/BC4=NC8O,

，4C=AB=200（海里）.

在RtZXCDA中，CDnsinNCADXACu^xZOOulOoT（海里）.

在RtZ\C£>8中，CB=2CD=200F（海里）.

故位于4处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200T海

里.

19.（7分）列方程（组）解应用题

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销

售量将增加120千克.

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让

顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？

【解答】解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，

（38-X-22）（160+AX120）=3640,

3

整理得』-12r+27=0,

.*.x=3或x=9.

・・,要尽可能让顾客得到实惠,

，x=9,

J售价为38-9=29元.

答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元.

20.(7分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、04分别在坐标轴上，且

OA=2,OC=4,连接08.反比例函数丫=二(x>0)的图象经过线段08的中点。，

x

并与AB、BC分别交于点E、F.一次函数的图象经过E、F两点.

(I)分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

(2)点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点尸的坐标为(工，0).

一5

【解答】解：(I)•••四边形OA8C为矩形，OA=BC=2,0C=4,

：.B(4,2).

由中点坐标公式可得点。坐标为(2,I),

k

•.•反比例函数y=-L(x>0)的图象经过线段。2的中点D,

X

.\k\=xy=2'X1=2,

故反比例函数表达式为y=2.

X

令y=2,则x=l；令x=4,则y=L

2

故点E坐标为(1,2),F(4,A).

2

设直线E尸的解析式为)，=履+6,代入E、尸坐标得：

，2=k+bk=-y

<1，解得：<.

万=4k+bb=f

故一次函数的解析式为、=卷.

(2)作点E关于x轴的对称点E,连接E尸交x轴于点P,则此时PE+PF最小.如图.

由E坐标可得对称点E(1,-2),

设直线EF的解析式为y=w+〃，代入点E、尸坐标，得:

/I5

-2=k+b

.1,解得：\.

万=4k+bbT

6

则直线EF的解析式为y=ax』，

66

令y=0,则

5

点P坐标为（卫，0）.

5

故答案为：（工，0）.

21.（10分）2021年5月，荷泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽

取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个

等级，学校绘制了如下不完整的统计图.根据图中提供的信息解答下列问题：

L5米折返跑扇形统计图

（1）请把条形统计图补充完整；

（2）合格等级所占百分比为30%；不合格等级所对应的扇形圆心角为36度;

（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校运

动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、8两位同学的概率.

【解答】解：（1）抽取的学生人数为：12+40%=30（人），

则优秀的学生人数为：30-12-9-3=6（人），

把条形统计图补充完整如下：

不合格等级所对应的扇形圆心角为：360°xJ_=36°,

30

故答案为：30,36；

(3)优秀等级的学生有6人，为4、B、C、D、E、F,

画树状图如图：

CD

BCDEFACDEFABDEFABCEFABCDFABCDE

共有30种等可能的结果，恰好抽到A、B两位同学的结果有2利

.•.恰好抽到A、B两位同学的概率为2=2.

3015

22.(10分)如图，在00中，AB是直径，弦CQJ_AB,垂足为H,E为踊上一点，F为弦

QC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G,连接AE交CD于点P,

若FE=FP.

(1)求证：BE是。。的切线；

(2)若。。的半径为8,sinF=3,求BG的长.

【解答】解：(1)如图，连接OE,

•；OA=OE,

・•・ZA=ZAEO,

9：CDLAB,

・・.NA"P=90°,

°：FE=FP,

；./FPE=/FEP,

VZA+ZAPH=ZA+ZFPE=90°,

：.ZFEP+ZAEO=90°=NFEO,

：.OELEF,

・・・在是。。的切线；

(2)9：ZFHG=ZOEG=90°,

AZG+Z£OG=90°=ZG+ZF,

：.ZF=ZEOG,

AsinF=sinZEOG=^-=2,

OG5

设EG=3x,OG=5x,

°E=JOG2-EG2=425X2-9X2=4X，

VOE=8,

.•・x=2,

・・・OG=10,

・・・BG=10-8=2.

23.(10分)在矩形ABC。中，BC=MCD,苴E、F分别是边AD、8C上的动点，且A£

=CF,连接EF,将矩形ABC。沿EB折叠，点C落在点G处，点。落在点H处.

(1)如图1,当E”与线段8c交于点P时，求证：PE=PF；

(2)如图2,当点P在线段CB的延长线上时，G”交A8于点M,求证：点"在线段

EF的垂直平分线上；

(3)当AB=5时，在点E由点A移动到A。中点的过程中，计算出点G运动的路线长.

图1图2备用图

【解答】(1)证明：如图1中，

图1

•.•四边形A8C。是矩形，

：.AD//BC,

：.ZDEF=ZEFB,

由翻折变换可知，/DEF=/PEF,

：./PEF=NPFE,

：.PE=PF.

(2)证明：如图2中，连接AC交EF于。，连接PM,P0.

：.ZEAO-=ZFCO,

"：AE=CF,ZAOE=ZCOF,

/.(AAS),

：.OE=OF,

,;PE=PF,

；.PO平分NEPF,

,:PE=PF,AD=BC,AE^FC,

：.ED=BF,

由折叠的性质可知ED=EH,所以BF=EH,

：.PE-EH=PF-BF,

：.PB=PH,

:NPHM=NPBM=90°,PM=PM,

：.(HL),

:.PM平分NEPF,

：.P.M,。共线，

；POtEF,OE=OF,

...点M在线段EF的垂直平分线上.

(3)如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图

中弧BC.

图3

在RtZXBCQ中，tanNC8D=型

BC3

AZCBD=30°,

.•.NA8O=2048=60°,

是等边三角形，

AOA=OD=OB=0C=AB=5,NBOC=120°,

...点G运动的路径的长=120•冗，5=」％.

1803

故答案为：也I.

3

24.(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线丫=/+法-4交x轴于A(-1,0)、

B(4,0)两点，交y轴于点C.

备用图

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB,过点C作CQ〃BP交x轴于点Q,连

接PQ,求APBQ面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线＞=。/+法-4向右平移经过点(工，0)时，得到新抛

2

物线y=ai/+6x+a,点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点尸，使得

以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，

请说明理由.

参考：若点P\(XI,yi)、P2(X2,J2),则线段P\P2的中点Po的坐标为(3~~

22

【解答】解：(1)由题意得：［a-b-4=°,解得［a=l,

［16a+4b-4=0Ib=-3

故抛物线的表达式为-3x-4；

(2)由抛物线的表达式知，点C(0,-4),

设点P的坐标为Cm,nr-3m-4),

设直线PB的表达式为y^kx+t,

则卜2-3m-4=km+t,解得(k=m+l,

0=4k+tIt=-4m-4

•・・CQ//BP,

故设直线CQ的表达式为y=（〃计l）x+p,

该直线故点C(0,-4),即〃=-4,

故直线CQ的表达式为y=("z+l)x-4,

令尸(771+1)x-4=0,解得x=—^―,即点。的坐标为(一^―,0),

m+1m+1

则BQ=4-_

m+1m+1

设△P8Q面积为S,

2

贝l」S=J^XBQX(-yp)=-Ax-^LX(w-3/n-4)=-2W2+8/H,

22m+1

V-2<0,故S有最大值，

当机=2时，△P8Q面积为8,

此时点P的坐标为(2,-6)；

（3）存在，理由：

将抛物线y=o?+法-4向右平移经过点（工，0）时，即点A过改点，即抛物线向右平

2

移了工+1=旦个单位，

22

则函数的对称轴也平移了3个单位，即平移后的抛物线的对称轴为3+3=3,故设点E

222

的坐标为（3,加），

设点F（6,力,

①当4P是边时，

则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P,

同样点F（E）向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E（F）且AE=PFCAF=PE）,

(s+3=3

则《t-6=m或1t+6=m

,42+m2=(s-2)2+(t+6.,(s+1)2+t2=(3~2)2+(m+6)2

11

m=2

解得《s=0或s=6，

1t=-4

t=T

故点尸的坐标为（3,-Al）或（3,2）；

2

②当AP是对角线时,

'2-l=3+s

由中点坐标公式和AP=EF得：＜-6+0=m+t

,(2+1)2+(-6)J(s*3)22

fs=-2fs=-2

解得《t=-遥-3或.,

m=_3+V5IU=-3-A/5

故点尸的坐标为（3,-3+或（3,-3-J^）；

综上，点尸的坐标为（3,-3+V5）或（3,-3-旄）或（3,--H）或（3,2）.

2

2021年浙江省金华市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）实数-上，-、石，2,-3中，为负整数的是（

2

A.-AB.-V5C.2D.-3

2

2.（3分）1+2=（）

aa

A.3B.WC.2D.3

2a2

acL

3.（3分）太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，其中数150000000用科学记数法

表示为（）

A.1.5X108B.15X107C.I.5X107D.0.15X109

4.（3分）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（）

-2-10123

A.x+2>0B.x-2<0C.2x24D.2-x<0

5.（3分）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（）

如图，已知直线/1,12,/3,U.若N1=N2,则/3=N4.

请完成下面的说理过程.

解：已知N1=N2,

根据（内错角相等，两直线平行）,得h〃b.

再根据（※卜得N3=N4.

A.两直线平行，内错角相等

B.内错角相等，两直线平行

C.两直线平行，同位角相等

D.两直线平行，同旁内角互补

6.（3分）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（）

B.

D.

7.（3分）如图是一架人字梯，已知A8=AC=2米，AC与地面BC的夹角为a,则两梯脚

之间的距离8。为（）

A-〜

十三

BC

A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.——殳二一米

cosa

8.(3分)已知点A(xi,yi),8(x2,)2)在反比例函数y=-的图象上.若xi〈0V«x2,

x

贝!J()

A.y\<0<y2B.y2<0<y\C.yiVy2VoD.y2<yi<0

9.（3分）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最

低的是（）

A.先打九五折，再打九五折

B.先提价50%,再打六折

C.先提价30%,再降价30%

D.先提价25%,再降价25%

10.（3分）如图，在RtZVIBC中，ZACB=90°,以该三角形的三条边为边向形外作正方

形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为Si,△ABC面

积为S2,则包的值是（）

$2

A5兀aC<C117T

A.———DB.3TIC.5ITD.———

22

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）二次根式/启中，字母x的取值范围是.

12.（4分）已知，*=2是方程3x+2y=i0的一个解，则机的值是____.

Iy=ni

13.（4分）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三

等奖80个.已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率

是.

14.（4分）如图，菱形ABC。的边长为6c%,N5W=60°,将该菱形沿AC方向平移

得到四边形A'B'CD',A'D'交CD于点E,则点E到AC的距离为cm.

15.（4分