福建厦门大同中学2025届数学高二上期末检测试题含解析

福建厦门大同中学2025届数学高二上期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等差数列中，若，，则等于（）A. B.C. D.2．若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（）A. B.C. D.3．如图，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，是线段上靠近的三等分点，为正三角形，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.4．已知数列满足，，则（）A. B.C.1 D.25．“，”的否定是A.， B.，C.， D.，6．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（）A.函数在上是增函数B.函数在上是减函数C.是函数的极小值点D.是函数的极大值点7．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.1 B.0C.−1 D.−38．直线的倾斜角为（）A.0 B.C. D.9．函数在点处的切线方程的斜率是（）A. B.C. D.10．函数的最小值为（）A. B.1C.2 D.e11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（）A. B.C. D.12．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数有极大值和极小值B.函数有极大值和极小值C.函数有极大值和极小值D.函数有极大值和极小值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，，三点共线，则m的值为___________.14．双曲线的渐近线方程为______15．已知满足约束条件，则的最小值为___________16．已知等差数列满足，，，则公差______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知三角形的内角所对的边分别为，且C为钝角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面积.18．（12分）圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程19．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围.20．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若点在棱上，且平面，求线段的长21．（12分）新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取了1500名居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图．满意度评分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求a的值；（2）定义满意度指数，若，则防疫工作需要进行调整，否则不需要调整，根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行调整？22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA、OB，l于点P、Q、N（1）试探索PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；（2）当P、Q是线段MN的三等分点时，求直线AB的斜率；（3）当P、Q不是线段MN的三等分点时，证明：以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆Q不可能包围线段NP

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由等差数列下标和性质可得.【详解】因为，，所以.故选：C2、B【解析】利用余弦型函数的周期公式可求得的值，由结合的取值范围可求得的值.【详解】由已知可得，且，因此，.故选：B.3、D【解析】根据椭圆定义及正三角形的性质可得到\，再在中运用余弦定理得到、的关系，进而求得椭圆的离心率【详解】由椭圆的定义知，，则，因为正三角形，所以，在中，由余弦定理得，则，，故选：D【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中等题.4、C【解析】结合递推关系式依次求得的值.【详解】因为，，所以，得由，得.故选：C5、D【解析】通过命题的否定的形式进行判断【详解】因为全称命题的否定是特称命题，故“，”的否定是“，”.故选D.【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题.6、A【解析】根据图象，结合导函数的正负性、极值的定义逐一判断即可.【详解】由图象可知，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，可知B错误，A正确；是极大值点，没有极小值，和不是函数的极值点，可知C，D错误故选：A7、B【解析】先画出可行域，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，求出点的坐标代入目标函数中可得答案【详解】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故选：B8、D【解析】根据斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】由题的斜率，故倾斜角的正切值为，又，故.故选：D.9、D【解析】求解导函数，再由导数的几何意义得切线的斜率.【详解】求导得，由导数的几何意义得，所以函数在处切线的斜率为.故选：D10、B【解析】先化简为，然后通过换元，再研究外层函数单调性，进而求得的最小值【详解】化简可得：令，故的最小值即为的最小值，是关于的单调递增函数，易知对求导可得：当时，单调递减；当时，单调递增则有：故选：B11、C【解析】由题设且，应用不等式求的范围，即可确定项数.【详解】由题设，且，所以，可得且.所以此数列的项数为.故选：C12、D【解析】则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据三点共线与斜率的关系即可得出【详解】由，，三点共线，可知所在的直线与所在的直线平行，又，由已知可得，解得故答案为：14、【解析】将双曲线方程化成标准方程，得到且，利用双曲线渐近线方程，可得结果【详解】把双曲线化成标准方程为，且，双曲线的渐近线方程为，即故答案为【点睛】本题主要考查利用双曲线的方程求渐近线方程，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．若双曲线方程为，则渐近线方程为；若双曲线方程为，则渐近线方程为.15、【解析】根据题意，作出可行域，进而根据几何意义求解即可.【详解】解：作出可行域如图，将变形为，所以根据几何意义，当直线过点时，有最小值，所以联立方程得，所以的最小值为故答案为：16、2【解析】根据等差数列性质求得，再根据题意列出相关的方程组，解得答案.【详解】为等差数列，故由可得：，即，故，故，所以，解得，故答案为：2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积【小问1详解】因为，由正弦定理得因，所以.因为角为钝角，所以角为锐角，所以【小问2详解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合题意舍去，故的面积为=18、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.【解析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.由解得即圆心坐标是C(3，2)又r＝|AC|＝＝2.所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.19、（1）在、上递增，在上递减；（2）.【解析】【小问1详解】由题设，且定义域为，则，当或时，；当时，.所以在、上递增，在上递减.【小问2详解】由题设，在上恒成立，所以在上恒成立，当时，满足题设；当时，，可得.综上，.20、（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）．（Ⅲ）.【解析】第一问根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出线线垂直的结论，注意在书写的时候条件不要丢就行；第二问建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值来求得二面角的余弦值；第三问利用向量共线的关系，得出向量的坐标，根据线面平行得出向量垂直，利用其数量积等于零，求得结果.（Ⅰ）证明：因为平面⊥平面，且平面平面，因为⊥，且平面所以⊥平面因为平面，所以⊥.（Ⅱ）解：在△中，因为，，，所以，所以⊥.所以，建立空间直角坐标系，如图所示所以，，，，，，.易知平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则，即，令，则.设二面角的平面角为，可知为锐角，则，即二面角的余弦值为（Ⅲ）解：因为点在棱，所以，因为，所以，.又因为平面，为平面的一个法向量，所以，即，所以所以，所以.21、（1）（2）不需要【解析】（1）直接根据频率和为1计算得到答案.（2）计算平均值得到得到答案.【小问1详解】，解得.【小问2详解】.故不需要进行调整.22、（1），证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】（1）根据已知条件设出直线方程及，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式，三点共线的性质即可求解；（2）根据已知条件得出，运用韦达定理和弦长公式，可得出直线的斜率；（3）根据（1）的结论及求根公式，求得点的坐标，结合的表达式，结合图形可知,由的