新人教版九年级下册数学第28章和29章教学设计含反思

精编新人教版九年级下册数学第28章和29章教案教学设计

含反思

目录：

第二十八章锐角三角函数全屋元教案设计含反思8课时

第二十九章投影与视图全单元教案设计含反思6课时

28.1锐角三角函数教案设计含反思4课时

第1课时正弦函数

卷囿圜橱

i.能根据正弦概念正确进行计算；（重点）

2.能运用正弦函数解决实际问题.（难点）

一、情境导入

牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站（点A）与水面（8。的高度（AB）.斜

坡与水面所成的角（N。可以用量角器测出来，水管的长度（AO也能直接量得.

二、合作探究

探究点一：正弦函数

©B如图，sinA等于（）

LA

A.2B坐C.1D.小

解析：根据正弦函数的定义可得sin/l=T，故选C.

方法总结：我们把锐角4的对边a与斜边c的比叫做NA的正弦，记作sinA.即sinA=

NA的对边a

斜边一不

变式训练：见《学练优》本课时练习”课堂达标训练”第2题

探究点二：正弦函数的相关应用

［类型一］在网格中求三角函数值

圆❷如图，在正方形网格中有△A8C,则sin/ABC的值等于（）

A.噜B噌C.|D.10

解析：回，BC=V^,AC=y[2,：.AB2=BC1+AC1,：.ZACB=90°,Z.sin

“ABC韦=^=喘故选B-

方法总结：解决有关网格的问题往往和勾股定理及其逆定理相联系，根据勾股定理求出

三边长度，再运用勾股定理的逆定理判断三角形形状.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

［类型二］已知三角函数值，求直角三角形的边长

____2

画❸在RtZ^ABC中，ZC=90°,8C=4,sinA=g,则AB的长为（）

Q

A?B.6C.12D.8

解析：：...48=6.故选B.

Ar>An3

方法总结：根据正弦定义表示出边的关系，然后将数值代入求解，记住定义是解决问题

的关键.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

［类型三］三角函数与等腰三角形的综合

画。己知等腰三角形的一条腰长为25cm,底边长为30cm,求底角的正弦值.

解析：先作底边上的高AQ,根据等腰三角形三线合一的性质得到BQ=；BC=15cm,

再由勾股定理求出A。，然后根据三角函数的定义求解.

解：如图，过点A作AO_L8C,垂足为D：AB=AC=25cm,BC=30cm,AD为底边上

的高，；.8£）=；BC=15cm.由勾股定理得AO=，^^"^?=20cm,sinZASC=^=|^=

4

5-

方法总结：求三角函数值一定要在直角三角形中求值，当图形中没有直角三角形时，要

通过作高，构造直角三角形解答.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

［类型四］在复杂图形中求三角函数值

BDC

陶❺如图，在△ABC中，AQ_LBC于。，如果A£>=9,DC=5,E为AC的中点，求

sin/EOC的值.

解析：首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据直角三角形的性质可得QE=EC,根

An

据等腰三角形性质可得NE£)C=/C,进而得到sinZEDC=sinZC=77

AC-

解：'：ADLBC,.•./4OC=90°,,：AD=9,DC=5,：.AC=\[^+?^y[\06.'：E

106-

方法总结：求三角函数值的关键是找准直角三角形或利用等量代换将角或线段转化进行

解答.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

[类型五]在圆中求三角函数值

画质如图，已知AB是。。的直径，8是弦，且C£>_LA8,BC=6,AC=8,求sin/

ABD的值.

解析：首先根据垂径定理得出NABZ)=NABC,然后由直径所对的圆周角是直南，得出

/ACB=90°,根据勾股定理算出斜边AB的长，再根据正弦的定义求出sinNABC的值，

从而得出sinZABD的值.

解：由条件可知念=尬，AZABD=ZABC,：.sinZABD=sinAABC.VAB为直径，

.../ACB=90".在RtZ\ABC中，•:BC=6,AC=8,AAB^Bf^+AC1=10,：.smZABD

sr4

=sinZABC=-7-5=T.

/\DJ

方法总结：求三角函数值时必须在直角三角形中.在圆中，由直径所对的圆周角是直角

可构造出直角三角形.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1.正弦的定义；

2.利用正弦解决问题.

在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教

师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和

合作交流的能力起着积极作用.

28.1锐角三角函数

第2课时余弦函数和正切函数

1.理解余弦、正切的概念；（重点）

2.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.（重点）

一、情境导入

教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？

B

2的对边a

------------

NA的邻边b'

学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在RtZiABC中，ZC

=90°,当锐角/A确定时，NA的对边与斜边的比就随之确定了.现在我们要问：其他边

之间的比是否也确定了呢？为什么？

二、合作探究

探究点一：余弦函数和正切函数的定义

［类型—］利用余弦的定义求三角函数值

在RtZiABC中，ZC=90°,AB=13,AC=12,则cosA=（）

.5c5〃12c12

A-]3B?2C-l3DT

解析：：中，.故选

RtZ\A8CNC=90°,AB=13,AC=12/iLJ,1JC.

方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

［类型二］利用正切的定义求三角函数值

画❷如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，aABC的三个顶点均在格点上，则

tanA=()

A.|B.1

C.|D.1

BC4

解析：在直角△ABC中，VZABC=90°,・・・1@也=弁=鼻.故选口.

/IJD3

方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

探究点二：三角函数的增减性

［类型一］判断三角形函数的增减性

酶随着锐角a的增大，cos。的值（）

A.增大B.减小

C.不变D.不确定

解析：当角度在0°〜90。之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.

方法总结：当0°<«<90°时，cos。的值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.

［类型二］比较三角函数的大小

sin70°,cos70°,tan700的大小关系是（）

A.tan700<cos700<sin70°

B.cos70°<tan700<sin700

C.sin70°<cos700<tan70°

D.cos70°<sin700<tan70°

解析：根据锐角三角函数的概念,知sin70°<1,cos70°<1,tan70°>1.又；cos70°

=sin20°,正弦值随着角的增大而增大，...sin70°>cos70°=sin20°.故选D.

方法总结：当角度在0°WNAW90。之间变化时，OWsinAWl,OWcosAWl,tanANO.

探究点三：求三角函数值

［类型一］三角函数与圆的综合

画应如图所示，ZXABC内接于。O,A8是。。的直径，点。在。。上，过点C的切

线交AO的延长线于点E,且连接CD

⑴求证：DC=BC；

（2）若AB=5,AC=4,求tan/OCE的值.

解析：（1）连接OC,求证。C=BC可以先证明/C4O=/BAC,进而证明庆'=靛?；（2）

由AB=5,AC=4,可根据勾股定理得到BC=3,易证△ACfs/XABC,可以求出CE、DE

的长，在RtACDE中根据三角函数的定义就可以求出lanNOCE的值.

⑴证明：连接OC：OA=OC,.•.NOAC=/OCA.：CE是。。的切线，，NOCE=90°.

：AE_LCE,.•.N4EC=NOCE=90°,：.OC//AE,.".ZOCA^ZCAD,：.ZCAD^ZBAC,

：.DC=BC.：.DC=BCf

（2）解：是。O的直径，，NACB=90°,AAB2-AC2=y）52-A2=3.VZCAE

ECACEC4I?

=/BAC,ZAEC=ZACB=90°,AAACE^AABC,・••后=77，即"T=三，^C=v«V

oCADJJJ

__________9

DC=BC=3,:.ED=7DC2-CE2=yj32-（y）2=1,tanZ£>CE=|^=^=1.

T

方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等.利用圆的有关性质，寻找

或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行

转化.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

［类型二］利用三角形的边角关系求三角函数值

（M如图,△ABC中,ADLBC,垂足是。，若8c=14,AD=12,tanZBAD=^,求

sinC的值.

3

解析：根据tanNH4O=w，求得8。的长.在直角△4C。中由勾股定理可求AC的长，

然后利用正弦的定义求解.

RD4q

解：：在直角△ABO中，tan/BAZ）=^=『BD=AD-tanZBAD^\2X^=9,：.CD

=8C-8O=14—9=5,AAC=yjAD2+CD2=A/122+52=13,.,.sinC=^=]|.

方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结

合勾股定理是解答此类问题的关键.

变式训练：见《学练优》本课时练习”课后巩固提升”第9题

三、板书设计

1.余弦函数的定义；

2.正切函数的定义；

3.锐角三角函数的增减性.

歙甑恩

在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，

结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目.通过引导学生进行知识梳理，教

会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识.

28.1锐角三角函数

第3课时特殊角的三角函数

卷图醐

1.经历探索30°、45。、60。角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；（重

点）

2.能够进行30°、45。、60。角的三角函数值的计算；（重点）

3.能够结合30。、45。、60。的三角函数值解决简单实际问题.（难点）

敷逊1

一、情境导入

问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？

问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1,

分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

二、合作探究

探究点一：特殊角的三角函数值

［类型—］利用特殊的三角函数值进行计算

HD计算：

⑴2cos60°,sin30°一,sin450,sin60°；

sin300—sin45°

Q)COS60°+cos450,

解析：将特殊角的三角函数值代入求解.

解:⑴原式=2X；X>加X乎X坐=有一'=-1；

1_立

(2)原式==2小一3.

方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

［类型二］已知三角函数值求角的取值范围

一_2

囱❷若cos。=手则锐角。的大致范围是()

A.0°<a<30°B.30°<a<45°

C.45°<a<60°D.0°<a<30°

解析：:cosBO。=坐，cos45°=当，cos60°=z,且Jv'V鲜，，cos60°<cosa<

cos45°,.,.锐角a的范围是45°<a<60°.故选C.

方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性.

［类型三］根据三角函数值求角度

酶若小tan(a+10°)=1,则锐角a的度数是()

A.20°B.30°C.40°D.50°

解析：；小tan(a+10°)=1,.\tan(«+10°)=^-.Vtan300=号，a+10°=30°,

:.a=20°.故选A.

方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题

探究点二：特殊角的三角函数值的应用

［类型一］利用三角形的边角关系求线段的长

画0如图，在△A8C中，/ABC=90°,NA=30°,£>是边A8上一点，ZBDC=45°,

AD=4,求BC的长.

解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则8O=BC,在R12XABC中，利用锐角

三角函数的定义求出BC的长即可.

解：；NB=90°,/BOC=45°,为等腰直角三角形，在RtZXABC

中，tan/A=tan30°~~AB,即8(7+4="^"，解得8c=2(<§+1).

方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列

出式子，求出三角函数值，进而求出答案.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

［类型二］判断三角形的形状

已知△48C中的NA与NB满足（l-tanA^+lsinB一坐=0,试判断△A8C的形状.

解析：根据非负性的性质求出taM及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出NA

及的度数，进而可得出结论.

AQ

解：；（1-tanAf+lsinB一争=0,：AanA=\,sinB=^,AZA=45°,ZB=60°,

ZC=180°-45°-60°=75°,△ABC是锐角三角形.

方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加

和为0时，则其中的每一项都必须等于0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

［类型三］构造三角函数模型解决问题

画质要求tan30。的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算.作RtAABC,使NC

_Ar1

=90°,斜边48=2,直角边AC=1,那么BC=小，NABC=30°,，tan30°=氤=忑=

坐.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tanl5°与tan75°的值.

解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出C£）的长，进而得出tanl5°=岩,

£>C

tan75°=不力求出即可.

解：作N3的平分线交4C于点。，作OE_LA5,垂足为ETBO平分NABC,CDLBC,

DE1AB,；.CZ)=OE设CD=x,则AD=\~x,AE=2—BE=2—BC=2一正在RtAADE

中，。铲+4炉=4。2,/+(2—5)2=(1—4，解得》=2小一3,.，由1115°=2^j~3=2一小,

,BC灰r-

tan75-CD~2^-3~2+^3'

方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15。和75。的直角三角形，再根据三

角函数的定义求出15°和75。的三角函数值.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

三、板书设计

1.特殊角的三角函数值：

30°45°~60°

sina亚

22

1

cosQ近应

222

tanQ亚1

3小

2.应用特殊角的三角函数值解决问题.

敷卷底思

课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行

了整体的复习，效果很好.在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的

教学很成功，学生理解的很好.

28.1锐角三角函数

第4课时用计算器求锐角三角函数值及锐角

卷闰I®

1.初步掌握用计算器求三角函数值的方法；(重点)

2.熟练运用计算器求三角函数值解决实际问题.(难点)

一、情境导入

教师讲解：通过上面几节课的学习我们知道，当锐角是30°、45。或60。等特殊角

时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角NA不是这些特殊角，怎样

得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值.

二、合作探究

探究点一：用计算器求锐角三角函数值及锐角

［类型—］已知角度，用计算器求函数值

@D用计算器求下列各式的值(精确到o.oooi)：

(l)sin47°；(2)sinl2°30'；

(3)cos25°18'；(4)sinl8°+cos550-tan590.

解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近

似数.

解：根据题意用计算器求出：

(l)sin47°=0.7314；

(2)sinl2°30'心0.2164；

(3)cos25°18z^0.9041；

(4)sinl8°+cos550-tan59°七—0.7817.

方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

［类型二］已知三角函数值，用计算器求锐角的度数

皿已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角NA,NB的度数(结果精确到0.1°)：

(1)sinA—0.7,sin^—0.01；

(2)cosA=0.15,cosB=0.8；

(3)tanA=2.4,tan3=0.5.

解析：由三角函数值求角的度数时，用至《画，画键的第二功能键，要注意按

键的顺序.

解：(l)sinA=0.7,得NA~44.4°；sinB=0.01得/八0.6°；

(2)cosA=0.15,得NA281.4°；cosB=0.8,得N8-36.9°；

(3)由tan4=2.4,得NAg67.4°；由tanB=0.5,得NB七26.6°.

方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

［类型三］利用计算器验证结论

H(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：

①sin30°2sinl5°cos15°；

②sin36。________2sinl8°cosl8°；

③sin45°2sin22.5°cos22.5°

@sin60°__2sin30°cos30°；

⑤sin80°2sin400cos40°.

猜想：已知0°<a<45°,则sin2。2sinacosa.

(2)如图，在△ABC中，AB=AC=1,NBAC=2a,请根据提示，利用面积方法验证结

论.

AA

解析：（1）利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边，比较大小；（2）通过计算△ABC

的面积来脸证.

解：（1）通过计算可知：

①sin30°=2sinl5°cosl50；

②sin36°=2sinl80cosl8°；

③sin45°=2sin22.5°cos22.5°；

@sin60°=2sin30°cos30°；

⑤sin80°=2sin40°cos40°；

sin2a=2sinacosa.

x

（2）VSAABC=^AB,sin2a•AC=%in2a,SAABC—22ABsina•ACeosa=sina,cos

a,；.sin2a=2sinacosa.

方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积,

来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

［类型四］用计算器比较三角函数值的大小

dD用计算器比较大小：20sin87°tan87°.

解析：20sin870«20X0.9986=19.974,tan870=19.081,V19.974>19.081,

20sin87°>tan87°.

方法总结：利用计算器求值时，要注意计算器的按键顺序.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

探究点二：用计算器求三角函数值解决实际问题

@0如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=20km,ZCAB=25°,ZCBA

=37°,因城市规划的需要，将在A、8两地之间修建一条笔直的公路.

(1)求改直的公路AB的长；

(2)公路改直后比原来缩短了多少千米？

解析：(1)作CH1,AB于H.在RtZ\AC〃中根据C”=4CsinNC4B求出CH的长，由AH

=ACcosNCAB求出A”的长，同理可求出8”的长，根据A8=A4+B”可求得AB的长；

(2)在RtZ\BCH中，由BC=一无£可求出BC的长,由AC+BC-AB即可得出结论.

解：(l)作C，J_AB于〃.在Rt△ACH中，CH=ACsmZCAB=ACsm25a==*20X0.42=

CH

8.4km,A〃=ACcos/CAB=ACcos25°弋20X0.91=18.2km.在RtABOT中，BH=777777

tanZCBA

84

%.少=11.1km,；.AB=AH+8H=18.2+11.1=29.3km.故改直的公路AB的长为29.3km；

tan37

CHCHo4

(2)在RtzXBCH中，BC=一丁片示二一二二以总=14km,则AC+8C—48=20+14—

sinZCBAsin370.6

29.3=4.7km.

答：公路改直后比原来缩短了4.7km.

方法总结：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此类问题的关键.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

三、板书设计

1.已知角度，用计算器求函数值；

2.已知三角函数值，用计算器求锐角的度数；

3.用计算器求三角函数值解决实际问题.

备课时尽可能站在学生的角度思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与

到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折.舍得把课堂

让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充

满人性魅力，真正提高课堂教学效率，提高成绩.

第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形教案设计含课

后反思4课时

28.2.1解直角三角形

粤痣醐

1.理解解直角三角形的意义和条件；（重点）

2.根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素.（难点）

嬲婕

一、情境导入

A

世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜.设塔顶中心点为民塔身中心线

与垂直中心线夹角为NA,过点8向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在中，ZC=

90°,BC=5.2m,AB=54.5m,求/A的度数.

在上述的RtZ\ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？

二、合作探究

探究点一：解直角三角形

［类型一］利用解直角三角形求边或角

m1已知在RtZVIBC中，NC=90°,NA、NB、NC的对边分别为a,h,c,按下

列条件解直角三角形.

（1）若〃=36,NB=30°,求NA的度数和边仄c的长；

（2）若〃=6啦，b=6#,求/A、N8的度数和边c的长.

解析：（1）已知直角边和一个锐角，解直南三南形；（2）已知两条直角边，解直角三角形.

解：（1）在RtZ\ABC中，；/8=30°,a=36,ZA=90°-ZB=60°,VcosB=p

即c'=cos8=^y^=24V^'，6=sinB,c=］X241\/5=

2

A

（2）在Rtz^ABC中，,：a=6p,b=6yf6,：.tanA=^=^,ZA=30°，，/B=60°,

:.c=2a=1

方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与

两个已知元素的关系式求解.

变式训练：见《学练优》本课时练习”课堂达标训练”第4题

［类型二］构造直角三角形解决长度问题

n一副直角三角板如图放置，点C在F£＞的延长线上,AB〃C凡/F=/4CB=90°,

Z£=30°,乙4=45°,AC=12吸，试求CO的长.

E

A

FMDC

解析:过点8作8M_L尸。于点M,求出BW与CM的长度，然后杜丛EFD中可求出NEDF

=60°,利用解直角三角形解答即可.

解：过点8作。于点M,在△ACB中，NACB=90°，乙4=45°,AC=12吸,

：.BC=AC^12y［2.'：AB//CF,：.fiM=sin45°BC=12也义乎=12,CM=BM=12在AEFD

中，ZF=90°,ZE=30°,:.NEDF=60°,；.小。=-%-=4小,：.CD=CM-MD=

tanoOY

12—4小.

方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数

的关系进行解答.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

［类型三］运用解直角三角形解决面积问题

,__3

画图如图，在△ABC中，已知NC=90°,sinA=］,。为边AC上一点，NBDC=45°,

QC=6.求△ABC的面积.

解析：首先利用正弦的定义设8C=3匕AB=1k,利用BC=C£)=3k=6,求得大值，从

而求得AB的长，然后利用勾股定理求得AC的长，再进一步求解.

解：VZC=90°,.,.在RtZXABC中，sin4=TH=7>设BC=3k,则A8=7©k>0),在

中，VZBCD=90°,，/BDC=45°,:.NCBD=NBDC=45°,:.BC=CD=

3k=6,：.k=2,；.AB=14.在Rt/XABC中，AC=ylAB2~BC2=yj14i-62=4Vw,:.SAABC

=%C・BC=；><WTbx6=12也.所以△ABC的面积是12®.

方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列

方程解答.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

探究点二：解直角三角形的综合

［类型一］解直角三角形与等腰三角形的综合

画。己知等腰三角形的底边长为明，周长为2+6，求底角的度数.

解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得

底角的度数.

解：如图，在△ABC中，AB=AC,BC=yj2,t•周长为2+也，；.A8=AC=1.过A作

AOJ_BC于点。，贝1」8。=乎，在RtZ\ABO中，cosNABO=^=理，：.ZABD=45°,即

等腰三角形的底角为45°.

方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

［类型二］解直角三角形与圆的综合

已知：如图，RtZ\AOB中，/0=90°,以04为半径作。。，BC切。。于点C,

连接AC交0B于点P.

(1)求证：BP=BC；

(2)若sinNB40=*且PC=7,求。。的半径.

解析：(1)连接0C,由切线的性质，可得/OC8=90°,由0A=0C,得/0C4=/0AC,

再由乙408=90°,可得出所要求证的结论；(2)延长A。交。。于点E,连接CE,在Rt4

A0P和Rt^ACE中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答.

解：(1)连接0C,：BC是。。的切线，：.Z0CB=W°,：.ZOCA+ZBCA=90°.'：

OA^OC,：.N0C4=N0AC,二Z0AC+ZBCA=90°，=NBO4=90°，,ZOAC+ZAPO

=90°,VZAPO=ZBPC,：.ZBPC=ZBCA,:.BC=BP；

(2)延长A。交。。于点E,连接CE,在RtZXAOP中，VsinZB40=|,设。P=x,AP

=3x,：.AO=2y［2x.'."AO^OE,：.OE=2yf2x,；.AE=4啦x.；sinNB40=；,，在RtZ\4CE

中器=；''兼=乎’平’解得"=3,，4°=2亚=6啦’即0°的半径为

6^2.

方法总结：本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根

据三角函数的定义结合勾股定理列出方程.

变式训练：见《学练优》本课时练习”课后巩固提升”第9题

三、板书设计

1.解直角三角形的基本类型及其解法；

2.解直角三角形的综合.

效簪溟

本节课的设计，力求体现新课程理念.给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学

生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神，

激发学生学习数学的积极性和主动性.

28.2.2应用举例

第1课时解直角三角形的简单应用

1.通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用；(重点)

2.能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解.(难点)

嬲婕

一、情境导入

为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具.图①所示的是一辆自行车的

实物图，图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CZ)的长分别为45cm和

60cm,且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且NCAB=75°.

你能求出车架档的长吗？

二、合作探究

探究点：解直角三角形的简单应用

［类型一］求河的宽度

@D根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资

江北岸的新大桥.如图，新大桥的两端位于A、8两点，小张为了测量A、8之间的河宽，

在垂直于新大桥A8的直线型道路/上测得如下数据：NBD4=76.1°,ZBCA=68.2°,CD

=82米.求A8的长(精确到0.1米).参考数据：sin76.1°^0.97,cos76.1°七0.24,tan76.1°

比4.0；sin68.2°g0.93,cos68.2°七0.37,tan68.2°七2.5.

解析：设AO=xm,则AC=(x+82)m.在RtZ\ABC中，根据三角函数得到AB=2.5(x+

82)m,在Rt/VIBO中，根据三角函数得到A8=4x,依此得到关于x的方程，进一步即可求

解.

解：设AZ)=xm,则AC=(x+82)m.在RtZ\ABC中，tan/8cA=恁，：.AB=AC-tanZ

AB

8c4=2.5(x+82).在RtAABD中，lan/8OA=77；,AB=AD-tanZBDA^4x,，2.5(》+

410din

82)=4x,解得x=~7~./.AB=4x=4X-^-^546.7m.

答：AB的长约为546.7m.

方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计

算出所要求的物体的高度或长度.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

［类型二］求不可到达的两点的高度

画❷如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm,灯罩BC长为20cm,底座

厚度为2cm,灯臂与底座构成的N54O=60°.使用发现，光线最佳时灯罩8c与水平线所成

的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少（结果精确到0.1cm,参考数据：小七

1.732）?

r

解析：首先过点B作BF_LCQ于点F,作BG_LA。于点G,进而求出尸C的长，再求出

BG的长，即可得出答案.

解：过点B作8FLC。于点F,作BGLAQ于点G,.•.四边形BFQG是矩形，

2G=FD在中，ZCBF=30",ACF=BCsin30°=20义3=l°cm.在RtZ\ABG中,

VZBAG=60°,.•.8G=ABsin60°=30X坐=15小cm,CE=CF+FZ）+Z）E=10+15小

+2=12+15V3^38.0（cm）.

答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.

方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直

角三角形问题.

变式训练：见《学练优》本课时练习”课后巩固提升”第6题

［类型三］方案设计类问题

画。小锋家有一块四边形形状的空地（如图③，四边形ABCD）,其中AD//BC,BC=

1.6m,AD=5.5m,CD=5.2m,ZC=90°,NA=53°.小锋的爸爸想买一辆长4.9m,宽1.9m

的汽车停放在这块空地上，让小锋算算是否可行.小锋设计了两种方案，如图①和图②所示.

（1）请你通过计算说明小锋的两种设计方案是否合理；

（2）请你利用图③再设计一种有别于小锋的可行性方案，并说明理由（参考数据：sin53°

=0.8,cos53°=0.6,tan53°=§）.

解析：（1）方案1,如图①所示，在RtZ\AGE中，依据正切函数求得AG的长，进而求

得。G的长，然后与汽车的宽度比较即可；方案2,如图②所示，在RtZXAL”中，依据正切

函数求得AL的长，进而求得ZK的长，然后与汽车的长度比较即可；（2）让汽车平行于AB

停放，如图③，在Rt/VIMN中，依据正弦函数求得AM的长，进而求得。M的长.在Rt

△PDM中，依据余弦函数求得PM的长，然后与汽车的长度比较即可.

EG49

解：（1）如图①，在RtZ\AGE中，VZA=53°,：,AG=;-77=-t~m-3.68m,：.DG

tan/A4

3

=AD—AG=5.5—3.68=1.82mVL9m,故此方案不合理；如图②，在中，VZA

=53°,LW=1.9m,=;义==F.43m,/.DL=AD~AL=5.5—1.43=4.07m<

tan534

3

4.9m,故此方案不合理；

LR

（2）如图③，过D4上一点M作MMLAB于点M过C£»上一点P作PQ_LA8于点Q,

MN19

连PM,在RlZXAMN中，VZA=53°,MN=1.9m,.MM=.一。=；T=2.4,：.DM=5,5

sin53O.o

-2.4=3.1m.在RtZ\P£>M中，：//W£>=NA=53°,DM=3.1m,；.PM=一丝。-=的"

cos530.6

5.1m>4.9in,故此方案合理.

方法总结：本题主要是利用三角函数解决实际问题，关键是把实际问题转化为解直角三

角形的问题，利用三角函数解决问题.

变式训练：见《学练优》本课时练习”课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1.求河宽和物体的高度；

2.其他应用类问题.

皴卷扈思

本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，

提高学生学习数学的兴趣.能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直

角三角形解决实际问题.

28.2.2应用举例

第2课时利用仰俯角解直角三角形

1.使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；（重点）

2.初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力.（难点）

嬲婕

一、情境导入

铅

垂