江苏省淮安市第一山中学2025届数学高二上期末考试模拟试题含解析

江苏省淮安市第一山中学2025届数学高二上期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在公比为的等比数列中，前项和，则（）A.1 B.2C.3 D.42．双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.3．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率A. B.C. D.4．已知等差数列中，，则（）A.15 B.30C.45 D.605．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（）A.只有2次出现反面 B.至多2次出现正面C.有2次或3次出现正面 D.有2次或3次出现反面6．绕着它的一边旋转一周得到的几何体可能是（）A.圆台 B.圆台或两个圆锥的组合体C.圆锥或两个圆锥的组合体 D.圆柱7．若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成立的最大正整数是（）A. B.C. D.8．如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（）A. B.C. D.9．函数在的图象大致为（）A. B.C D.10．与的等差中项是（）A. B.C. D.11．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为（）A. B.C. D.12．已知圆和椭圆．直线与圆交于、两点，与椭圆交于、两点．若时，的取值范围是，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．方程的曲线的一条对称轴是_______，的取值范围是______.14．当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是____________15．如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围为________16．沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知动点M到点F（0，2）的距离，与点M到直线l：y＝﹣2的距离相等.（1）求动点M的轨迹方程；（2）若过点F且斜率为1的直线与动点M的轨迹交于A，B两点，求线段AB的长度.18．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，四边形ACEF为正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF（1）证明：AB⊥CF；（2）求点C到平面BEF距离；（3）求平面BEF与平面ADF夹角的正弦值19．（12分）已知函数，.（1）若，求的最大值；（2）若，求证：有且只有一个零点.20．（12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；21．（12分）已知抛物线C：，过点且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点.（1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为.若，求点B的坐标；（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求的值.22．（10分）新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示：天数123456抗体含量水平510265096195根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；（3）从这位志愿者前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望.参考数据：3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先利用和的关系求出和，再求其公比.【详解】由，得，，所以，，则.故选：C.2、A【解析】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A.3、C【解析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件，利用二项分布的知识计算出，再计算出，结合条件概率公式求得结果.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件则；本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.4、D【解析】根据等差数列的性质，可知，从而可求出结果.【详解】解：根据题意，可知等差数列中，，则，所以.故选：D.5、D【解析】根据对立事件的定义即可得出结果.【详解】对立事件是指事件A和事件B必有一件发生，连续抛掷一枚均匀硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，对立事件为0次或1次出现正面，即“有2次或3次出现反面”故选：D6、C【解析】讨论是按直角边旋转还是按斜边旋转【详解】按直角边选择可得下图圆锥：如果按直角边旋转可得下图的两个圆锥的组合体：故选：C7、B【解析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负【详解】∵，∴和异号，又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，由，所以，，∴满足的最大自然数为4040故选：B【点睛】关键点睛：本题求满足的最大正整数的值，关键就是求出，时成立的的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.8、D【解析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解.【详解】解：因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，所以，故选：D.9、D【解析】函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数故选：D.10、A【解析】代入等差中项公式即可解决.【详解】与的等差中项是故选：A11、B【解析】基本事件总数，再利用列举法求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件的个数，由此能求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率【详解】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数之和，基本事件总数，点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件有：，，，，，，，，共8个，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为故选：B12、C【解析】由题设，根据圆与椭圆的对称性，假设在第一象限可得，结合已知有，进而求椭圆的离心率.【详解】由题设，圆与椭圆的如下图示：又时，的取值范围是，结合圆与椭圆的对称性，不妨假设在第一象限，∴从0逐渐增大至无穷大时，，故，∴故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.x轴或直线②.【解析】根据给定条件分析方程的性质即可求得对称轴及x的取值范围作答.【详解】方程中，因，则曲线关于x轴对称，又，解得，此时曲线与都关于直线对称，曲线的对称轴是x轴或直线，的取值范围是.故答案为：x轴或直线；14、【解析】求出直线恒过的定点，结合曲线的图象，数形结合，找出临界状态，即可求得的取值范围.【详解】因为，故可得，其表示圆心为，半径为的圆的上半部分；因为，即，其表示过点，且斜率为的直线.在同一坐标系下作图如下：不妨设点，直线斜率为，且过点与圆相切的直线斜率为数形结合可知：要使得曲线与直线有两个不同的交点，只需即可.容易知：；不妨设过点与相切的直线方程为，则由直线与圆相切可得：，解得，故.故答案为：.15、【解析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的垂直平分线方程，可求得点的横坐标，利用不等式的基本性质可求得点的横坐标的取值范围.【详解】设直线的方程为，联立，整理可得，因为直线过椭圆的左焦点，所以方程有两个不相等的实根设点、，设的中点为，则，，直线的垂直平分线的方程为，令，则.因为，所以故点的横坐标的取值范围.故答案为：16、33【解析】根据分层抽样的性质进行求解即可.【详解】因为抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，所以有，故答案为：33三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）x2＝8y（2）16【解析】小问1：由抛物线的定义可求得动点M的轨迹方程；小问2：可知直线AB的方程为y＝x+2，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出y1+y2的值，利用抛物线的定义可求得|AB|的值.【小问1详解】由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，所以，则p＝4，所以动点M的轨迹方程是x2＝8y；【小问2详解】由已知直线AB方程是y＝x+2，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得x2﹣8x﹣16＝0，，所以x1+x2＝8，则y1+y2＝x1+x2+4＝12，故|AB|＝y1+y2+4＝1618、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】(1)利用余弦定理计算AC，再证明即可推理作答.(2)以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C到平面BEF的距离.(3)利用(2)中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.小问1详解】在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理得，，即，有，则，即，因平面ABCD⊥平面ACEF，平面平面，平面，于是得平面，又平面，所以.【小问2详解】因四边形ACEF为正方形，即，由(1)知两两垂直，以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，，，设平面的一个法向量，则，令，得，而，于是得点C到平面BEF的距离，所以点C到平面BEF的距离为.【小问3详解】由(2)知，，设平面的一个法向量，则，令，得，，设平面BEF与平面ADF夹角为，，则有，，所以平面BEF与平面ADF夹角的正弦值为.【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）利用导数判断原函数单调性，从而可求最值.（2）求导后发现导数中无参数，故单调性与（1）中所求一致，然后利用零点存在定理结合的范围，以及函数单调性证明在定义域内有且只有一个零点.【小问1详解】若，则，其定义域为，∴，由，得，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴【小问2详解】证明：，由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递诚，∵，∴当时，，故在上无零点；当时，，∵且，∴在上有且只有一个零点.综上，有且只有一个零点.20、（1）（2）详见解析【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.【详解】（1），，，，又，在处的切线方程为.（2），令，解得：，.①当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；②当时，在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；③当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.21、（1）（2）【解析】（1）直线的方程为，其中，联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合已知条件可求得点的坐标；（2）直线的方程为，利用倾斜角定义知，，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求得，进而得解.小问1详解】由题意，直线的方程为，其中.设，联立，消去得..，，即.，即.，，∴点的坐标为.【小问2详解】由题意，直线的方程为，其中，为倾斜角，则，设.联立，消去得...22、（1）（2），4023.87（3）分布列答案见解析，数学期望：【解析】（1）由于这些点分布在一条曲线的附近，从而可选出回归方程，（2）设，，则建立w关于x的回归方程，然后根据公