2021年中考人教版数学二轮复习 题型6 三角形

题型六三角形、四边形综合探究题

@类型1动点问题

1.[2020四川乐山]点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点

A,C重合），分别过点A,C向直线BP作垂线，垂足分别为点E,F.点0为AC的中点.

⑴如图⑴，当点P与点（）重合时，线段0E和OF的数量关系是（）1OF.

⑵当点P运动到如图⑵所示的位置时，请补全图形，判断⑴中的结论是否仍然成立，并说明理

由.

⑶如图⑶，点P在线段0A的延长线上运动，当/0EF=30°时，试探究线段CF,AE,OE之间的数量

关系.

解法提ZE：；点0为AC的中点

.\AO=CO,

XVZAE0=ZCF0=90°,ZA0E=ZC0F,

.,.△AEO^ACFO.AOE^F.

⑵补全图形如图⑴所示

图⑴

⑴中的结论仍然成立.

理由:如图⑴，延长E0交CF于点G.

VAE±BP,CF±BP,

.,.AE/7CE,/.ZEA0=ZGC0.

•••点0为AC的中点，

.•.AO=CO.

又•.,/AOE=NCOG,

.,.△AOE^ACOG,

.\OE=OG.

又：NGFE=90°,

.,.OE=OF.

⑶如图⑵，延长E0交FC的延长线于点H.

易证AAOE丝ZXCOH,

.•.AE=CH(OE=On.

又,.,N0EF=30°,/HFE=90°,

.,.HF-iElkOE,

2，

AOE=CF+CH=CF+AE.

2.[2020山东临沂]如图，菱形ABCD的边长为l,/ABC=60°,点E是边AB上任意一点(端点除

外)，线段CE的垂直平分线分别交BD,CE于点F,G,AE,EF的中点分别为M,N.

(1)求证:AF=EF.

⑵求MN+NG的最小值.

⑶当点E在AB上运动时,NCEF的大小是否变化?为什么？

⑴证明:如图⑴，连接AC.FC.

•••四边形ABCD是菱形，

AAC与BD互相垂直且平分，

；.AF=CF.

又直线FG为CE的垂直平分线，

.".EF=CF,/.AF=EF.

⑵•・•点M,N分别为AE,EF的中点,

MN是的中位线,

又NG是RtAFGE斜边上的中线,，\6=府.

由⑴知AF=EF,

；.MN+NG=AF,即AE的最小值为MN+NG的最小值，易知AF的最小值是菱形对角线AC的一半.

VZABC=60°,AB=CB,

.*.AC=AB=L，AFdAC二

22

故MX+NG的最小值为今

⑶不变化.

如图⑵，连接A&MG,分别交BD于点0,H,连接FM.

易知点C.是CE的中点，又点M是AE的中点，

/.MG//AC.

；AC_LBD,；.NMHF=90°.

•••AF=FE,点M为AE的中点，

.".ZFMB=90°.

在RtZ\FMB中,NFBM=30。，

.,.ZMFB=60°,.\ZFMH=30".

VZFME=90°,ZFGE=90o,

，FME,G四点共圆，

ZFEG=ZFMG=30°.

故/CEF的大小不会变化.

3.[2020山东青岛]如图，在四边形ABCD和RtAEBF中,AB〃CD,CD>AB,点C在EB

±,ZABC=ZEBF=90°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,延长DC交EF于点M.点P从点A出发，沿AC

方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s.过点

P作GH±AB交AB于点H,交CD于点G.设运动时间为ts(0<t<5).

解答下列问题：

⑴当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？

⑵连接PQ,作QN1AF于点'，当四边形PQNH为矩形时，求t的值

⑶连接QC,QH,设四边形QCGH的面积为S(cm)求S与t的函数关系式.

⑷点P在运动过程中，是否存在某一时刻t,使点P在NAFE的平分线上?若存在，求出t的值；

若不存在,请说明理由.

解:⑴当点M在线段CQ的垂直平分线上时，易知MC=MQ=t.

CM〃AF,AECM^AEBF,

.ECCM.8-6_CM

EBBF'・，86

⑵当四边形PQNH为矩形时,AP=2t,MQ=t,PH=QN.

易知AC=10,EF=10.

•・・PH〃CB〃QN,

.,.△APHc-AACBfAFQN^AFEBr

.APPHFQQNfj1112tPHFQQN

ACBCFEEB106108,

.,.PHA.

5_________

在RlZXEMC中,/ECM=90。，由勾股定理可得EM=VEC2+CM2=J22*+(1)2=1,

FQ=FE-EM-MQ=10-|-1=£-1,

.FQ_y-tQN

**10108,

•••QN碧t).

•.旧吩吟第-t),解得t=3.

故当四边形PQNH为矩形时,t的值为3.

⑶过点Q作Q\」AF于点N.

由题易知S=S矩形BCGH+S梯形2LS/XQH*

由(2)知1喟=*,易知AH^t,

••.B11=ABAll-8-1t,

；.S矩形的=6X(8-削)=48一拳.

由⑵知FQ=*t,QNq(*t),易知NF=|(y-t),

...BN-BF\F-6-(-

.0(QN+BC)BN25

••s梯形a*----------

[^(y-t)+6]x(1+|t)

2

=-6t4-3t+9.

25

*/QN^(y-t),NH=BH+BN=8-1t+|+|t=y-t,

.-.S^XQN•NH二型史上--色t+江

22552

；・S二S矩形MQI+S梯形g,S心―18箓*(白一⑶・9)(n丹)—*0学

⑷存在.

当点P在/AFE的平分线上时，延长PC交EM于点I,

则PH^t/PC=10-2t.

AB=EB,ZABC=ZEBF=90°,BC=BF,

/.△ABC^AEBF,

ZE=ZBAC.

VZACB+ZBAC=90°,NECI=NACB,

.\ZECI+ZE=90°,

・・・NEIC=90°.

・・/nrrCIBF6

.sin/BEF二一二—二一，

ECEF10'

•CI6.6

••.••Lr-Ji

2105’

.,.PI=PC+CI=10-2t+^-2t.

55

根据角平分线的性质，可得PII=PI,；[L新2t,

解得

4.[2020河北26]如图⑴和图⑵在4ABC中,AB=AC,BC=8,tanC=*点K在AC边上，点M,N分别

在AB,BC上，且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MBN匀速移动,到达点N时停止;而点Q在AC

边上随P移动，且始终保持/APQ=/B.

⑴当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；

⑵若点P在MB上，且PQ将4ABC的面积分成上下4：5两部分，求MP的长；

⑶设点P移动的路程为x,当0WxW3及3GW9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的

式子表示）；

⑷在点P处设计并安装一扫描器,按定角ZAPQ扫描4APQ区域（含边界），扫描器随点P从点M

到点B再到点N共用时36秒，若AK=J请章接写出点K被扫描到的总时长.

图⑵

解:⑴分析可知，当AP±BC时，点P与点A的距离最短，最短距离为AP的长.

,.,AB=AC,AP±BC,

PB=PC』BC=4.

2

在RtZ\APC中,tan

3

.'.AP=4X--3,

4

即点P与点A的最短距离是3.

(2)VZAPQ=ZBrZA=ZA,

.'.△APQ^AABC.

q•・S〉APQ44.AP2

■SAABC_4+5*AB3*

由(1)知AB-J42+325,

/.AP=5X-

33'

••.MP=AP-AM=^-2--.

33

⑶当0—时，点P在B.M上,如图⑴，过点P作PD1CA交CA的延长线于点D.

图⑴

易知AP=2+x.

VZAPQ=ZB,

；.PQ〃BC,

/.sinZPQD=sinZC-|.

由⑵知△APQs^ABC,

,生二里gn|)QAPBC_8(2+x)

**ABBC，PAB5，

・•・PD=rP)Qn•S1nZF^l)7-—8(——2+x)^X-3^—24x+—48.

552525

当3WxW9时点P在BN上,如图⑵，过点P作PELAC,交直线AC于点E.

BP=x-3,；.PC=8-BP=ll-x,

；.PE-PC•sinZC-（llx）x1-|x+y.

综上所述，当（）—时，点P到直线AC的距离为奈+第当3WxW9时，点P到直线AC的距离

为心一03T33

⑷点K被扫描到的总时长为23秒.

解法提示:设点P移动的时间为t秒，每秒移动的路程为v,

则

①当点P在BM上，且点Q与点K重合时,AP=AK=,

4

；.MP=AP_AM322,此时t-1.

44

②当点P在BN上，且点Q与点K重合时，

VZAPQ+ZQPC=ZAPC=ZBAP+ZB,ZB=ZAPQ,

・・・ZBAP=ZQPC.

VAB=AC/Z.ZB=ZC/

AAABP^APCQ,

PBBA

BP=--3,CP=8-（-3）=ll--,QC=CK=5--=—,

44444

—H-i

二春--,；.t=22或34.

T35

易知当lWtW22或34WtW36时,AQ2AK,点K会被扫描到.

22-1=21（秒>36-34=2（秒），

故点K被扫描到的总时长为21+2=23（秒）.

®类型2旋转问题

5.如图，在RtAABC中,/C=90°,AC=BC,P是BC上一点（不与点B,C重合），连接AP,将AP绕点A

逆时针旋转90°得到AQ,连接BQ,分别交AC,AP于点D,E,作QF±AC于点F.

⑴求证:AC=QF；

⑵若点P是BC的中点，求tanZADQ的值；

⑶若AAEQ的内心底QF上，BC=3,直接写出BP的长.

⑴证明:由旋转可知AQ=AP,/PAQ=90°,

ZPAC+ZQAC=90°.

VZC=90°,/.ZPAC+ZAPC=90°,

/.ZAPC=ZQAC.

XVZC=ZAFQ=90°,

.,.△APC^AQAF,.\AC=QF.

(2),/点P是BC的中点,AF=Cl>gBC,又AC=BC,.\CF-|BC.

,.,AC=BC,AC=QF,.\BC=QF.

又•.•NC=NDFQ=90°,NBDC=NFDQ,

ABCD^AQFD,ACD=FD^BC,

4

/.tanZADQ=tanZBDC普力.

4D

⑶BP=2.

解法提示:当△AEQ的内心在QF上时,QF平分/AQD.

易证4BCD也△QFA会△、「口,

；.CD=FA=FD,

.,.CP=AF=iAC=-BC=l,

33'

BP=BC-CP=2.

6.[2020山东潍坊]如图⑴，在AABC中,/A=90°,AB=AC=/+1,点D,E分别在边AB,AC上，且

AD=AE=1,连接DE.现将4ADE绕点A顺时针旋转，旋转角为a(00<a<360°)，如图⑵，连接

CE,BD£D.

⑴当0。<a<180°时,求证:CE=BD；

⑵如图⑶，当a=90。时，延长CE交BD于点F,求证:CF垂直平分BD；

⑶在旋转过程中，求aBCD的面积的最大值，并写出此时旋转角a的度数.

图⑴图⑵图⑶

⑴证明:NCAE与/BAD为旋转角，

.\ZCAE=ZBAD.

AC=AB,

在4ACE和AABD中,,NCAE=/BAD,

AE=AD,

/.△ACE^AABD(SAS),

.*.CE=BD.

⑵证明:同⑴可证△ACEg△ABD(SAS),

:.ZACE=ZABD.

,/NACE+NAEC=90°,且/AEC=NFEB,

.\NABD+NFEB=9O",

.\ZEFB=90°,.\CF±BD.

VAB=AC=V2+1,AD=AE=1,ZCAB=ZEAD=90°,

...BC-VlABA/2+2,CD-AC+AD-V2+2,

/.BC=CD.

又「CFJ_BD,

ACF垂直平分BD.

⑶在△BCD中，边BC的长是定值则BC边上的高取最大值时,aBCD的面积有最大值，

当点D在线段BC的垂直平分线上，且在AABC外部时,Z^BCD的面积取得最大值,如图.

延长DA交BC于点G,则DG1BC,

.\AG鄂C=等/GAB=45。，

•・.DG=AG+AD粤上与jDAB=180。-45。=135。，

.•.△BCD的面积的最大值为扣C•【儿苫(夜+2)(弩厂当比，

旋转角a=135°.

7.[2020河南]将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB',记旋转角为a，连接BB',过点

D作DE垂直于直线BB',垂足为点E,连接DB',CE.

⑴如图(1),当a=60。时,Z\DEB'的形状为等腰直角三角形，连接BD,可求出警的值

为_&_.

(2)当0°<a<360°且aW90°时，

①⑴中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图⑵的情形进行证明;如果不成立,请说明

理由

②当以点B,,E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出瞿的值.

图⑴图⑵

⑴等腰直角三角形V2

解法提示:由旋转和正方形的性质彳导AB'-AB-AI),

又/BAB'=60°,二△ABB'是等边三角形，二ZAB'B=60°.

VZDAB'=30°.AB)=AD,/.ZAB'D^180°'30°=75°,

/.ZDB'E=180°-75--60°=45°.

5

又DE_LB'EfADEB是等腰直角三角形.

易知黑黑当NBDB'=NCDE,

UDfUDZ

AAB'DB^AEDC,?.—---V2.

CEDC

⑵①两个结论仍成立.

证明:连接BD.

,.•AB=AB，,ZBAB，=aZAB'B=90°

ZB'AD=a-90°,AD=AB',AZAB'D=135°

，NEB'D=/AB'D-NAB'B=45°.

又；DE_LBB'/EDB'=45°,/.ADEB，是等腰直角三角形,

.•.叫泛

DE

:四边形ABCD为正方形,.渭-隹,/BDC=45°,

.BD吧

*'CD3F'

ZEDB'=ZBDC,AZEDB'+ZEDB=ZBDC+ZEDB,

SPZB'DB=ZEDC,AAB'DB^AEDC,/.

图⑴

②3或1.

解法提示:如图⑴，当点B'在正方形ABCI）内部时,

V四边形B'CED为平行四边形,...DB'=CE.

•••△DB'E是等腰直角三角形,

二设DE=B'E=a,

.".CE=DB，=V2a.

BB'-V2CE=2a,

.•.BE=BB'+B'E-3a,Z.——-3.

B，Ea

如图⑵，当点B'在正方形ABCD外部时，点E与点A重合，

此时B'E=B'A=BA=BE,

二里1.

BzE

综上所述，黑的值为3或1.

8.[2020重庆B卷]aABC为等边三角形,AB=8,AD_LBC于点D,E为线段AD上一点,AE=26.以

AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF,连接CE,N为CE的中点.

⑴如图⑴,EF与AC交于点G,连接NG,求线段NG的长

⑵如图⑵，将4AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为a,M为线段EF的中点，连接DN,MN.当

30。〈a<120。时，猜想/DNM的大小是否为定值并仅就图⑵证明你的结论.

⑶连接BN,在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,当线段BN最长时，请直接写出aADN的面积.

(1)VAABC为等边三角形,AD_LBC于点D,.\ZDAC=30°.

又NAEF=60。，；./CGE=90。，即aCGE是直角三角形.

是CE的中点,

•等边三角形ABC的边长为8,AD1BC,

CD=4,AD=4V3,/.DE=AD-AE=2V3,

ACE-VCD2+DE2卜+(2遮)2—2夕,NG=V7.

(2)ZDNM的大小为定值.

证明:如图⑴，连接CF,BE,BE交AC于点H,设DN交AC于点R.

VD,N,M分别为BC,CE,EF的中点，

；.BE〃DN,MN〃CF,

ZDRC=ZBIIC,ZENM=ZECF.

AB=AC,ZBAE=60°+NCAE=NCAF,AE=AF,

.,.△ABE^AACF,

.".ZABE=ZACF.

又/BHC=NABE+NBAH=/ABE+60°,

.,.ZDRC=ZABE+60°=ZACF+60°.

又/DRC=/DNC+NRCN=NDNC+/ACF-ZECF,

AZDNC=60°+ZECF=60°+ZENM,

.,.ZDNE=180°-NDNC=120°-ZENM,

NDNM=/DNE+NENM=120°,即NDNM的大小为定值.

⑶△Al)\的面积为7V3.

解法提示:取AC的中点P,连接PN厕P\=lAE-ix2V3-V3,

图⑵

...点N在以点P为圆心，8为半径的圆上运动，

••・当点N在BP的延长线上时,BN最长，如图(2).

易得BP=1V3,

.,.BN-BP+PX-1V3'V3-5V3.

设BP与AD交于点0,过点N作XQ±AD于点Q.

VBP为等边三角形的中线，

ZCBP-30°,

cos3003

，0N=BN-B03鸟

3

VNQ1ADrAD±BC,NQ//BD,Z.Z0NQ=Z0BD=30°,

.*.NQ=0N•cos300工

：.AAND的面积为三ADXNQ-iX4>/3X--7V3.

®类型3轴对解问题2

9.[2020安徽中考改编]在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作:如图,将四边形纸片ABCD沿

过点A的直线折叠,使得点B落在CD上的点Q处折痕为AP；再将△PCQ,Z\ADQ分别沿PQ,AQ折

叠,此时点C,D落在AP上的同一点R处.请完成下列探究：

⑴求NPAQ的度数；

⑵当四边形APCD是平行四边形时，求及的值.

解:⑴如图，由折叠的性质可知/1=N2,/3=N4,N5=NC,N6=ND,

AZAQP=Z2+Z3=ix(ZDQR+ZCQR)=90°,ZC+ZD=180°,

AZB=90o,AD/7BC,.\ZBAD=90°,

...ZBAP=ZPAQ=ZDAQ,ZPAQ=30°.

⑵由折叠的性质可知QR=CQ=DQ李D.

:四边形APCD是平行四边形,，AP=CD,QR=|AP.

,/ZPAB=iZBAD=30°,cosZBAP=-A—=A/3.

3'AP2'2QR2'QR

10.[2020浙江金华]如图⑴，在△ABC中,AB=4或,/B=45。，NC=60。.

⑴求BC边上的高线长.

⑵点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连接EF,将aAEF沿着直线EF折叠得到aPEF.

①如图⑵，当点P落在边BC上时，求NAEP的度数.

②如图⑶，连接AP,当PE1AC时，求AP的长.

解。）过点A作AD1BC于点D.

在RtZXABD中,AD=AB•sin45°=42

⑵①由折叠的性质可知△AEFgAPEF,

,*.AE=EP.

又：AE=BE,

；.BE=EP,

.".ZEPB=ZB=45°,

.".ZAEP=ZB+ZEPB=90°.

②由⑴可知，在RtAADC中,AC二^-竽.

VPF±ACr

ZPFA=90°.

由折叠的性质可知aAEFg△PEF,

，/AFE=/PFE=45。，贝！|/AFE=NB.

又；NEAF=NCAB,

.,.△EAF^ACAB,

.AF_AEppAF2后

''ABAC'即4低逋'

3

.,.AF-2V3.

在RtAAFP中,AF-PF,则AP-V^\F-2遍.

H.[2020石家庄一模]如图⑴，在口ABCD中,ABVBC.把。ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，使点

B落在点E处，连接CE交AD于点F,连接DE.

⑴求证:△ADEg^CED.

⑵求证:ZXDEF为等腰三角形.

⑶将图⑴中的aAEC沿射线CA平移得到4A'E'C',连接BA',如图⑵所示若AB=AC=2,BC=2次,

当BA'=BC时，请直接写出4AEC平移的距离.

EE'

图⑴图⑵

⑴证明:•・.四边形ABCD是平行四边形,

.•.AB=CD,BC=AD.

由折叠的性质可知,AB=AE,BC=EC,

.\AE=CD,AD=EC.

又〈DE=DE,

.'.△ADE^ACED.

⑵证明:•・•AADE^ACED,

.'.ZEDF=ZDEF,

Z.EF=DF,BPAEDF为等腰三角形.

⑶4AEC平移的距离为4.

解法提示:〈AB二AC".ZABC=ZACB.

VBA,=BC,/.ZBA，C=NACB,

.,.△ABC^ABA，C,

.空ACgo2V3__2_

'*A?C-BCZBIA?C_2V5X

・・・A'C=6,・,・A'A二A'C-AC=4,

故4AEC平移的距离为4.

12.[2020四川成都]在矩形ABCD的CD边上取一点E,将△!»：沿BE翻折，使点C恰好落在AI)

边上点F处.

⑴如图⑴，若BC=2BA,求NCBE的度数；

⑵如图⑵，当AB=5,且AF•FD=10时，求BC的长;

⑶如图⑶，延长EF,与/ABF的平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时，求拶的值.

图⑴图⑵图⑶

解:⑴由折叠的性质得BC=BF,ZEBF=NEBC.

；BC=2BA,；.BF=BC=2BA,

sinZAFB--

BF2

.".ZAFB=30°.

四边形ABCD是矩形,.\AD//BC,

AZCBF=ZAFB=30°,

.,.ZCBE=-ZCBF=15°.

2

⑵由题意可知/BFE=/C=90°.

VZAFB+ZDFE=900=ZDEF+ZDFE,

ZAFB=ZDEF.

又；/BAF=/FDE=90°,

.,.△ABF^ADFE,

"B?S"AB.DE=AF•DF,即5DE=10,

.".DE=2,/.EF=CE=5-2=3.

在RtADEF在DF-JEF2-DE2、32-22-

.•.AF=*2百，

V5

.*.BC=AD=AF+DF=3V5.

⑶如图，过点N作XGXBF于点G.

；NF=AN+FD,

...FN」AD=NBC」BF.

222

・・EI平分/ABF,/BAN=/BGN=90°,

.\AN=GN.

a

VZBAF=ZNGF=90,ZAFB=ZGFN,

；・AABF^AGNF,

・•・詈更二即AB二2\G=2AN.

设AN二a,则AB=2a.设BC=BF二2b,则NF=b,

AAF=a+b.

在RtAABF中油AB^AFJBF；得4£+(a+b)J4b：

整理，得5a2+2ab-3b2=0,

解得a-|b或a=-b(舍去)，

.AB2a

''BC2bb5"

13.如图⑴，已知等边三角形ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点（不与点A,B重4

合）.直线I是经过点P的一条直线由巴AABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B'.iA

⑴如图⑵，当PB=4时，若点B'恰好在AC边上，则AB'的长度为4.\Z-\-yB）

⑵如图⑶，当PB=5时,若直线1〃AC,则BB'的长度为二遮X

⑶如图⑷，在点P在AB边上运动的过程中,若直线1始终垂直于AC.AACB"的面积是否/\/\

变化?若变化说明理曲若不变求出面积.M----------V—

⑷当PB=6时,在直线1变化的过程中，求△ACB'的面积的最大值.冈m

Z,\A,\/A\4/Ik4

V\B'M\^B'//XP/\

图⑵图⑶图⑷备用图

解:⑴4

解法提示:由折叠可知PB'=PB=4.

,.,AP=AB-BP=4,；.AP=PB'.

AABC为等边三角形,/A=60°,

.•.△APB‘碧边三角形,=AP=4.

(2)573

解法提示:设1交BB'于点E,则/BEP=90°.

•.#1Z/AC,.".ZBPE=ZA=6O°.

VPB=5,.\BB，=2BE=2PB•sinZBPE=5V3.

⑶不变.

连接BB',过点B作BF,AC,垂足为点F,过B'作B'ELAC,垂足为点E.

•••点B与点B'关于直线1对称，

.♦.BB'，直线1.

又；直线1J_AC,

.'.BB'〃AC,

B'E=BF=BC•sinZACB=4V3,

.,.Sw=1xAC-B'E^X8X4A/3=16V3.

⑷由题意得，点B’在以点P为圆心、PB的长为半径的圆上.

过点P作AC的垂线，交AC于点M,交0P于点N',N",当点B'与点N'重合时，如图,B'M最长，即

△ACB'的面积最大.

,/AP=AB-PB=2,PM±AC,ZBAC=60°,

/.PM=V3,

.*.B'M=N'M=N'P+PM=6+V5,此时S.•AC』X(6+75)X8=24+475,

•♦.&、，，.的最大值为24+4倔

⑥类型4实践探究问题

14.[2020甘肃天水]性质探究

如图⑴，在等腰三角形ABC中,/ACB=120。，则底边AB与腰AC的长度之比为遮：I.

理解运用

⑴若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2旧,则它的面积为_6_.

⑵如图⑵，在四边形EFG1I中,EF=EG=EH,在边FG,GII上分别取中点M,N,连接MN.若

NFGH=120°,EF=20,求线段MN的长.

类比拓展

顶角为2a的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sina：1.(用含a的式子表示)

E

cH

TV

ABFMG

图⑴图⑵

解:性质探究V3：I

解法提示如图⑴，过点C作CD1AB于点D.

C

ADR

图⑴

XVCA=CB,ZACB=120",

，/A=NB=30°,AD=BD,

；.AB=2AD=2AC•cos30'A/3AC,

.'.AB：AC-V3：1.

理解运用⑴K

解法提示:在△ABC中/，=8。,/人，13=120°,设CA=CB=m,则AB=V5m,

由题意得2m+V3111=1-^273,

.,.m-2,/.AC=CB=2,AB=2V3,

S,,AB,AC,sin30°-V3.

⑵连接FH.

：EF=EG=EH,/.点F,G,H在以点E为圆心、EF为半径的圆上，如图⑵,在优弧FH上取点P(异于

点F,H),连接PF,PH,

则/FPH=180°-ZFGH=60°,

.,.ZFEH=2ZFPH=120".

由性质探究可得FH=V3EI-=20>/3.

••,点M,N分别是FG,HG的中点,

.".MN^FH=1()V3.

类比拓展2sina：1

解法提示:如图⑶，在△ABC中,/ACB=2a,AC=BC.过点C作CD±AB于点D,

则AD=BD,ZACD=ZBCD=a,

.\AB=2AD=2AC•sina,

.,.AB：AC=2sina：1.

Zlcx

ADB

图⑶

15.[2020浙江嘉兴]在一次数学研究性学习中,小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF

拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合,如图⑴，其中ZACB=ZDFE=90°,BC=EF=3

cm,AC=DF=4cm,并进行如下研究活动.

活动一:将图⑴中的三角形纸片DEF沿AC向下平移，连接AE,BD,如图⑵，当点F与点C重合时

停止平移.

【思考】图⑵中的四边形ABDE是平行四边形吗?请说明理由.

【发现】当三角形纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形，如图（3）.求AF

的长.

活动二:在图⑶中取AD的中点0,再将纸片DEF绕点（）顺时针旋转a（0°WaW90。），连接

OB,0E,如图⑷.

【探究】当EF平分NAE0时，探究0F与BD的数量关系,并说明理由.

图（1）图（2）图（3）图（4）

解：【思考】四边形ABDE是平行四边形.

理由二.△ABCrZXDEF,

AB=DE,ZBAC=ZEDF,AABDE,

四边形ABDE是平行四边形.

【发现】连接BE交AD于点0,

四ABDE为...OA=()I)=OB=OE.

设AF-xcm厕0A=0E-1(x+4)cm,

/.0F=0AAF=^(x+4)-x=(2-^x)(cin).

在RtAOFE中,•.,OFlEF'OE；

A(2-ix)2+32=i(x+4)2,

解得x二二即AL--cm.

44

【探究】BD=20F.

理由:如图，延长OF交AE于点H.

/h

科C

易知0A二()B二0E=0D,

.".ZOAB^ZOBA=ZOI)E=ZOED,ZOB1)=ZOI)B,ZOAE=ZOEA,

，ZABD=ZBDE,ZDEA=ZEAB,

又/ABD+NBDE+NDEA+NEAB=360°,

AZABD+ZBAE=180°,

；.AE〃BD,

:.ZOHE-ZODB.

VEE平分/OEH,；.NOEF=NHEF.

又,.,/EF0=NEFH=90°,EF=EF,

.•.△EEO^AEFH,

.*.EH=EO=OB=OD,FO=FH,ZEOF=ZEHF=Z0DB=ZOBD,

AEOH^AOBD,BD=OH=2OF.

16.[2020广东深圳]背景:一次小组合作探究课上,小明将正方形ABCD和正方形AEFG按图(1)

所示的位置摆放(点E,A,D在同一条直线上)，连接BE,DG,发现BE=DG且BE±DG.

小组讨论后，他们提出了下列三个问题，请你帮助解答.

⑴将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转,如图⑵所示还能得到BE=DG吗?若能请给出证明;

若不能，请说明理由.

⑵把背景中的正方形ABCD和正方形AEFG分别改成菱形ABCD和菱形AEFG,将菱形AEFG绕点

A按逆时针方向旋转,如图⑶所示.当/EAG与/BAD的大小满足怎样的关系时,背景中的结论

BE=DG仍成立?请说明理由.

⑶把背景中的正方形ABCD和正方形AEFG分别改成矩形ABCD和矩形AEFG,且

器嗡W，AE=4,AB=8,将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，如图⑷所示，连接DE,BG.小组发现:

在旋转过程中,DE2+BG?的值是定值，请求出这个定值.

证明:；四边形AEFG为正方形,/.AE=AG,ZEAG=90°.

又四边形ABCD为正方形,二AB=AD,NBAD=90°,

ZEAG-ZBAG=ZBAD-ZBAG,ZEAB=ZGAD,

△AEB且△AGD(SAS),BE=DG.

(2)当NEAG=NBAD时,BE=DG.

理由如下：

"/四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，

.\AE=AG,AB=AD.

若BE=DG,则AAEB丝△AGD(SSS),

此时/EAB=NGAD,ZEAG=ZBAD.

.,.当/EAG=NBAD时,BE=DG.

⑶解法一：如图⑴，过点E作EMLDA,交DA的延长线于点M,过点G作GNXAB于点N.

；AE=4,AB=8蔑需缸.AG=6,AD=12.

VZEMA=ZANG=90°，且易证/MAE=NGAN,

AAME^AANG,二警萼祭.

ANGNAG3

设EM=2a,AM=2b,则GN=3a,AN=3b,

则MD=2b+12,BN=8-3b.

在RtAEMDcf,l)E2=EM2+MD2=(2a)2+(12+2b)2=4a-+144+48b+4b2.

在RtAGNB4',BG2=GN2+NB2=(3a)2+(8-3b)2=9a2+64-48b+9b2.

在RtAAME41,AE=EM2+AM2=4a2+4b2=16,

.-.a2+b2=4,

Z.DE2+BG2-13(a2+b2)+208=13X4+208=260.

图⑴图⑵

解法二:如图⑵，连接EG,BD般DG与EB交于点Q,EB与AG交于点P.

•••四边形AEFG和四边形ABCD为矩形,

ZEAG=ZBAD,/.ZEAB=ZGAD.

又•嘿嘿•••△EABS^GAD,

ZBEA=ZAGD,.\ZGQP=ZPAE=