江苏省常州市高级中学2024-2025学年高一数学上学期期末考试试题含解析

PAGE17-江苏省常州高级中学2024-2025学年度第一学期期末考试高一数学试题一、单项选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算得到，，再计算得到答案.【详解】，，则.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算实力.2.若，，则的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的坐标运算干脆得到答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，意在考查学生的计算实力.3.若，则角的终边在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】变换得到，依据得到答案.【详解】，，故角的终边在其次象限.故选：.【点睛】本题考查了角的终边所在象限，属于简洁题.4.关于的不等式的解集为（）A.或 B.或C.{或} D.{或}【答案】B【解析】【分析】干脆解不等式得到答案.【详解】，即，等价于，故或.故选：.【点睛】本题考查了解分式不等式，意在考查学生的计算实力.5.若函数则（）A. B.2 C. D.-2【答案】C【解析】【分析】干脆代入数据计算得到答案.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查了分段函数值的计算，意在考查学生的计算实力.6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】将所给函数化为，依据三角函数相位变换原则可得结果.【详解】只需将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象故选：【点睛】本题考查三角函数的相位变换，关键是明确相位变换是针对的改变量的变换，遵循“左加右减”原则.7.若函数满意对随意的，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】确定函数单调递减，得到，计算得到答案.【详解】依据题意知函数单调递减，满意，解得.故选：.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，忽视间断点处的大小关系是简洁发生的错误.8.16世纪，随着航海和天文学的发展，人们须要面对越来越繁难的计算，那时数学家制造了许多数表用于计算，比如德国数学斯蒂弗尔在《综合算术》中阐述了一种对应关系:01234567891012481632641282565121024111213141516171819202048409681921638432768655361310722621445242881048576已知光在真空中的传播速度为300000千米/秒，一年按365天计算，利用上表，估算1光年的距离大约为千米（），则的值为（）A.40 B.41 C.42 D.43【答案】D【解析】【分析】依据，代入数据计算得到答案.详解】依据题意：.1光年为：千米.故选：.【点睛】本题考查了数值的计算，意在考查学生的应用实力和计算实力.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9.如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.【详解】，正确；，正确；，错误；，正确.故选：.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算实力.10.下列说法正确的是（）A.若幂函数的图象经过点，则解析式为B.若函数，则在区间上单调递减C.幂函数（）始终经过点和D.若函数，则对于随意的，有【答案】CD【解析】【分析】依据幂函数的解析式，单调性依次推断每个选项得到答案.【详解】若幂函数的图象经过点，则解析式为，故错误；函数是偶函数且在上单调递减，故在单调递增，错误；幂函数（）始终经过点和，正确；随意的，，要证，即，即，即，易知成立，故正确；故选：.【点睛】本题考查了幂函数，意在考查学生对于幂函数性质的综合应用.11.已知函数（）的值域为，则实数与实数的取值可能为（）A.， B.， C.， D.，【答案】ABD【解析】【分析】化简得到，设，则，依次推断每个选项得到答案.【详解】，设，则.当时，在上单调递增，时，，故，正确；当时，在上单调递增，时，，故，正确；当时，在上单调递减，在上单调递增，故，错误；当时，在上单调递增，时，，故，正确.故选：.【点睛】本题考查了函数的值域，依据换元利用单调性是解题的关键.12.诞生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为的日晷及其投影长度的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数关于对称C.函数在区间上单调递减D.函数图象与函数的图象关于直线对称【答案】BC【解析】【分析】画出函数图像，依据函数图像得到函数周期，单调性，对称，得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：故函数的最小正周期为，关于对称，区间上单调递减.且函数的图象与函数的图象不关于直线对称.故选：.【点睛】本题考查了函数的周期，单调性，对称，意在考查学生的对于函数学问的综合应用.三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，是两个不共线的向量，，.若与是共线向量，则实数的值为__________．【答案】【解析】【分析】依据题意得到，代入化简得到答案.【详解】，，与是共线向量，则，即.故，，故.故答案为：.【点睛】本题考查了依据向量平行求参数，意在考查学生的计算实力.14.若时函数，的一条对称轴，则函数在区间上的单调递减区间为__________．【答案】【解析】【分析】依据对称轴得到，计算得到答案.【详解】时函数，的一条对称轴，则，当时，满意条件.取，解得.当时，满意条件.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的对称轴和单调性，意在考查学生对于函数性质的敏捷运用.15.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】化简得到得到答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了诱导公式化简，意在考查学生对于诱导公式的应用.16.已知奇函数满意，且当时，，若，则实数的值为__________．【答案】-1【解析】【分析】取得到，，代入化简得到，得到答案.【详解】，取得到，，故.，即.即，，故.故答案为：.【点睛】本题考查了依据函数关系求参数值，意在考查学生的计算实力，取值是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知四边形的顶点坐标为，，，且（）.（1）若点在第一象限，求实数的取值范围；（2）若点为直线外一点，且，问实数为何值时，点恰为四边形对角线的交点.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），设点的坐标为，依据得到，得到答案.（2）化简得到，依据得到，得到答案.【详解】（1）因为，，所以，设点的坐标为，则，而（），所以解得因为点在第一象限，所以.（2）由得，即，若点恰为四边形对角线的交点且（），依据三角形相像得到，所以.【点睛】本题考查了向量运算和应用，意在考查学生的应用实力.18.（1）已知角的终边所在直线经过点，求的值；（2）已知（），求的值.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）计算，再利用齐次式计算得到答案.（2）利用方程组计算得到，再计算得到答案.【详解】（1）因为角的终边所在直线经过点，所以.所以.（2）因为，所以，即，因为，所以，即，.又因为，所以.由，解得，所以.【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，意在考查学生的计算实力.19.已知函数的定义域为集合，函数，的值域为集合，集合（）.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）计算得到或，，计算并集得到答案.（2）计算，，依据包含关系得到答案.【详解】（1）由可得：，所以或，因为，，所以，所以或.（2），，因为，所以，解得.【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，集合运算，依据集合的包含关系求参数，意在考查学生的综合应用实力.20.如图,天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮，是天津的地标之一.永乐桥分上下两层，上层桥面预留了一个长方形开口，供摩天轮轮盘穿过，摩天轮的直径为110米，外挂装48个透亮座舱，在电力的驱动下逆时针匀速旋转，转一圈大约须要30分钟.现将某一个透亮座舱视为摩天轮上的一个点，当点到达最高点时，距离下层桥面的高度为113米，点在最低点处起先计时.（1）试确定在时刻(单位:分钟)时点距离下层桥面的高度(单位:米)；（2）若转动一周内某一个摩天轮透亮座舱在上下两层桥面之间的运行时间大约为5分钟，问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米？【答案】（1）米（2）米.【解析】【分析】（1）如图，建立平面直角坐标系，以为始边，为终边的角为，计算得到答案.（2）依据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点在分钟时距离下层桥面的高度，计算得到答案.【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.由题可知在分钟内所转过的角为，因为点在最低点处起先计时，所以以为始边，为终边的角为，所以点的纵坐标为，则（），故在分钟时点距离下层桥面的高度为（米）.（2）依据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点在分钟时距离下层桥面的高度.当时，故上层桥面距离下层桥面的高度约为米.【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用实力.21.已知函数（）（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据计算得到，再验证得到答案.（2）化简得到对恒成立，确定函数单调递减，利用单调性得到对恒成立，计算得到答案.【详解】（1）因为为奇函数且定义域为，则，即，所以.当时因为为奇函数，，满意条件为奇函数.（2）不等式对恒成立即对恒成立，因为为奇函数，所以对恒成立（*）在上任取，，且，则，因为，所以，，，所以，即，所以函数在区间上单调递减；所以（*）可化对恒成立，即对恒成立.令，因为的图象是开口向上的抛物线，所以由有对恒成立可得：即解得：，所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，意在考查学生的综合应用实力.22.对于函数，若存在定义域中的实数，满意且，则称函数为“类”函数.（1）试推断，是否是“类”函数，并说明理由；（2）若函数，，为“类”函数，求的最小值.【答案】（1）不是.见解析（2）最小值为7.【解析】【分析】（1）不是，假设为类函数，得到或者，代入验证不成立.（2），得到函数的单调区间