2024-2025学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.1导数6.1.1函数的平均变化率课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE十三函数的平均改变率(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.函数y=f(x)=2x2-1在区间[1,1+Δx]上的平均改变率QUOTE= ()A.4 B.4+2ΔxC.4+2(Δx)2 D.4Δx【解析】选B.因为Δy=[2(1+Δx)2-1]-(2×12-1)=4Δx+2(Δx)2,所以QUOTE=4+2Δx.2.函数f(x)=2x在x=1旁边(即从1到1+Δx之间)的平均改变率是 ()A.2+Δx B.2-ΔxC.2 D.(Δx)2+2【解析】选C.Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)-2=2Δx,所以QUOTE=QUOTE=2.3.若函数y=QUOTE在区间[1,a]上的平均改变率为-QUOTE,则a= ()A.1 B.2 C.3【解析】选B.因为Δx=a-1,Δy=QUOTE-1=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=-QUOTE=-QUOTE,所以a=2.4.函数y=x2+2在x0到x0+Δx之间的平均改变率为k1,在x0-Δx到x0的平均改变率为k2,则 ()A.k1<k2 B.k1>k2C.k1=k2 D.不确定【解析】选D.k1=QUOTE=2x0+Δx,k2=QUOTE=2x0-Δx.所以k1-k2=2Δx,因为Δx的正负不确定,所以k1与k2的大小关系也不确定.5.在曲线y=x2+1的图像上取一点(1,2)及旁边一点(1+Δx,2+Δy),则QUOTE为()A.Δx+QUOTE+2 B.Δx-QUOTE-1C.Δx+2 D.Δx-QUOTE+2【解析】选C.QUOTE=QUOTE=Δx+2.6.(多选题)关于函数f(x)=5x-3在区间[a,b]上的平均改变率,下列说法错误的是 ()A.与a的取值有关 B.与b的取值有关C.与a的取值无关 D.与b的取值无关【解析】选AB.Δx=b-a,Δy=f(b)-f(a)=5(b-a),QUOTE=QUOTE=5,所以平均改变率与a,b的取值没有关系.二、填空题(每小题5分,共10分)7.假如函数y=ax+b在区间[1,2]上的平均改变率为3,则a=______.

【解析】依据平均改变率的定义,可知QUOTE=QUOTE=a=3.答案:38.如图是函数y=f(x)的图像,则(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均改变率为________;

(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均改变率为________.

【解析】(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均改变率为QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)由函数f(x)的图像知,f(x)=QUOTE所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均改变率为QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:(1)QUOTE(2)QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.求y=x2+QUOTE+5在区间[2,2.5]上的平均改变率.【解析】Δy=6.25+QUOTE+5-4-QUOTE-5=2.15,Δx=2.5-2=0.5,所以平均改变率为QUOTE=4.3.10.若函数y=f(x)=-x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均改变率不大于-1,求Δx的取值范围.【解析】因为函数f(x)在[2,2+Δx]上的平均改变率为QUOTE=QUOTE=QUOTE=-3-Δx,所以由-3-Δx≤-1得Δx≥-2,又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共15分)1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均改变率是 ()A.1B.-1C.2D.-2【解析】选B.QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.2.函数y=f(x)=x2在x0到x0+Δx(Δx>0)之间的平均改变率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均改变率为k2,则k1与k2的大小关系为 ()A.k1>k2 B.k1<k2C.k1=k2 D.不确定【解析】选A.k1=QUOTE=QUOTE=2x0+Δx;k2=QUOTE=QUOTE=2x0-Δx.所以k1>k2.3.一质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间[1,1+Δt]内质点运动的平均速度为 ()A.3Δt+6 B.-3Δt+6C.3Δt-6 D.-3Δt-6【解析】选D.因为Δs=5-3(1+Δt)2-(5-3×12)=-3(Δt)2-6Δt,所以v=QUOTE=QUOTE=-3Δt-6.二、填空题(每小题5分,共15分)4.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均改变率为3,则实数m的值为______.

【解析】由已知得:QUOTE=3,所以m+1=3,所以m=2.答案:25.已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S=πr2,其中r∈(0,+∞),则当半径r∈[1,1+Δr]时,圆面积S的平均改变率为______.

【解析】QUOTE=QUOTE=2π+π·Δr.答案:2π+πΔr6.函数y=cosx在x∈QUOTE上的改变率为______;在x∈QUOTE上的改变率为______.

【解析】当x∈QUOTE时,QUOTE=QUOTE=QUOTE;当x∈QUOTE时,QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.因此,y=cosx在区间QUOTE和区间QUOTE上的平均改变率分别是QUOTE和-QUOTE.答案:QUOTE-QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)7.将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m时球的体积膨胀率(体积的改变量与半径的改变量之比)为QUOTE,求m的值.【解析】因为ΔV=QUOTEm3-QUOTE×13=QUOTE(m3-1),所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,即m2+m+1=7,解得m=2或m=-3(舍去).8.已知某物体依据s(t)=3t2+t+4(t的单位:s,s的单位:m)的规律做直线运动,求该物体在4s旁边的平均速度.【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=(25+3Δt)m/s,即该物体在4s旁边的平均速度为(25+3Δt)m/s.9.求函数y=sinx在0到QUOTE之间和QUOTE到QUOTE之间的平均改变率,并比较它们的大小.【解析】在0到QUOTE之间的平均改变率为QUOTE=QUOTE;在QUOTE到QUOTE