河北省保定市2023-2024学年高二年级下册期末调研考试数学试题（含答案解析）

河北省保定市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={x|l—x<0},B={x|幺，则AcB=()

A.^—1,A/2jB.V2,ljC.V2,—D.^1,V2j

2.用数字04,2,3组成三位数，各数位上的数字允许重复，则满足条件的三位数的个数为

（）

A.12B.24C.48D.64

3.若曲线y=f（x）在X=1处的切线的斜率为-3,则+（）

-Ax

33

A.—6B.—C.—D.6

22

4.为了研究某产品的年研发费用X（单位：万元）对年利润y（单位：万元）的关系，该

公司统计了最近8年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点

图可以看出y与龙之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y=bx+a.己知

88

£占=80,£%=200万=2.若该公司对该产品预投入的年研发费用为25万元，则预测

Z=1Z=1

年利润为（）

A.55万元B.57万元C.60万元D.62万元

5.已知正实数a,b,则“a+b<2”是“a2+b2<2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.要安排4名学生（包括甲）到/,8两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，

每个村里至少有1名志愿者，且甲不去/乡村，则不同的安排方法共有（）

A.7种B.8种C.12种D.14种

7.已知/（x+5）为偶函数，若函数了=卜-5|与y=f（x）图象的交点为（孙乃），（如为），…，

9

（M，%）,则£再=（）

i=l

A.45B.-45C.90D.-90

试卷第1页，共4页

8.在平面直角坐标系中，如果将函数y=/(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转方后，所

得曲线仍然是某个函数的图象，那么称/(X)为“旋转函数”.下列四个函数中“旋转函数”

的个数为()

①尸-X；②>=/_］；③y=ln(x+l)；@y=Vx+l-l(x>0).

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

9.对于［4-1］的展开式，下列说法正确的是()

A.展开式共有5项B.展开式的各项系数之和为-32

C.展开式中的常数项是15D.展开式的各二项式系数之和为32

10.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有

8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若点数为5或6,则从甲箱中随机摸

出1个球不放回；若点数为1,234,则从乙箱中随机摸出1个球不放回.下列结论正确

的是()

A.掷骰子一次，摸出的是红球的概率为

B.掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为1r

C.掷骰子两次，摸出的2个球都来自甲箱的概率为1

D.掷骰子两次，摸出2个红球的概率为提

405

11.已知函数〃x)=(x-ae*)(lnx-ax)恰好有三个零点，分别为x2,当,且再<%<£，

则下列说法正确的是()

T,

A.x2=e-B.X］,x2,与成等差数列

xln%

C.X］,x2,退成等比数列D..%J

In尤3e

三、填空题

试卷第2页，共4页

12.已知函数/(x)的定义域和值域均为[-3,3],则函数g(x)=2/(2x+l)的定义域和

值域分别为.

32

13.已知芯和x2分别是函数/(x)=ox+JC+ax+\的极大值点和极小值点.若

再＞退，则a的取值范围是.

14.如图，一只蚂蚁从正四面体OABC的顶点O出发，每一步(均为等可能性的)经过

一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过"步回到点O的概率勺，则鸟=，

四、解答题

15.某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间

内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表：

阅读达标阅读不达标合计

女生7030100

男生4060100

合计11090200

(1)根据上述数据，依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有

关联？

(2)从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，

再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为X,求X的分布列和数学期望.

2n(ad-bc)~

附:”(a+b)(c+d)(a+c/6+t/)其中n=a+b+c+d.

a0.0500.0100.001

试卷第3页，共4页

3.8416.63510.828

2

16.已知函数/(X)=FZ+。是奇函数.

⑴求。；

(2)求不等式2［〃切2"㈠)的解集.

17.已知函数/(x)=eJ+mx.

⑴若/(x)在［0,3］上单调递增，求m的取值范围；

⑵若机=1且经过点(1,。)只可作/(x)的两条切线，求a的取值范围.

18.某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛(三类

题目知识题量占比分别为;，;).甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为■!，

2

3,

⑴若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.

(2)知识竞赛规则：随机从题库中抽取2〃道题目，答对题目数不少于〃道，即可以获得奖励.

若以获得奖励的概率为依据，甲在〃=5和〃=6之中选其一，则应选择哪个？

19.若存在实数对任意xe。，使得函数/(X)>K,则称/(无)在。上被a控制.

⑴已知函数/(x)=3e'+2”在［2,欣)上被a控制，求a的取值范围.

⑵⑴证明：函数g(x)=2xln(x+l)+Sj在［1,+8)上被1控制.

n—11

(ii)设〃EN*，证明：ln2+ln3+ln4+---+ln(H+l)>-----+---------.

22〃+2

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DCDABAABBDBCD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】利用不等式求解两个集合，再根据两集合交集的定义解出答案;

【详角军】•.，l-X<0,.\X>l,y4={x|X>1},

vx2<2,/.-V2<x<V2,B=^X\-41<X<,

则=M1<工<亚}.

故选：D.

2.C

【分析】先排百位，再排十位、个位，有分步乘法计数原理可得答案.

【详解】百位数字除0有3个数字可选，十位数字有4个数字可选，

个位数字有4个数字可选，

所以满足条件的三位数的个数有3x4x4=48个.

故选：C.

3.D

【分析】根据导数的定义和性质即可求解.

【详解】1向〃1)一"+23=_21皿小一川+2遍=

°Ax-°-2Ax

故选：D

4.A

【分析】根据所给数据求出,然后由d=歹-宸求得&可得回归方程，再令x=25求出答案.

88

【详解】•••1>，=80,£.匕=200,

Z=11=1

88

之项Ez-

:.x=-^—=10,y=—=25.

88

a=y—bx=25-2xlO=5.

2关于x的经验回归方程为j)=2x+5.

答案第1页，共12页

故当x=25时，少=2x25+5=55.

故选:A.

5.B

【分析】充分性举反例，必要性用均值不等式证明.

【详解】若a+bV2,取“=：,b=~,则/+/=：>2,即a+bV2不能推出/,

222

故充分性错误；

若/+/W2,由均值不等式可知—4归^^1,所以O+6W2,2个等号取等条件都

a=b=1,

所以W2可以推出。+642,所以必要性正确，所以642是/+从4?必要不充分

条件.

故选：B

6.A

【分析】先将4名学生分为2组，第一种情况2组人数分别为2、2,第二种情况2组人数分

别为1、3,采用特殊元素分析法求解.

【详解】先把4名学生分成2组，

第一种情况2组人数分别为2、2,

由于甲不去/乡村，所以从另外3人中选一人和甲一起去8村，有C；种，

第二种情况2组人数分别为1、3,

则可能甲单独去3村，或者甲与另外2人去2村，有1+C；种，

故共有C；+l+C”7种.

故选：A.

7.A

【分析】根据题意可得函数了=卜-5|与y=/(>)图象的交点关于直线》=5对称，由中点公

式可解.

【详解】因为/'(x+5)为偶函数，所以/■(x+5)=/(-x+5),

即函数y=/(约的图象关于直线x=5对称，

答案第2页，共12页

又函数歹=|x-5|的图象关于直线x=5对称，

所以函数>=k-5|与y=/(%)图象的交点关于直线x=5对称，

9

由交点有9个，故两函数必都过点(5,0),即£改=5x9=45.

i=l

故选：A

8.B

【分析】根据题意进行分析，再分别进行判断；

【详解】由题可知，所给函数的图象都经过坐标原点，则y=/(x)的图象与直线y只

能有一个交点；

①N=-x图象绕坐标原点逆时针旋转三后所得曲线为仍然是y=tanl5°x的函数的图象，

故是旋转函数符合题意；

②y=e*-l在x=0处的切线方程为了=》，贝仃=砂-1的图象于y=gx有2个交点，不

符合题意；

③y=ln(x+l)在x=0处的切线方程为歹=》，同样不符合题意；

④>=而1一1卜20)在x=0处的切线方程为〉二3》，符合题意

所以“旋转函数”的个数有2个；

故选：B.

9.BD

【分析】利用二项式展开式的性质即可求解A,利用赋值法即可求解B,由二项式系数和的

性质即可求解D,根据通项特征即可求解C.

【详解】对于A,〃=5,故展开式共有6项，A错误，

对于B,令x=l,贝=-32,B正确，

lz.\5-5r人5-5r八

对于C,展开式中的通项是C；(-3yJ=q(一3)x2/=0,1,2,3,4,5,令二一=0,

则7=1,故常数项为C；(-3)=-15,C错误，

对于D,展开式的二项式系数和为2,=32,D正确，

故选：BD

答案第3页，共12页

10.BCD

【分析】根据全概率公式，贝叶斯公式计算概率，判断各个选项；

21

【详解】对于A,掷骰子一次，从甲箱摸球的概率为二二7,从甲箱子中摸出红球的概率为

63

.5=1从乙箱摸球的概率为4从2乙箱子中摸出红球的概率为'8=4

11247

掷骰子一次，摸出的是红球的概率为+==故A错误；

323510

11

-x—.

对于B,掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为\2=方，B正确；

10

对于C,掷骰子两次，摸出的2个球都来自甲箱的概率为=故C正确；

对于D,掷骰子两次，摸出2个红球包含三种情况，

11542

掷骰子两次，摸出的2个球都来自甲箱的概率为彳

33109o1

掷骰子两次，摸出的2个球都来自乙箱的2概4率2为7=范11|2

1OOCQ

掷骰子两次，摸出的2个球来自甲、乙两个箱的概率为C；X§X§XRX诂=石，

掷骰子两次，摸出2个红球的概率为专1+崇11?+28=素194，D正确；

故选：BCD.

II.ACD

【分析】将函数“X)的零点问题转化为方程的解的问题，即问题转化为直线>与曲线

YInX

y=/和y=下交于三个点，且三个点的横坐标依次为3，%,当,且无]<%<工3，利用

导数研究两个函数的单调性和最值，从而逐项判断.

【详解】根据题意,/(x)=(x-^)(lnx-ar)=0,

x]nx

即x—ae"=0或lnx—ax=0,所以。=不或。=——，

ex

即问题转化为直线>与曲线y=2和>=皿交于三个点，

ex

且三个点的横坐标依次为X],X2,X3,且X]<%<七,

a十Inx/曰,1-lnx/八、

对于y=—,得夕=—二,(尤>0),

XX

InV

当0<x<e时，/>0,即函数y=——单调递增，

x

答案第4页，共12页

当x>e时，y<o,即函数歹=——单调递减,

当x=e时，函数y=皿取得最大值」，

xe

对于V=三，得了=二^,

ee

Y

当x<i时，y>o,即函数"三单调递增，

e

V

当x〉i时，y<o,即函数单调递减，

e

V1

当X=1时，函数y=E取得最大值,，

ee

如图，作出函数》=2与夕=叱的图象，

ex

由。=，，可得了2=砥而，由。=——,可得工2=皿”，

%2

ex2a

又-T=W="=?强=量"，且了=之在（0,1）上单调递增,

VV%2CQ

又0<石<e,0<ln%2<1,所以Xi=ln%2，即/=9，A正确;

Ine'2个=。=电玉，且>=电色在（e,+a）上单调递减,

eX3x

又1</<e,e”2>e,/>e,所以退二小，即工2=1口%，

故国入3=lnx2，e"2=%,巡=考，则C正确，B错误；

a

因为号=。，所以Inx[-西=lna,

e1

xIn—

…3x,Inx,-Inx,Inx.-x,Ina1.

则i~-=-----二=—!-L=—<-,则D正确.

lnx3111X3aae

x3

故选：ACD

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法:

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

答案第5页，共12页

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

12.[-2,1],[—6,6]

【分析】根据抽象函数的定义域的求法及函数值域的概念求解即可.

【详解】由函数/（x）的定义域和值域均为[-3,3],

所以g（x）=2/（2x+l）要有意义,则需-342X+143*解得-

所以函数g（x）的定义域为卜2,1],

因为一342尤+143,所以一34〃2x+l）43,

所以g（x）=2/（2x+1）e[-6,6],即值域为[-6,6].

故答案为：[-2』，[-6,6]

13.--<a<0

3

【分析】求导，根据导函数与原函数的极值间的关系，即可结合二次函数的性质求解.

【详解】已知〃x）=a尤3+x2+"+i,函数定义域为R,

可得（尤）=3<zr2+2x+a,

因为占和马分别是函数/（X）的极大值点和极小值点，

所以用,超是方程/（尤）=3研2+2x+a=0的两个不等实根，

所以A=4-12/>0,解得一旦”走,

33

又再>工2，所以/''（x）=3办？+2尤+。为开口向下的二次函数，故a<0,

而当a=0时，原函数只有一个极值点，矛盾，

当a>0时，/（久）在（-叫声）单调递增，在（乙,占）单调递减，在（国,+8）单调递增，这与题干

矛盾；

故所求范围是-@<“<o.

3

故答案为：-Y^<a<0.

3

答案第6页，共12页

14.

【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可求解空i,根据递推关系可知优,-3是公比为

-g的等比数列，由等比数列通项即可求解.

【详解】由题可知，在1步后蚂蚁位于。、B、C、A点的概率分别为0,|

故经过2步回到点O的概率5++

：匕+i=；(1-月)，二匕+i_；=_g(匕一；)，

,数列｛P„~:｝是公比为的等比数列，

又匕一巨/~一一―，即

故答案为：—

15.(1)阅读达标情况与性别有关联

2

(2)分布列见解析，§

【分析】(1)计算/，根据根据小概率值a=0.001作出结论；

(2)由分层抽样得出男女生人数，再由超几何分布求出概率，列出分布列，求期望即可.

【详解】(1)零假设为名：阅读达标情况与性别无关，

2_200x(70x60-30x40)2

=—V8.182>10.828=r

--100x100x110x90[[U0.0U0Ul1

根据小概率值a=0.001的独立性检验，推断〃。不成立，

即认为阅读达标情况与性别有关联.

(2)由题可知抽取的女生人数为4^X6=2,抽取的男生人数为Y^X6=4,

60+3060+30

则X的可能取值为0,1,2,

尸(X=0)=3=2,尸P(X=2)=4=->

\c；5'C；15I'C115

答案第7页，共12页

所以X的分布列如下:

2

3

16.⑴Q=—1

(2)[0,1]

【分析】(1)利用/(。)=0再检验即可；

(2)利用奇偶性转化为求/(x)[2/(x)+l]v0的解集，代入解析式求解即可.

【详解】(1)因为3工+130,所以/(x)的定义域为xeR,

2?

函数/(x)=Fj+a是奇函数，所以/(0)=支H+“=0,

解得〃=—1,可得/(1)=-—1,

当R肝"、22x3x-3x-l3X-13、+l—2

*时，f(-x\=----------11=-----------------=-------=-----------

八J3-，13X+13X+13"+1

=1-匕=-小)，

所以/■⑺是奇函数，故a=T;

(2)因为/(x)是奇函数,所以〃-无)=-/(无),

由2口(切2得2[/(切2V-7(x),

可得/(x)[2〃x)+l]40,解得一/(x)w0,

-L工一1

12213工+1

即——<-----1<0,可得<

23X+1

——-1<0

解得OWE,

所以不等式2[/卜)了“卜)的解集为[05.

17.(I)m>-1

答案第8页，共12页

(2)1<tz<e+1

【分析】(1)/6)20在［0,3］上恒成立，分离参数转化为函数最值问题.

(2)设切点坐标，写出切线方程，问题转化为方程。-1=(2-〃)e"有两个解的问题，利用

导数研究函数的性质画出〃(“)=(2-〃)e"图象即可求解.

【详解】⑴因为/(x)在［0,3］上单调递增，所以八久)20在［。，3］上恒成立，

即e*+〃?20n加2-e”在［0,3］恒成立，

设g(x)=-e*,显然g(x)在［0,3］上单调递减，

所以g(无)1mx=g(°)=T，所以加出T.

(2)若〃7=1,则/(x)=e*+x,/'(x)=eA+1,

设切点坐标为k,e"+〃)，则切线方程y-(e"+〃)=(e"+l)(x-〃)，

把(L。)代入切线方程得:°_(e"+力=(e"+l)(li)na-l=(2i)e",

设〃(〃)=(2-〃)e",贝V(〃)=(l-〃)e",令〃(“)=0得〃=1,

当”<1时，h'［n)>0,当〃>1时，h'［n)<0,

所以M”)在上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以〃(“)2=〃(1)=6,

当-CO时，4⑺=2721f0,当+00时，人(〃)f_8,

e-n

依题意过(1,。)存在两条切线，即方程"l=(2-〃)e"有两解，根据M”)的图象可得：

18.⑴万

答案第9页，共12页

(2)选〃=5

【分析】(1)根据题意，由全概率公式即可得到结果；

(2)当〃=5时，X为甲答对题目的数量，则不~8(10,0),求出概率，当〃=6时，分情况

分析，求出概率，再比较大小.

【详解】(1)设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件4,4,4,

所选的题目回答正确为事件B,

则尸(8)=网4)尸但4)+尸(4)尸修|4)+尸(4)尸(到4)

1211121

二—X—H——X—-1——X—二—,

4323432

所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为:；

(2)当"=5时，X为甲答对题目的数量，则》~2(10,0,

故当〃=5时，甲获奖励的概率q=P(X=5)+尸(X»6),

当〃=6时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：

①前10题答对题目的数量大于等于6,

②前10题答对题目的数量等于5,且最后2题至少答对1题，

③前10题答对题目的数量等于4,且最后2题全部答对，

故当〃=6时，甲获奖励的概率

P2=P(X>6)+P(X=5)X1一(r=4>L

31

=P(X26)+/(X=5)+/值=4),

=-9(x=5)=:q：&J一叱&]<0,即6<片,

所以甲应选〃=5.

19.(l)(-oo,3e3)

(2)⑴证明见解析；(ii)证明见解析.

【分析】(1)根据概念即求尸(x)=f(x)-办>0在[2