专题01有理数篇(原卷版+解析)

专题01有理数考点一：有理数之正数和负数知识回顾知识回顾正数和负数的定义：大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数。0既不是正数也不是负数。正数和负数的意义：表示具有相反意义的两个量。正负号的化简：同号为正，异号为负。微专题微专题1．（2022•西宁）下列各数是负数的是（）A．0 B． C．﹣（﹣5） D．﹣2．（2022•贵阳）下列各数为负数的是（）A．﹣2 B．0 C．3 D．3．（2022•益阳）四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（）A．﹣ B．1 C．2 D．4．（2022•雅安）在﹣，1，，3中，比0小的数是（）A．﹣ B．1 C． D．35．（2022•襄阳）若气温上升2℃记作+2℃，则气温下降3℃记作（）A．﹣2℃ B．+2℃ C．﹣3℃ D．+3℃6．（2022•河池）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（）A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元7．（2022•桂林）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走2km记做“+2km”，那么向西走1km应记做（）A．﹣2km B．﹣1km C．1km D．+2km8．（2022•云南）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（）A．10℃ B．0℃ C．﹣10℃ D．﹣20℃9．（2022•柳州）如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作．10．（2022•百色）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果向东走5米，记作+5米，那么向西走5米，可记作米．考点二：有理数之相反数知识回顾知识回顾相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。我们说其中一个数是另一个数的相反数。0的相反数还是0。相反数的性质：互为相反数的两个数和为0。即与互为相反数⇔⇔微专题微专题11．（2022•鄂州）实数9的相反数等于（）A．﹣9 B．+9 C． D．﹣12．（2022•贺州）下列各数中，﹣1的相反数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．213．（2022•河池）﹣2022的相反数是．14．（2022•鄂尔多斯）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）﹣2 B．﹣ C．2 D．3考点三：有理数之绝对值知识回顾知识回顾绝对值的定义：数轴上表示数的点到原点的距离用数的绝对值来表示。即||。离远点越远的数绝对值越大，离原点越近的数绝对值越小。求绝对值：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0。即或绝对值与相反数：互为相反数的两个数绝对值相等。即与互为相反数，则。绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。即，则或。微专题绝对值等于一个正数的数有两个，他们互为相反数。，则。微专题15．（2022•黔西南州）﹣3的绝对值是（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．﹣16．（2022•黄石）的绝对值是（）A． B．﹣1 C．1+ D．±（﹣1）17．（2022•百色）﹣2023的绝对值等于（）A．﹣2023 B．2023 C．±2023 D．202218．（2022•广东）|﹣2|＝（）A． B．2 C．﹣2 D．﹣19．（2022•荆门）如果|x|＝2，那么x＝（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或﹣20．（2022•聊城）实数a的绝对值是，a的值是（）A． B．﹣ C．± D．±考点四：有理数之倒数知识回顾知识回顾倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数。即若与互为倒数。注意：0没有倒数。乘积为﹣1的两个数互为负倒数。即若与互为负倒数。微专题微专题21．（2022•盘锦）﹣6的倒数是（）A．﹣ B．﹣0.6 C． D．622．（2022•张家界）﹣2022的倒数是（）A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．23．（2022•深圳）下列互为倒数的是（）A．3和 B．﹣2和2 C．3和﹣ D．﹣2和24．（2022•包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为（）A．﹣8 B．﹣5 C．﹣1 D．1625．（2022•黔东南州）下列说法中，正确的是（）A．2与﹣2互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是﹣226．（2022•宜昌）下列说法正确的个数是（）①﹣2022的相反数是2022；②﹣2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．A．3 B．2 C．1 D．0考点五：有理数之有理数的大小比较：知识回顾知识回顾定义比较法：正数大于0，0大于负数。数轴比较法：数轴上右边的恒大于数轴上左边的数。其他比较：同为负数的两个数比较，绝对值大的反而小。，则；，则；，则；微专题微专题27．（2022•阜新）在有理数﹣1，﹣2，0，2中，最小的是（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．228．（2022•郴州）有理数﹣2，﹣，0，中，绝对值最大的数是（）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．29．（2022•苏州）下列实数中，比3大的数是（）A．5 B．1 C．0 D．﹣2考点六：有理数之有理数的运算：知识回顾知识回顾有理数的加法运算：同号相加，符号不变，绝对值相加；异号相加，符号取绝对值较大的符号，再把绝对值做差。加法的交换律：；（2）加法的结合律：。有理数的减法运算：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即。有理数的乘法运算：两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。任何数同零相乘都得零，（1）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定，若负因式有奇数个则积为负，若负因式有偶数个则积为正，简称奇负偶正。（2）乘法的交换律：；（2）乘法的结合律：；（3）乘法的分配律：。4.有理数的除法运算：除以一个数等于乘以这个数的倒数；即。注意：零不能做除数。5.有理数的乘方运算：求几个相同因数的积的运算叫做乘方。即。在中，为底数，为指数。底数和指数不能同时为0。即无意义。（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当为正奇数时:，与互为相反数。当为正偶数时:，与互为相反数。有理数的混合运算：先算乘方，再算乘法，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。微专题微专题30．（2022•沈阳）计算5+（﹣3），结果正确的是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣831．（2022•天津）计算（﹣3）+（﹣2）的结果等于（）A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．132．（2022•呼和浩特）计算﹣3﹣2的结果是（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．533．（2022•杭州）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为﹣6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（）A．﹣8℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．8℃34．（2022•滨州）某市冬季中的一天，中午12时的气温是﹣3℃，经过6小时气温下降了7℃，那么当天18时的气温是（）A．10℃ B．﹣10℃ C．4℃ D．﹣4℃35．（2022•扬州）扬州某日的最高气温为6℃，最低气温为﹣2℃，则该日的日温差是℃．36．（2022•台州）计算﹣2×（﹣3）的结果是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣537．（2022•泰安）计算（﹣6）×（﹣）的结果是（）A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．1238．（2022•玉林）计算：2÷（﹣2）＝．39．（2022•广东）计算22的结果是（）A．1 B． C．2 D．440．（2022•长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估计2200比1060大．其中对2200的理解错误的网友是（填写网名字母代号）．41．（2022•威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝．42．（2022•烟台）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式．43．（2022•烟台）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为．44．（2022•随州）计算：3×（﹣1）+|﹣3|＝．45．（2022•宜昌）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法，请计算以下涉及“负数”的式子的值：﹣1﹣（﹣3）2＝．46．（2022•凉山州）计算：﹣12+|﹣2023|＝．47．（2022•柳州）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|=．48．（2022•广西）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）=．49．（2022•桂林）计算：（﹣2）×0+5=．考点七：有理数之绝对值与偶次方的非负性：知识回顾知识回顾绝对值的非负性：根据绝对值的定义可知，是一个非负数，恒大于等于0。即≥0。偶次方的非负性：任何数的偶次方都恒大于等于0。即。几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。即，则；，则；，则。微专题微专题50．（2022•西藏）已知a，b都是实数，若|a+1|+（b﹣2022）2＝0，则ab＝．51．（2022•泸州）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则ab＝．考点八：有理数之科学计数法：知识回顾知识回顾科学计数法定义：把一个大于绝对值大于10或绝对值小于1的数表示为的形式叫做科学计数法。在中，，为整数。微专题微专题52．（2022•淮安）2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为（）A．0.11×108 B．1.1×107 C．11×106 D．1.1×10653．（2022•镇江）“珍爱地球，人与自然和谐共生”是今年世界地球日的主题，旨在倡导公众保护自然资源．全市现有自然湿地28700公顷，人工湿地13100公顷，这两类湿地共有（）A．4.18×105公顷 B．4.18×104公顷 C．4.18×103公顷 D．41.8×102公顷54．（2022•襄阳）2021年，襄阳市经济持续稳定恢复，综合实力显著增强，人均地区生产总值再上新台阶，突破100000元大关．将100000用科学记数法表示为（）A．1×104 B．1×105 C．10×104 D．0.1×10655．（2022•锦州）党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展．据报道，截至2021年底，我国高技能人才超过60000000人，请将数据60000000用科学记数法表示为（）A．0.6×108 B．6×107 C．6×106 D．60×10656．（2022•荆门）纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，将数据0.000000001用科学记数法表示为（）A．10﹣10 B．10﹣9 C．10﹣8 D．10﹣757．（2022•贵港）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm．已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是（）A．28×10﹣9m B．2.8×10﹣9m C．2.8×10﹣8m D．2.8×10﹣10m58．（2022•湖北）科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为米．59．（2022•广元）石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将这个数用科学记数法表示为．专题01有理数考点一：有理数之正数和负数知识回顾知识回顾正数和负数的定义：大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数。0既不是正数也不是负数。正数和负数的意义：表示具有相反意义的两个量。正负号的化简：同号为正，异号为负。微专题微专题1．（2022•西宁）下列各数是负数的是（）A．0 B． C．﹣（﹣5） D．﹣【分析】先化简各式，然后再进行判断即可．【解答】解：A．0既不是正数也不是负数，故A不符合题意；B．＞0，故B不符合题意；C．﹣（﹣5）＝5＞0，故C不符合题意；D．﹣＜0，故D符合题意．故选：D．2．（2022•贵阳）下列各数为负数的是（）A．﹣2 B．0 C．3 D．【分析】根据小于0的数是负数即可得出答案．【解答】解：A．﹣2＜0，是负数，故本选项符合题意；B．0不是正数，也不是负数，故本选项不符合题意；C．3＞0，是正数，故本选项不符合题意；D．＞0，是正数，故本选项不符合题意；故选：A．3．（2022•益阳）四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（）A．﹣ B．1 C．2 D．【分析】利用零大于一切负数来比较即可．【解答】解：根据负数都小于零可得，﹣＜0．故选：A．4．（2022•雅安）在﹣，1，，3中，比0小的数是（）A．﹣ B．1 C． D．3【分析】比0小的是负数．【解答】解：∵﹣＜0，故选A．5．（2022•襄阳）若气温上升2℃记作+2℃，则气温下降3℃记作（）A．﹣2℃ B．+2℃ C．﹣3℃ D．+3℃【分析】根据上升与下降表示的是一对意义相反的量进行表示即可．【解答】解：∵气温上升2℃记作+2℃，∴气温下降3℃记作﹣3℃．故选：C．6．（2022•河池）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（）A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元【分析】根据正数与负数时表示具有相反意义的量直接得出答案．【解答】解：∵收入50元，记作“+50元”．且收入跟支出意义互为相反．∴支出20元，记作“﹣20元”．故选：B．7．（2022•桂林）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走2km记做“+2km”，那么向西走1km应记做（）A．﹣2km B．﹣1km C．1km D．+2km【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：若把向东走2km记做“+2km”，那么向西走1km应记做﹣1km．故选：B．8．（2022•云南）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（）A．10℃ B．0℃ C．﹣10℃ D．﹣20℃【分析】根据正数和负数可以用来表示具有相反意义的量解答即可．【解答】解：∵零上10℃记作+10℃，∴零下10℃记作：﹣10℃，故选：C．9．（2022•柳州）如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作．【分析】根据正负数的意义求解．【解答】解：由题意，水位上升为正，下降为负，∴水位下降2m记作﹣2m．故答案为：﹣2m．10．（2022•百色）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果向东走5米，记作+5米，那么向西走5米，可记作米．【分析】利用正负数可以表示具有相反意义的量．【解答】解：因为向东和向西是具有相反的意义，向东记作正数，则向西就记作负数．故正确答案为：﹣5．考点二：有理数之相反数知识回顾知识回顾相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。我们说其中一个数是另一个数的相反数。0的相反数还是0。相反数的性质：互为相反数的两个数和为0。即与互为相反数⇔⇔微专题微专题11．（2022•鄂州）实数9的相反数等于（）A．﹣9 B．+9 C． D．﹣【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：实数9的相反数是：﹣9．故选：A．12．（2022•贺州）下列各数中，﹣1的相反数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】直接利用相反数的定义进行判断即可．【解答】解：﹣1的相反数是：1．故选：C．13．（2022•河池）﹣2022的相反数是．【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．【解答】解：﹣2022的相反数是：2022．故答案为：2022．14．（2022•鄂尔多斯）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3【分析】根据数轴得到点A表示的数为﹣2，再求﹣2的相反数即可．【解答】解：点A表示的数为﹣2，﹣2的相反数为2，故选：C．考点三：有理数之绝对值知识回顾知识回顾绝对值的定义：数轴上表示数的点到原点的距离用数的绝对值来表示。即||。离远点越远的数绝对值越大，离原点越近的数绝对值越小。求绝对值：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0。即或绝对值与相反数：互为相反数的两个数绝对值相等。即与互为相反数，则。绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。即，则或。微专题绝对值等于一个正数的数有两个，他们互为相反数。，则。微专题15．（2022•黔西南州）﹣3的绝对值是（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．﹣【分析】根据绝对值的性质：|a|＝即可得出答案．【解答】解：﹣3的绝对值：|﹣3|＝3，故选：B．16．（2022•黄石）的绝对值是（）A． B．﹣1 C．1+ D．±（﹣1）【分析】直接利用绝对值的定义分别分析得出答案．【解答】解：1﹣的绝对值是﹣1；故选：B．17．（2022•百色）﹣2023的绝对值等于（）A．﹣2023 B．2023 C．±2023 D．2022【分析】利用绝对值的意义求解．【解答】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；所以，﹣2023的绝对值等于2023．故选：B．18．（2022•广东）|﹣2|＝（）A． B．2 C．﹣2 D．﹣【分析】根据绝对值是数轴上的点到原点的距离，可得答案．【解答】解：|﹣2|＝2，故选：B．19．（2022•荆门）如果|x|＝2，那么x＝（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或﹣【分析】利用绝对值的意义，直接可得结论．【解答】解：∵|±2|＝2，∴x＝±2．故选：C．20．（2022•聊城）实数a的绝对值是，a的值是（）A． B．﹣ C．± D．±【分析】根据绝对值的意义直接进行解答【解答】解：∵|a|＝，∴a＝±．故选：D．考点四：有理数之倒数知识回顾知识回顾倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数。即若与互为倒数。注意：0没有倒数。乘积为﹣1的两个数互为负倒数。即若与互为负倒数。微专题微专题21．（2022•盘锦）﹣6的倒数是（）A．﹣ B．﹣0.6 C． D．6【分析】根据乘积等于1的两个数互为倒数，从而确定﹣6的倒数，注意：正数的倒数还是正数，负数的倒数还是负数．【解答】解：﹣6的倒数是1÷（﹣6）＝．故选：A．22．（2022•张家界）﹣2022的倒数是（）A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．【分析】直接利用倒数的定义得出答案．【解答】解：﹣2022的倒数是：﹣．故选：B．23．（2022•深圳）下列互为倒数的是（）A．3和 B．﹣2和2 C．3和﹣ D．﹣2和【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可．【解答】解：A．因为3×＝1，所以3和是互为倒数，因此选项A符合题意；B．因为﹣2×2＝﹣4，所以﹣2与2不是互为倒数，因此选项B不符合题意；C．因为3×（﹣）＝﹣1，所以3和﹣不是互为倒数，因此选项C不符合题意；D．因为﹣2×＝﹣1，所以﹣2和不是互为倒数，因此选项D不符合题意；故选：A．24．（2022•包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为（）A．﹣8 B．﹣5 C．﹣1 D．16【分析】两数互为相反数，和为0；两数互为倒数，积为1，由此可解出此题．【解答】解：∵a，b互为相反数，c的倒数是4，∴a+b＝0，c＝，∴3a+3b﹣4c＝3（a+b）﹣4c＝0﹣4×＝﹣1．故选：C．25．（2022•黔东南州）下列说法中，正确的是（）A．2与﹣2互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是﹣2【分析】根据倒数的定义判断A选项；根据相反数的定义判断B选项；根据0的相反数是0判断C选项；根据正数的绝对值等于它本身判断D选项．【解答】解：A选项，2与﹣2互为相反数，故该选项不符合题意；B选项，2与互为倒数，故该选项不符合题意；C选项，0的相反数是0，故该选项符合题意；D选项，2的绝对值是2，故该选项不符合题意；故选：C．26．（2022•宜昌）下列说法正确的个数是（）①﹣2022的相反数是2022；②﹣2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根据相反数的定义判断①；根据绝对值的性质判断②；根据倒数的定义判断③．【解答】解：①﹣2022的相反数是2022，故①符合题意；②﹣2022的绝对值是2022，故②符合题意；③的倒数是2022，故③符合题意；正确的个数是3个，故选：A．考点五：有理数之有理数的大小比较：知识回顾知识回顾定义比较法：正数大于0，0大于负数。数轴比较法：数轴上右边的恒大于数轴上左边的数。其他比较：同为负数的两个数比较，绝对值大的反而小。，则；，则；，则；微专题微专题27．（2022•阜新）在有理数﹣1，﹣2，0，2中，最小的是（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2【分析】利用有理数的大小比较来比较大小即可．【解答】解：有理数﹣1，﹣2，0，2中，最小的是﹣2，故选：B．28．（2022•郴州）有理数﹣2，﹣，0，中，绝对值最大的数是（）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．【分析】正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．先求出各个数的绝对值，然后比较绝对值的大小，由此确定出绝对值最大的数．【解答】解：﹣2的绝对值是2，﹣的绝对值是，0的绝对值是0，的绝对值是．∵2＞＞＞0，∴﹣2的绝对值最大．故选A．29．（2022•苏州）下列实数中，比3大的数是（）A．5 B．1 C．0 D．﹣2【分析】把各个数先排列好，根据比较结果得结论．【解答】解：∵﹣2＜0＜1＜3＜5，∴比3大的数是5．故选：A．考点六：有理数之有理数的运算：知识回顾知识回顾有理数的加法运算：同号相加，符号不变，绝对值相加；异号相加，符号取绝对值较大的符号，再把绝对值做差。加法的交换律：；（2）加法的结合律：。有理数的减法运算：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即。有理数的乘法运算：两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。任何数同零相乘都得零，（1）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定，若负因式有奇数个则积为负，若负因式有偶数个则积为正，简称奇负偶正。（2）乘法的交换律：；（2）乘法的结合律：；（3）乘法的分配律：。4.有理数的除法运算：除以一个数等于乘以这个数的倒数；即。注意：零不能做除数。5.有理数的乘方运算：求几个相同因数的积的运算叫做乘方。即。在中，为底数，为指数。底数和指数不能同时为0。即无意义。（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当为正奇数时:，与互为相反数。当为正偶数时:，与互为相反数。有理数的混合运算：先算乘方，再算乘法，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。微专题微专题30．（2022•沈阳）计算5+（﹣3），结果正确的是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【分析】根据有理数异号相加法则即可处理．【解答】解：5+（﹣3）＝2，故选：A．31．（2022•天津）计算（﹣3）+（﹣2）的结果等于（）A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝﹣（3+2）＝﹣5，故选：A．32．（2022•呼和浩特）计算﹣3﹣2的结果是（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【分析】运用有理数的减法运算法则计算．【解答】解：﹣3﹣2＝﹣5．故选：C．33．（2022•杭州）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为﹣6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（）A．﹣8℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．8℃【分析】由最高温差减去最低温度求出该地这天的温差即可．【解答】解：根据题意得：2﹣（﹣6）＝2+6＝8（℃），则该地这天的温差为8℃．故选：D．34．（2022•滨州）某市冬季中的一天，中午12时的气温是﹣3℃，经过6小时气温下降了7℃，那么当天18时的气温是（）A．10℃ B．﹣10℃ C．4℃ D．﹣4℃【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．【解答】解：﹣3﹣7＝﹣10（℃），故选：B．35．（2022•扬州）扬州某日的最高气温为6℃，最低气温为﹣2℃，则该日的日温差是℃．【分析】由最高气温减去最低气温确定出该日的日温差即可．【解答】解：根据题意得：6﹣（﹣2）＝6+2＝8（℃），则该日的日温差是8℃．故答案为：8．36．（2022•台州）计算﹣2×（﹣3）的结果是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5【分析】根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘即可得出答案．【解答】解：﹣2×（﹣3）＝+（2×3）＝6．故选：A．37．（2022•泰安）计算（﹣6）×（﹣）的结果是（）A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．【解答】解：原式＝+（6×）＝3．故选：B．38．（2022•玉林）计算：2÷（﹣2）＝．【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案．【解答】解：2÷（﹣2）＝﹣（2÷2）＝﹣1．故答案为：﹣1．39．（2022•广东）计算22的结果是（）A．1 B． C．2 D．4【分析】应用有理数的乘方运算法则进行计算即可得出答案．【解答】解：22＝4．故选：D．40．（2022•长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估计2200比1060大．其中对2200的理解错误的网友是（填写网名字母代号）．【分析】由乘方的定义可知，2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘；通过计算可得2n的尾数2，4，8，6循环，由循环规律可确定2200的个位数字是6；由积的乘方运算可得2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，由此可得2200＞1060，从而可求解．【解答】解：（1）∵2200就是200个2相乘，∴YYDS（永远的神）的说法正确；∵2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘，∴2200不等于2002，∴DDDD（懂的都懂）说法不正确；∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴2n的尾数2，4，8，6循环，∵200÷4＝50，∴2200的个位数字是6，∴JXND（觉醒年代）说法正确；∵210＝1024，103＝1000，∴2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，∵1024＞1000，∴2200＞1060，∴QGYW（强国有我）说法正确；故答案为：DDDD．41．（2022•威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝．【分析】直接利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等得出n的值，再根据如何一个不等于0的数的0次幂都等于1，即可得出答案．【解答】解：设右下角方格内的数为x，根据题意可知：x﹣4+2＝x﹣2+n，解得n＝0，∴mn＝m0＝1（m＞0）．故答案为：1．42．（2022•烟台）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式．【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：5×6﹣2×3＝30﹣6＝24，故答案为：5×6﹣2×3（答案不唯一）．43．（2022•烟台）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为．【分析】根据题意可得，把x＝﹣5，y＝3代入（x2+y0）进行计算即可解答．【解答】解：当x＝﹣5，y＝3时，（x2+y0）＝×[（﹣5）2+30]＝×（25+1）＝×26＝13，故答案为：13．44．（2022•随州）计算：3×（﹣1）+|﹣3|＝．【分析】根据有理数的乘法和加法运算法则计算即可．【解答】解：3×（﹣1）+|﹣3|＝﹣3+3＝0．故答案为：0．45．（2022•宜昌）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法，请计算以下涉及“负数”的式子的值：﹣1﹣（﹣3）2＝．【分析】先算乘方，再算减法，即可解答．【解答】解：﹣1﹣（﹣3）2＝﹣1﹣9＝﹣10，故答案为：﹣10．46．（2022•凉山州）计算：﹣12+|﹣2023|＝．【分析】先化简各式，然后再进行计算，即可解答．【解答】解：﹣12+|﹣2023|＝﹣1+2023＝2022，故答案为：2022．47．（2022•柳州）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|=．【分析】直接利用有理数的乘法运算法则以及绝对值的性质化简，再利用有理数的加减运算法则得出答案．【解答】解：原式＝﹣3+4+4＝5．48．（2022•广西）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）=．【分析】先算乘方，再算括号里面的和乘除法，最后算加减．【解答】解：原式＝1×3+4÷（﹣4）＝3﹣1＝2．49．（2022•桂林）计算：（﹣2）×0+5=．【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法即可．【解答】解：（﹣2）×0+5＝0+5＝5．考点七：有理数之绝对值与偶次方的非负性：知识回顾知识回顾绝对值的非负性：根据绝对值的定义可知，是一个非负数，恒大于等于0。即≥0。偶次方的非负性：任何数的偶次方都恒大于等于0。即。几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。即，则；，则；，则。微专题微专题50．（2022•西藏）已知a，b都是实数，若|a+1|+（b﹣2022）2＝0，则ab＝．【分析】根据绝对值、偶次幂的非负性求出a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵|a+1|+（b﹣2022）2＝0，∴a+1＝0，b﹣2022＝0，即a＝﹣1，b＝2022，∴ab＝（﹣1）2022＝1，故答案为：1．51．（2022•泸州）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则ab＝．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3，所以，ab＝2×（﹣3）＝﹣6．故答案为：﹣6．考点八：有理数之科学计数法：知识回顾知识回顾科学计数法定义：把一个大于绝对值大于10或绝对值小于1的数表示为的形式叫做科学计数法。在中，，为整数。微专题微专题52．（2022•淮安）2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为11000000人以上．数据11000000用科学记数法表示应为（）A．0.11×108 B．1.1×107 C．11×106 D．1.1×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：11000000＝1.1×107．故选：B．53．（2022•镇江）“珍爱地球，人与自然和谐共生”是今年世界地球日的主题，旨在倡导公众保护自然资源．全市现有自然湿地28700公顷，人工湿地131