专题4.3因式分解（压轴题综合训练卷）（浙教版）

专题4.3因式分解（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022春•泰山区校级月考）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）A．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x B．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．a（m+n）＝am+an【思路点拨】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解题过程】解：A．等号右边不是乘积形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意为；B．等号右边不是乘积形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意C．属于因式分解，故本选项符合题意；D．整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．2．（2021秋•洛阳期末）如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（）A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n） C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n）【思路点拨】根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法，从而得到等式．【解题过程】解：观察图形可知m2+3mn+2n2＝（m+2n）（m+n）．故选：B．3．（2021秋•丰泽区校级期末）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（）A．m B．m（a﹣x） C．m（a﹣x）（b﹣x） D．（a﹣x）（b﹣x）【思路点拨】首先把式子进行变形，可变为m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），进而可得到公因式m（a﹣x）（b﹣x）．【解题过程】解：m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x），＝m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），＝m（a﹣x）（x﹣b）（1+n）＝﹣m（a﹣x）（b﹣x）（1+n），故选：C．4．（2021秋•青神县期末）下列各式：①x2﹣x2y4＝（x﹣xy2）（x+xy2），②x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x，③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，④1mA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据因式分解的意义对各小题进行分析即可．【解题过程】解：①x2﹣x2y4＝x2（1﹣y4）＝x2（1﹣y2）（1+y2）＝x2（1+y）（1﹣y）（1+y2），故原题因式分解错误；②x2﹣1+2x＝（x﹣1）2，故原题因式分解错误；③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，正确；④等式左边不是多项式，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，所以属于正确的因式分解的有1个．故选：A．5．（2021秋•湖里区期末）已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（）A．2ab B．﹣2ab C．3b2 D．﹣5b2【思路点拨】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解题过程】解：多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是﹣5b2．故选：D．6．（2021秋•凤凰县期末）如果二次三项式x2﹣ax﹣9（a为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a可取值的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【思路点拨】根据因式分解﹣十字相乘法，将﹣9分解为﹣9×1和﹣1×9，然后进行计算即可．【解题过程】解：当﹣9＝﹣9×1时，﹣a＝﹣9+1，∴a＝8，当﹣9＝﹣1×9时，﹣a＝﹣1+9，∴a＝﹣8，∴如果二次三项式x2﹣ax﹣9（a为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a可取值：±8，故选：A．7．（2022春•宝山区校级月考）若x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），则p+q的值为（）A．15 B．7 C．﹣7 D．﹣8【思路点拨】直接利用多项式乘多项式运算法则得出p，q的值，进而得出答案．【解题过程】解：∵x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），∴x2+px+q＝x2﹣8x+15，故p＝﹣8，q＝15，则p+q＝﹣8+15＝7．故选：B．8．（2021秋•顺平县期末）如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为（）A．80 B．160 C．320 D．480【思路点拨】直接利用长方形面积求法以及周长求法得出a+b＝10，ab＝16，再将原式提取公因式ab分解因式，代入数据求出答案．【解题过程】解：∵边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，∴a+b＝10，ab＝16，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝16×10＝160．故选：B．9．（2021秋•九龙坡区校级期末）已知x﹣y＝2，xy=12，那么x3y+x2y2+xyA．3 B．5 C．112 D．【思路点拨】原式提取公因式，再利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解题过程】解：∵x﹣y＝2，xy=1∴原式＝xy•（x2+xy+y2）＝xy•[（x﹣y）2+3xy]=12×[22=12×（=1=11故选：D．10．（2021秋•江油市期末）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【思路点拨】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．【解题过程】解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2023＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2023＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2023＝x2+x3﹣x2﹣2x+2023＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2023＝x﹣x2﹣2x+2023＝﹣x2﹣x+2023＝﹣（x2+x）+2023＝﹣1+2023＝2022．故选：C．评卷人得分二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022•蓬安县模拟）分解因式：5ab2﹣45a＝5a（b+3）（b﹣3）．【思路点拨】先提取公因式5a，然后利用平方差公式进行因式分解．【解题过程】解：原式＝5a（b2﹣9）＝5a（b+3）（b﹣3）．故答案为：5a（b+3）（b﹣3）．12．（2022•新会区校级模拟）若y2﹣3y+m有一个因式为y﹣4，则m＝﹣4．【思路点拨】设多项式y2﹣3y+m的另一个因式为（y+k），则y2﹣3y+m＝（y﹣4）（y+k），可得关于k、m的方程组，解方程组即可求出m的值．【解题过程】解：设多项式y2﹣3y+m的另一个因式为（y+k），则y2﹣3y+m＝（y﹣4）（y+k），∴y2﹣3y+m＝y2+（k﹣4）y﹣4k，∴k-解得k=1故答案为：﹣4．13．（2021秋•淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为（x﹣6）（x+2）．【思路点拨】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可．【解题过程】解：因式分解x2+ax+b时，∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），∴a＝﹣8+4＝﹣4，∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），故答案为：（x﹣6）（x+2）．14．（2021秋•仁寿县期末）已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于3．【思路点拨】对a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac提公因式12，进而进行因式分解，再将a、b、c【解题过程】解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=12（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）=12[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）=1＝3．故答案为：3．15．（2020•浙江自主招生）分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．【思路点拨】因2x2+7xy﹣15y2＝（x+5y）（2x﹣3y），故可设2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y+a）（2x﹣3y+b），根据十字相乘法的逆运算解答．【解题过程】解：∵2x2+7xy﹣15y2＝（x+5y）（2x﹣3y），∴可设2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y+a）（2x﹣3y+b），a、b为待定系数，∴2a+b＝﹣3，5b﹣3a＝11，ab＝﹣2，解得a＝﹣2，b＝1，∴原式＝（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．故答案为：（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．评卷人得分三．解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（2021秋•鱼台县期末）利用因式分解计算：（1）9002﹣894×906；（2）2.68×15.7﹣31.4+15.7×1.32．【思路点拨】（1）利用平方差公式把894×906分解，再和9002相减．（2）首先2.68×15.7+15.7×1.32通过因式分解提取公因数15.7，使3.68+0.32结果为整数4．再﹣31.4计算．【解题过程】（1）9002﹣894×906＝9002﹣（900﹣6）（900+6）＝9002﹣（9002﹣62）＝9002﹣9002+62＝36．（2）2.68×15.7﹣31.4+15.7×1.32＝15.7×（2.68+1.32）﹣31.4＝15.7×4﹣31.4＝31.4×2﹣31.4＝31.4．17．（2020秋•丛台区期末）因式分解（1）（a﹣b）2+4ab；（2）x2﹣2x﹣8；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．【思路点拨】（1）先根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据十字相乘法分解因式即可；（3）先分组，根据完全平方公式进行计算，再根据平方差公式分解因式，最后根据“十字相乘法”分解因式即可；（4）把x2+3x当作一个整体展开，再根据“十字相乘法”分解因式即可．【解题过程】解：（1）（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16＝（x4﹣6x3+9x2）﹣16＝x2（x﹣3）2﹣42＝[x（x﹣3）+4][x（x﹣3）﹣4]＝（x2﹣3x+4）（x2﹣3x﹣4）＝（x2﹣3x+4）（x﹣4）（x+1）；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+5+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+8＝（x2+3x+2）（x2+3x+4）＝（x+1）（x+2）（x2+3x+4）．18．（2021春•铁西区期中）先因式分解，然后计算求值：（x+1）（x+2）+14，其中x【思路点拨】首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式，最后求出答案．【解题过程】解：（x+1）（x+2）十1＝x2+3x+2+＝x2+3x+＝（x+32）把x=3原式＝（32+32）19．（2021秋•金川区校级期末）王老师在黑板上写下了四个算式：①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1；②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2；③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3；④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4；…认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题：（1）112﹣92＝40；132﹣112＝48．（2）小华发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n﹣1（n为正整数），请你用含有n的算式验证小华发现的规律．【思路点拨】（1）根据已知算式写出符合题意的答案；（2）利用平方差公式计算得出答案．【解题过程】解：（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝8×5＝40；132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝8×6＝48．故答案为：40；48；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n，∵n为正整数，∴两个连续奇数的平方差是8的倍数．20．（2021春•亳州期末）【问题情景】多项式的乘法公式可以利用图形中面积的等量关系来验证其正确性．例如，（a+b）2＝a2+2ab+b2就能利用图1的面积进行验证．【问题解决】（1）直接写出图2中所表示的等式：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；（2）画出适当的图形，以表示等式（3x）2＝9x2；（3）利用图2中所表示的等式分解因式：①3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1）；②2m2+8mn+6n2＝2（m+n）（m+3n）．【思路点拨】（1）本问关键在于从整体和局部两个角度去分析图形，因而得出两种形式的式子形成等式；（2）本问在于把（3x）2看作是矩形的长与宽相乘，即3x•3x，从而绘制边长为3x的正方形；（3）本问将等式的左边看作是矩形的积，求出它的因式，即矩形的长和宽．【解题过程】解：（1）观察图2，从总体来看，大矩形的长为：3a+b，宽为：a+b，∴大矩形面积可表示为：（a+b）（3a+b）；从局部来看，各小矩形的面积依次相加，可得：a2+ab+ab+a2+b2+ab+a2+ab＝3a2+4ab+b2；故答案为：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；（2）如上图，从整体来看：3x•3x＝（3x）2，从局部来看：9•x2＝9x2，∴（3x）2＝9x2；（3）①3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1），②2m2+8mn+6n2＝（2m+2n）（m+3n）＝2（m+n）（m+3n），故答案为：（3x+1）（x+1），2（m+n）（m+3n）．21．（2021秋•乐昌市期末）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式＝x²+2x﹣3＝（x²+2x+1）﹣4＝（x+1）²﹣2²＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）例如．求代数式2x²+4x﹣1的最小值．原式＝2x²+4x﹣1＝2（x²+2x+1﹣1）﹣1＝2（x+1）²﹣3．可知当x＝﹣1时，2x²+4x﹣1有最小值，最小值是﹣3．（1）分解因式：a²﹣2a﹣3＝（a﹣3）（a+1）．（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数．（3）当m，n为何值时，多项式m²﹣2mn+2n²﹣4m﹣4n+25有最小值，并求出这个最小值．【思路点拨】（1）把a²﹣2a﹣3化为a²﹣2a+1﹣4的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；（2）首先把x²+y²﹣4x+2y+6配方写成（x﹣2）2+（y+1）2+1，根据平方的非负性即可求解；（3）用拆项的方法首先把多项式化为m2﹣2m（n+2）+（n+2）2+n2﹣8n+16+5的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值．【解题过程】解：（1）a²﹣2a﹣3＝a²﹣2a+1﹣4＝（a﹣1）2﹣4＝（a﹣1﹣2）（a﹣1+2）＝（a﹣3）（a+1）；（2）多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数，理由：x²+y²﹣4x+2y+6＝x²﹣4x+4+y²+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1，∴多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数；（3）m²﹣2mn+2n²﹣4m﹣4n+25＝m2﹣2m（n+2）+（n+2）2+n2﹣8n+16+5＝（m﹣n﹣2）2+（n﹣4）2+5，当m﹣n﹣2＝0，n﹣4＝0时代数式有最小值，解得m＝6，n＝4，最小值为5．22．（2021秋•松滋市期末）如图，将一块长方形纸板沿图中的虚线裁剪成9块，其中2块是边长为a的小正方形，5块是长为b，宽为a的小长方形，2块是边长为b的大正方形．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以分解因式为（a+2b）（2a+b）；（2）若这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15．①则图中1块边长为a的小正方形和1块边长为b的大正方形的面积之和为51；②试求图中所有剪裁线（虚线部分）长的和．【思路点拨】（1）按照整体思想和分割思想利用面积法分析求解；（2）①利用整体思想代入求值；②利用平移思想分析求解．【解题过程】解：（1）如图，∵矩形ABCD由2块边长为a的小正方形，5块长为b，宽为a的小长方形，2块边长为b的大正方形组成，∴S矩形ABCD＝2a2+5ab+2b2，又∵矩形ABCD的长为（a+2b），宽为（2a+b），∴S矩形ABCD＝（a+2b）（2a+b），∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），故答案为：（a+2b）（2a+b）；（2）①∵这块长方形纸板的面积为177，每块长为b，宽为a的小长方形的面积是15，∴2a2+5ab+2b2＝177，ab＝15，∴2（a