专题2.3勾股定理中的最短路线与翻折问题专项讲练

专题2.3勾股定理中的最短路线与翻折问题专项讲练勾股定理中的最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。题型1.圆柱有关的最短路径问题【解题技巧】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。要点总结：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（

）（取3）A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm【答案】A【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得cm．∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，∴最短路径长为60cm.故选：A．【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．变式1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝10cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为_____cm．【答案】13【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．【详解】将圆柱体的侧面展开，如图所示：AB＝底面周长＝××＝12（cm），BP＝BC＝5（cm），所以AP＝（cm），故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为13cm，故答案为：13．【点睛】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法．变式2．（2022·浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm【答案】B【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为cm，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×＝8cm；又∵圆柱高为18cm，∴小长方形的一条边长是6cm；根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝10cm；∴AC+CD+DB＝30cm；故选：B．【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开−−路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．题型2.长方体有关的最短路径问题想【解题技巧】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。要点总结：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。例2．（2021·陕西八年级期末）如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．【答案】5【分析】利用平面展开图有3种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【详解】解：分三种情况：如图1，,如图2，，∴AP=5，如图3，，，它爬行的最短路程为5，故答案为：5．,【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有3种情况分析得出是解题关键．变式1.（2022·重庆八年级期中）如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm【答案】B【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理求出所需结果．【详解】解：如图，将长方体展开，连接A、B′，则AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm），A′B′＝6cm，根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，所以AB′＝10cm．故选：B．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，本题的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，构造直角三角形运用勾股定理解决．变式2．（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，在长方体的顶点G处有一滴糖浆，棱AE上的P处的蚂蚁想沿长方体表面爬到容器G处吃糖浆，已知容器长AB＝5cm，宽AD＝4cm，高AE＝4cm，AP＝1cm，那么蚂蚁需爬行的最短距离是______cm．（结果保留根号）【答案】【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：∵AE＝4cm，AP＝1cm，∴PE＝3cm，如图1，∴PH＝3+4＝7（cm），∴PG＝（cm）；如图2，∴PG＝（cm）；如图3∴PG＝（cm），故蚂蚁需爬行的最短距离是cm．故答案为：．【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．题型3.阶梯中的最短路径问题【解题技巧】根据两点之间线段之和最小进行解决。要点总结：展开—定点—连线—勾股定理例3．（2021·重庆八年级期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm．【答案】17【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：，解得．故答案为：17．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．变式1．（2022·山西八年级期末）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（）A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】将题中图案展开后，连接AC，利用勾股定理可得AC长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求．【详解】解：展开如图得新矩形，连接AC，则其长度至少增加2MN，宽度不变，由此可得：，根据勾股定理有：故选D．【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图．题型4.将军饮马与最短路径问题【解题技巧】解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。要点总结：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。例4.（2022·重庆初二月考）圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（）A． B．28 C．20 D．【答案】C分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.【解析】如图所示，将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′，连接A′B,则A′B即为最短距离，A′B=(cm)故选C.点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键.变式1.（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）m．（取3）A．30 B．28 C．25 D．22【答案】C【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于AB的对称点F，连接DF，根据半圆的周长求得，根据对称求得，在Rt△CDF中，勾股定理求得．【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆，∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm，在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C．【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键．变式2.（2021·陕西长安·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．【答案】（1）见解析；（2）100cm【分析】(1)做出A关于BC的对称点A’，连接A’G，与BC交于点Q，由两点之间线段最短，此时A’G最短，即AQ+QG最短；(2)A’G为直角△A’EG的斜边，根据勾股定理求解即可．【详解】解：(1)如下图所示，作点A关于BC所在直线的对称点，连接，与交于点，由两点之间线段最短，此时A’G最短，则为最短路线．(2)∵，∴，∴．在中，，，∴．由对称性可知，∴．故小虫爬行的最短路线长为100cm．【点睛】本题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，本题的关键是根据对称性作出A的对称点A’，再根据两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．课后专项训练：1．（2021·江苏八年级月考）将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．【详解】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是8cm，则在杯外的最大长度是248=16cm；再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是AC===17，则在杯外的最小长度是2417=7cm，所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm，故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围．主要是根据勾股定理求出筷子在杯内的最大长度．2．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的边和草地的宽平行且长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发到达点C处需要走的最短路程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．【详解】由题意可知，将木块展开，如图，长相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为9+2×1＝11(m)；宽为6m．于是最短路径为：(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理求最短距离，掌握勾股定理是解题的关键．3．（2022·四川乐山·八年级期末）如图，一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（）A．12cm B．cm C．cm D．cm【答案】B【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可.【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=cm；如图2所示，cm，如图3所示，cm，∵＜4＜，∴蚂蚁所行的最短路线为cm.【点睛】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题.4．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，【详解】解：如图，它运动的最短路程（cm），故选：C．【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，掌握两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出是解题的关键．5．（2021·山东省郓城第一中学八年级阶段练习）如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米的无盖长方体纸盒放在桌面上，一只昆虫从顶点要爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短路程为（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米【答案】C【分析】分别画出三个路径的示意图，利用勾股定理求出路程，再从中找出最短路程即可．【详解】解：由题意，有以下三个路径：①如图，路径一：则这只昆虫爬行的路程为（米）；②如图，路径二：则这只昆虫爬行的路程为（米）；③如图，路径三：则这只昆虫爬行的路程为（米）；因为，所以这只昆虫爬行的最短路程为5米，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出三个路径的示意图是解题关键．6．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，有一长、宽、高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：如图，AB=cm，∴需要爬行的最短路径长为cm，故选：A．【点睛】此题考查最短路径问题，解题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．7．（2022·全国·八年级）如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行时距离最短；∵正方体盒子棱长为2，M为BC的中点，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用．8．（2022·四川省德阳市第二中学校八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长．宽．高分别为3、2、1的长方体的A点爬到B点，它爬行的最短路程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】按展开的方式不同，分类讨论，将长方体展开，连接点A、B，再利用勾股定理即可求解．【详解】按展开的方式不同，分类讨论，第一种情况：当按下图展开时，根据勾股定理可得：；第二种情况：当按下图展开时，根据勾股定理可得：；第三种情况：当按下图展开时，根据勾股定理可得：；∵，∴最短路径为：，故选：C．【点睛】本题考查了长方体的展开以及勾股定理等知识，将长方体展开，连接AB，线段AB即是蚂蚁爬行的最短距离，如此得到最短距离是解答本题的关键．9．（2022·江苏·八年级专题练习）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：将台阶展开，如图，因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，所以AC2=DC2+AD2=20，所以AC=，故选：D．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．10．（2022·安徽宿州·八年级期末）如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（

）A． B．14cm C． D．10cm【答案】D【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答．【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形：如图1中，，如图2中，，∵，∴爬行的最短路径是10cm．故选:D【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，涉及了勾股定理的应用，解题的关键是将问题进行转化，然后根据勾股定理求解．11．（2022·成都市八年级专题练习）如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．【答案】【分析】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的长方形，求出不同长方形的对角线，最短者即为正确答案．【详解】解：由题意，如图所示，得；如图所示，得，如图3所示，，∴蚂蚁爬行的最短路程是10．故答案为：10.【解答】本题考查了勾股定理的应用，根据题意将长方体盒子展开为平面图形，根据勾股定理求出最短路程进行比较是解题关键．12．（2021·江苏八年级期中）如图，矩形中，，．点是的中点，点是边上的任意一点（不与、重合），沿翻折，点落在处，当的长度最小时，的长度为______．【答案】【分析】先确定当，，共线时，的值最小，再根据勾股定理解题．【详解】如图，连接，∵，，，∴，∴当，，共线时，的值最小，不妨设此时点落在上的点处，设，∵，∴，解得．故答案为：．【点睛】本道题考查了两点之间，线段最短、勾股定理(在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方)．解题的关键是确定当，，共线时，的值最小．13．（2022·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期末）如图，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA＝AB＝5米，点P到AD的距离是4米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是______米【答案】【分析】可将大楼的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，∵AG=4，AP=AB=5，∴，BG=9，∴故这只蚂蚁的最短行程应该是故答案为：【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．14．（2022·全国·八年级课时练习）云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为_________m．【答案】【分析】根据题意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，线段AE即为滑行的最短路线长．在Rt△ADE中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长．【详解】解：如图，根据题意可知：AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，线段AE即为滑行的最短路线长．在Tt△ADE中，根据勾股定理，得AE＝（m）．故答案为：【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解决本题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求最短距离．15．（2021·新疆伊犁·八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是___________cm．【答案】【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理解答即可．【详解】解：如图如图如图它所行的最短路线的长为：故答案为：．【点睛】本题考查平面展开图—最短路径问题，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键．16．（2022·新疆克拉玛依·八年级期末）如图，正方体的盒子的棱长为，的中点为，一只蚂蚁从点沿正方体的表面爬到点蚂蚁爬行的最短距离是______．【答案】【分析】根据题意，先将正方体展开，再根据两点之间线段最短求解．【详解】解：将正方体展开，连接、，根据两点之间线段最短，，．如图，，，最短距离为，故答案为：．【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，将正方体展开，据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．17．（2022·广东·常春藤国际学校八年级期中）如图，一个圆柱体的底面周长为24，高BD＝5，BC是直径．一只蚂蚁从点D出发，沿着表面爬到C的最短路程为_______．【答案】【分析】根据题意，有2条路线，①先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解，②沿DBC路线求得路程比①更短，据此即可求解．【详解】解：将圆柱体展开，连接DC，圆柱体的底面周长为24，则DE=12，根据两点之间线段最短，CD=．而走BDC时，路程为，∵，∴蚂蚁从点D出发，沿着表面爬到C的最短路程为．故答案为：．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．18．（2021·无锡市八年级期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒；（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m；（3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲?【答案】（1）；（2）；（3）昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲【分析】（1）利用勾股定理求出斜对角线的长即可；（2）利用勾股定理求解即可；（3）由题意的最短路径相等，设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，列出方程求解即可．【详解】（1）最长的为斜对角线：=；（2）这根细线的长为：=；（3）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1在Rt△ACF中，∵x>0，解得：答：昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，把立体图形转化为平面图形是解题的关键．三角形和矩形中的翻折、旋转问题解题技巧：勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。例1．（2022·江苏九年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．【答案】【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题．【详解】解：∵是的中点，，，∴，由折叠的性质知：，设，则，在中，根据勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案为：【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．变式1．（2022·重庆南开中学八年级月考）如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．【详解】解：ABCD是长方形纸片，∴AB=CD=3，，∴，∴BF=4，∴AF=，∴AF=AD=BC=5，CF=1，设DE为x，EF=DE=x，EC=3x，x2=(3x)2+1，解得，x=，∴，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．例2．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为____．【答案】【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、GE=GB可得出△GEF≌△GBP，根据全等三角形的性质可得出GF=GP、EF=BP，设BF=EP=CP=x，则AF=4x，BP=3x=EF，DF=DEEF=4（3x）=x+1，在Rt△ADF中，依据AF2+AD2=DF2，可得到x的值．【详解】解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△GEF和△GBP中，，∴△OEF≌△OBP（ASA），∴EF=BP，GF=GP，∴BF=EP=CP，设BF=EP=CP=x，则AF=4x，BP=3x=EF，DF=DEEF=4（3x）=x+1，∵∠A=90°，∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，∴（4x）2+32=（1+x）2，∴x=，∴CP=，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键．变式1．（2022·江苏·靖江市靖城中学八年级期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为_______【答案】4【分析】首先求出BC′的长度，设出C′F的长，根据勾股定理列出关于线段C′F的方程，解方程求出C′F的长，即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°；∵点C′为AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3；由题意得：C′F＝CF（设为x），则BF＝9−x，由勾股定理得：x2＝32＋(9−x)2，解得：x＝5，∴BF＝9−5＝4．故答案为4．【点睛】本题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理的应用等几何知识点为核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键．例3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．【答案】【分析】设，则，由折叠的性质可知，，在中利用勾股定理表示出，在中，利用勾股定理列方程求解．【详解】解：设，则，由折叠的性质可知，，，．在中，，．在中，，即，解得．的长为．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．变式1．（2022·上海松江·八年级期末）如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是________．【答案】【分析】由对折先证明再利用勾股定理求解再证明从而求解于是可得答案.【详解】解：长方形ABCD中，BC=5，AB=3，由折叠可得：故答案为：【点睛】本题考查的是长方形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，求解是解本题的关键.例4．（2021·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．【答案】2【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：设CF与AB交于点H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴S△ABC=，即，∴CH=，由折叠可知：CF=CB=4，∴HF=CFCH=，在△BCH中，BH=，设BE=EF=x，则EH=x，在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．变式1．（2021·四川省内江市第六中学九年级）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．【详解】解：在中，，（1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点，由折叠得：，，设，则，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）当时，如图2，此时点与点重合，由折叠得：，则，设，则，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．例5．（2022·贵州遵义·八年级期末）在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】由折叠的性质可得AE＝DE，则DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出BE即可．【详解】解：由折叠的性质可得AE＝DE，∵，，，点是边的中点，∴DE＝AE＝8－BE，BD＝，在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即，解得：BE＝，故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理得出关于BE的方程是解题的关键．变式1．（2022·北京市第一六一中学八年级期中）如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（

）.A． B． C．3 D．【答案】D【分析】由折叠的性质可得DN=CN，根据勾股定理可求DN的长，即可得出结果．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BCCN=6DN，在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，∴DN2=（6DN）2+4，∴DN=，∴CN=DN=，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．例6．（2022·河南开封·八年级期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案．【详解】解：∵在，，，，∴,设，则，由折叠可知，在中，，∴，∴，∴．∴．故选：C．【点睛】本题考查了利用勾股定理列方程求线段，准确列出方程是解题的关键．变式1．（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级期中）如图，在中，，，．将折叠，使点B恰好落在边AC上．与点重合，AE为折痕，则的长为（

）A．12 B．25 C．20 D．15【答案】D【分析】由勾股定理可求出AC，再由折叠的性质可知，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程即可求解．【详解】解：∵在中，，，，，∵折叠，点B与点重合，，，，，设，则，又，在中，，即，解得：，．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理列方程是解题的关键．例7．（2021·贵州九年级）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．【答案】【分析】连接，过点作，设，分别解得的长，继而证明，由全等三角形的性质得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，据此解题．【详解】如图，连接，过点作，设，则矩形中在与中，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．变式1．（2022·湖北阳新初二期末）（问题原型）如图1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．（初步探究）如图2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．（简单应用）如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连续CD，求△BCD的面积(用含a的代数式表示)．【答案】【问题原型】32；【初步探究】△BCD的面积为a2；【简单应用】△BCD的面积为a2．【分析】问题原型：如图1中，△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．进而由三角形的面积公式得出结论；初步探究：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论；简单运用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=BC，由条件得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．【解析】问题原型：如图1中，，，如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，∴∠BED=∠ACB=90°．∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=8．∵S△BCDBC•DE，∴S△BCD=32．故答案为：32．初步探究：△BCD的面积为a2．理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED=∠ACB=90°∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=a．∵S△BCDBC•DE，∴S△BCDa2；简单应用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，∴∠AFB=∠E=90°，BFBCa，∴∠FAB+∠ABF=90°．∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB=BD．在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED(AAS)，∴BF=DEa．∵S△BCDBC•DE，∴S△BCD•a•aa2，∴△BCD的面积为a2．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．课后训练：1．（2021·陕西八年级期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，便点与点重合，折痕为，则的面积为（）．A．12 B．10 C．6 D．15【答案】C【分析】设AE=x，由折叠BE=ED=9x，再在Rt△ABE中使用勾股定理即可求出x，进而求出△ABE的面积．【详解】解：设AE=x，由折叠可知：BE=ED=9x，在Rt△ABE中，由勾股定理有：AB²+AE²=BE²，代入数据：3²+x²=(9x)²，解得x=4，故AE=4，此时，故选：C．【点睛】本题考查了折叠问题中的勾股定理，利用折叠后对应边相等，设要求的边为x，在一个直角三角形中，其余边用x的代数式表示，利用勾股定理建立方程求解x．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是解决本题的关键．2．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2﹣AC2的值是（）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】A【分析】由折叠的性质可得∠ADC=∠ADE=90°，由∠C=45°，∠B=30°，AD=2，可得AC=AD，AB=2AD=4，可求AB2AC2的值．【详解】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，∴∠ADC=∠ADE=90°，∵∠C=45°，AD=2，∴AC=AD=，∵∠B=30°，∴AB=2AD=2×2=4，∴AB2AC2=42（）2=8，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．3．（2022·广西·桂林市第一中学八年级期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC＝6cm，BC＝8cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据折叠的性质得DA＝DB，设CD＝xcm，则BD＝AD＝（8﹣x）cm，在Rt△ACD中利用勾股定理得到x2+62＝（8﹣x）2，然后解方程即可．【详解】解：∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴DA＝DB，设CD＝xcm，则BD＝AD＝（8﹣x）cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得，CD2+AC2＝AD2，∴x2+62＝（8﹣x）2，解得x＝，即CD的长为cm．故选：C．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．（2021·山东烟台·七年级期中）如图，折叠长方形ABCD纸片，点D落在BC边的点F处（AE为折痕）．已知AB=8，BC=10，则EC等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据勾股定理求出BF的长；进而求出FC的长度；由题意得EF=DE；利用勾股定理列出关于EC的方程，解方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=8；∠B=∠C=90°；由题意得：AF=AD=BC=10，由勾股定理得：BF2=AF2AB2=10282，∴BF=6，∴CF=BCBF=106=4；设EF=DE=x，EC=8x；在Rt△EFC中，由勾股定理得：x2=42+（8x）2，解得：x=5，∴EF=DE=5，∴EC=CDDE=85=3，故选：A．【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理；运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．5．（2022·辽宁铁岭·八年级期末）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，，，则线段EF的长度为______．【答案】5【分析】根据长方形的性质得出，根据折叠的性质得出，，设EF为x，则DE=x，EC=9x，根据勾股定理得出，即可得出FC的值，再根据勾股定理即可得出答案．【详解】四边形ABCD为长方形折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，，设EF为x，则DE=x，EC=9x在Rt△ABF中，根据勾股定理得即解得∴FC=BCBF=3在Rt△ECF中，根据勾股定理得FC2+EC2=EF2即解得x=5故答案为：5．【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．6．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为______．【答案】【分析】根据折叠的性质可得AE=BE，设CE=x，则BE=8x，然后根据勾股定理，即可求解．【详解】解：根据题意得：AE=BE，∵AC=8，∴BE+CE=8，设CE=x，则BE=8x，在中，，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．7．（2021·浙江九年级二模）△ABC中，，AC＝6，，折叠△ABC，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交AC于点E，当点由B向A连续移动过程中，点E经过的路径长记为m，则BC＝____________，m＝____________．【答案】【分析】过B作BM⊥AC，垂足为M，求出BM，CM长度，利用勾股定理即可求出BC长度，分析D点的运动路径，分段计算出长度加在一起即可．【详解】解：过B作BM⊥AC，垂足为M，如图1，∵∠A=45°，AB=4，∴BM=AM=，∵AC=6，∴CM=64=2，∴；①由折叠知，EF垂直平分CD，∴当D与B重合时，此时AE最小，∴如图2，作E1G⊥AB，垂足为G，连接E1B，设AE1=x，∵∠A=45°，∴AG=E1G=，E1C=6x，∵E1F垂直平分CB，∴E1B=E1C=6x，∴在Rt△E1GB中，E1B2=E1G2+GB2，即，解得x=1，（舍去负值）∴AE1=1，②∵ED=EC，∴当AE最大时，EC最短，∴ED最短，∴当ED⊥AB时，ED为垂线段，取最小值，∴如图3，作E2D2⊥AB，垂足为D2，设AE2=y，则AD2=D2E2=，∴E2C=6y，∵E2F垂直平分CD2，∴E2D2=E2C，∴y=6y，∴y=126，∴AE2=126，∴E从最近到最远走了1261=116；③当D从D2点继续向A移动，ED增加，∴AE减小，当D与A重合时，如图4，此时E3D3=E3C=AC=×6=3，∴AE3=3，∴E从E2到E3运动了1263=96，∴点E从E1，运动到E2，再运动到E3，路径长为116+96=2012，故答案为：2；2012．【点睛】本题主要考查图形翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形等知识，熟练掌握图形的翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形等知识，是解题的关键．8．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（

）A．3 B． C．3或 D．3或【答案】D【分析】根据题意，分和两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【详解】解：，点A的对应点D落在边的三等分点处，设BN＝x，则和，，在中，，当时，，解得：，当时，，解得：，故选D．【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键．9．（2022·江西·兴国县教学研究室八年级期末）如图，将一个边长分别为8，16的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是___________．【答案】4【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，得到EC=AE，∠AEF=∠CEF，推出AE=AF=CE，勾股定理求出AE，得到BE，作EG⊥AF于点G，根据勾股定理求出EF．【详解】解：根据折叠的性质知，EC=AE，∠AEF=∠CEF，∵AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=CE，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2即82+（16AE）2=AE2，解得，AE=AF=10，BE=6，作EG⊥AF于点G，则四边形AGEB是矩