专题8.13二元一次方程组的应用（9）方案问题-2021-2022学年七年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题8.13二元一次方程组的应用（9）方案问题姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·江苏·七年级专题练习）学校计划用200元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个15元，种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（

）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】A【解析】【分析】设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为非负整数求出解即可得．【详解】解：设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据题意得：，化简整理得：，得，∵x，y为非负整数，∴，，，∴购买方案为：方案1：购买了A种奖品0个，B种奖品8个；方案2：购买了A种奖品5个，B种奖品5个；方案3：购买了A种奖品10个，B种奖品2个；∵两种奖品都要买，∴方案1不符合题意，舍去，综上可得：有两种购买方案．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为非负整数确定未知数的值是解题关键．2．（2022·河南·郑州外国语中学八年级期末）李老师为学习进步的学生购买奖品，共用去42元购买单价为6元的和单价为12元的两种笔记本（购买本数均为正整数）．你认为购买方案共有（

）种．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】设购买笔记本本，购买笔记本本，先建立二元一次方程，再根据均为正整数进行分析即可得．【详解】解：设购买笔记本本，购买笔记本本，由题意得：，即，因为均为正整数，所以有以下三种购买方案：①当，时，，②当，时，，③当，时，，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．3．（2022·黑龙江·云山农场中心学校九年级期末）某宾馆准备正好用200元购买价格分别为50元和25元的两种换气扇（两种都要买），则可供宾馆选择的方案有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】A【解析】【分析】设购买50元和25元的两种换气扇的数量分别为x，y，然后根据用200元购买价格分别为50元和25元的两种换气扇，列出方程求解即可．【详解】解：设购买50元和25元的两种换气扇的数量分别为x，y由题意得：，即，∵x、y都是正整数，∴当x=1时，y=6，当x=2时，y=4，当x=3时，y=2，∴一共有3种方案，故选A．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程求解．4．（2022·江苏·七年级专题练习）把一根20m长的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中2m长的钢管有a根，则a的值可能有（

）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B【解析】【分析】设3m长的钢管有b根，根据钢管的总长度为20m，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出结论．【详解】设2m长的钢管有a根，3m长的钢管有b根，∵钢管长20m，且没有余料，∴2a+3b=20，∴b=，∵a，b均为正整数，∴，，，∴a的值可能有1、4、7，共3种，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．5．（2021·黑龙江·讷河市教师进修学校七年级期末）“母亲节”促销活动中，小明的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小明妈妈选择的购买方案有（

）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种【答案】A【解析】【分析】设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，根据总费用是1000元列出方程，求得正整数x、y的值即可．【详解】解：设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，依题意得:80x+120y＝1000，整理，得，因为x是正整数，所以当x＝2时，y＝7，当x＝5时，y＝5，当x＝8时，y＝3，当x＝11时，y＝1，即有4种购买方案．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，列出二元一次方程，然后根据未知数的实际意义求其整数解．6．（2021·重庆市第七中学校八年级开学考试）假期到了，15名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（）A．4种 B．3种 C．2种 D．1种【答案】B【解析】【分析】设住3人间的需要x间，住2人间的需要y间，根据总人数是15人，列出不定方程，解答即可．【详解】解：设住3人间的需要有x间，住2人间的需要有y间，3x+2y＝15，因为，2y是偶数，15是奇数，所以，3x只能是奇数，即x必须是奇数，当x＝1时，y＝6，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝0，综合以上得知，第一种是：1间住3人的，6间住2人的，第二种是：3间住3人的，3间住2人的，第三种是：5间住3人的，0间住2人的，所以有3种不同的安排．故选B．【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解决本题的关键是要熟练掌握二元一次方程的应用.7．（2021·广西玉林·七年级期末）假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】A【解析】【分析】设住3人间的需要x间，住2人间的需要y间，根据总人数是17人，列出不定方程，解答即可．【详解】解：设住3人间的需要有x间，住2人间的需要有y间，3x+2y＝17，因为，2y是偶数，17是奇数，所以，3x只能是奇数，即x必须是奇数，当x＝1时，y＝7，当x＝3时，y＝4，当x＝5时，y＝1，综合以上得知，第一种是：1间住3人的，7间住2人的，第二种是：3间住3人的，4间住2人的，第三种是：5间住3人的，1间住2人的，所以有3种不同的安排．故选A．【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解决本题的关键是要熟练掌握二元一次方程的应用.8．（2021·黑龙江铁锋·七年级期末）“6.18”促销活动中，李明计划用50元钱在京东商城购买价格分别为4元和6元的两种商品则在钱全部用完的前提下，可供李明选择的购买方案有（

）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种【答案】A【解析】【分析】设购买4元的商品数量为，购买6元的商品数量为，根据总费用是50元列出方程，求得非负整数、的值即可．【详解】解：设购买4元的商品数量为，购买6元的商品数量为，由题意可得：，整理，得：，因为，均为非负整数，所以当时，．当时，．当时，．当时，．即有4种购买方案．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用．对于此类问题，挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．然后根据未知数的实际意义求其符合题意的解是关键．9．（2021·黑龙江依安·七年级期末）2021年6月，某校开展了“别让爱缺席”关爱留守儿童活动，需要给予物质关爱，李老师给班长30元钱去买笔记本做为慰问品．已知甲种笔记本每本5元，乙种笔记本每本3元，要保证钱全部花完，那么购买奖品的方案（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】A【解析】【分析】设购买甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可得出购买方案的个数．【详解】解：设购买甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，依题意得：5x+3y＝30，∴y＝10﹣x．又∵x，y均为非负整数，∴或或，∴共有3种购买方案．故选：A．【点睛】此题考查了二元一次方程的求解，理解题意列出二元一次方程是解题的关键．10．（2021·河北宽城·七年级期末）要把一张面值20元的人民币换成零钱，现有足够的面值为1元、5元人民币，那么共有（）A．2种换法 B．3种换法 C．4种换法 D．5种换法【答案】D【解析】【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程，然后根据x、y是非负整数，即可解答本题．【详解】解：设1元的x张，5元的y张，则x+5y＝20，解得：，，，，，故有5种方法，故选：D．【点睛】本题考查解二元一次方程的应用，解题的关键是明确二元一次方程的解法，注意x、y是非负数．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021·山东枣庄·三模）学校计划用200元钱购买A，B两种奖品，A奖品每个15元，B奖品每个25元，两种都要买且钱全部用完，则购买方案有___种．【答案】2【解析】【分析】设两种奖品分别购买x个、y个，根据单价、数量及总价之间关系列方程，求出y与x间关系式，由x和y均为正整数判断出x所有可能的取值，即可求出答案．【详解】解：设购买A奖品x个，B奖品y个．根据题意可知：化简得：解得由题意x和y均为正整数，因此x只可以为5或10解得或综上，共有2种购买方案．故答案为：2【点睛】本题考察二元一次方程的应用，根据题意求出y与x间关系式，由x和y均为正整数判断出x所有可能的取值是解题关键，期间要避免漏解的情况发生．12．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某班组织20名同学去春游，同时租用A、B两种型号的车辆，A种车每辆有8个座位，B种车每辆有4个座位，要求租用的车辆不留空座，也不能超载，那么可以租用______辆A种车．【答案】1或2##2或1【解析】【分析】设租用型车辆，型车辆，再列方程再求解方程的正整数解即可.【详解】解：设租用型车辆，型车辆，则由题意得：为正整数，或所以租用型车1辆或2辆，故答案为：1或2【点睛】本题考查的是二元一次方程的正整数解的应用，掌握“利用二次元一次方程的正整数解确定方案”是解本题的关键.13．（2021·江西萍乡·八年级期末）将一张面值50元的人民币，兑换成5元或10元的零钱，两种人民币都要有，那么共有_____种兑换方案．【答案】4【解析】【分析】设兑换成面值5元的人民币x张，面值10元的人民币y张，根据兑换成零钱的总价值为50元，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有4种兑换方案．【详解】设兑换成面值5元的人民币x张，面值10元的人民币y张，依题意得：5x+10y＝50，∴x＝10﹣2y．又∵x，y均为正整数，∴或或或，∴共有4种兑换方案．故答案为：4．【点睛】本题考查了列二元一次方程组，利用二元一次方程组的解进行方案设计的方法，优化方案问题先要列举出所有可能的方案，再按题目要求分别求出每种方案的具体结果．14．（2021·北京市第八十中学管庄分校七年级期中）现有20吨货物，要租用货车运走．汽车公司有两种货车，大货车每车可以装7吨货物，运一次要600元，小货车每车可以装4吨，运一次要400元．要使货物全部运走，至少需要运费___元．【答案】1800【解析】【分析】设需要大货车为x次，需要小货车为y次，根据题意列出方程，求出的范围，分三种情况进行讨论，分别求解每种情况所需运费，即可求解．【详解】解：设需要大货车为x次，需要小货车为y次，由题意可得∵都为非负的整数∴当时，，需要小货车运送0次，费用为（元）当时，，需要小货车运送2次，费用为（元）当时，，需要小货车运送4次，费用为（元）当时，，需要小货车运送5次，费用为（元）∵∴最低费用为1800元故答案为：1800【点睛】此题考查了方案的选择问题，解题的关键是理解题意，正确求出每种情况下的费用．15．（2021·江西石城·七年级期末）把一根长为7m的钢管截断，从中得到两种不同规格的钢管，已知两种规格的钢管长分别为2m和1m，为了不造成浪费，不同的截法有______种．【答案】3【解析】【分析】设可以截成x根2m长的钢管和y根1m长的钢管，根据题意列出方程，然后找到方程的整数解即可．【详解】解：设可以截成x根2m长的钢管和y根1m长的钢管，依题意，得：2x+y＝7，∴y＝7﹣2x．∵x，y均为正整数，∴当x＝1时，y＝5；当x＝2时，y＝3；当x＝3时，y＝1，∴共有3种不同的截法，截法1：截成1根2m长的钢管和5根1m长的钢管；截法2：截成2根2m长的钢管和3根1m长的钢管；截法3：截成3根2m长的钢管和1根1m长的钢管，故答案为：3【点睛】本题主要考查二元一次方程，掌握二元一次方程的解是关键．16．（2021·浙江仙居·七年级期末）某班用700元钱购买足球和篮球共11个，其中篮球单价为50元/个，足球单价为80元/个，若设购买篮球x个，足球y个，则可列方程组为________．【答案】【解析】【分析】根据“用700元钱购买足球和篮球共11个，其中篮球单价为50元/个，足球单价为80元/个”，找到等量关系列出方程即可．【详解】解：设购买篮球x个，购买足球y个，根据“足球和篮球共11个”可x＋y＝11；根据“两种球共花费了700元”可得买篮球的钱数＋买足球的钱数＝700，即50x＋80y＝700，因此可得方程组：，故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是能够找到题目中的等量关系，难度不大．17．（2021·贵州德江·七年级期中）去年疫情期间，小明要用16元钱买、两种型号的口罩，要求两种型号的口罩都必须买，且16元钱全部用完，若型口罩每个3元，型口罩每个2元，则小明的购买方案有______种．【答案】2【解析】【分析】设可以购买x个型口罩，y个型口罩，根据总价=单价×数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，结合均为正整数，即可得出购买方案的数量．【详解】解：设可以购买x个型口罩，y个型口罩依题意，得：，，又均为正整数，小明的购买方案有2种，故答案为：2．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题关键．18．（2021·黑龙江抚远·七年级期末）由于疫情，小明为了更好地居家学习，计划购买笔记本和笔两种学习用品（两种都买），共花费20元，每本笔记本3元，每支笔2元，则有___种购买方案．【答案】3．【解析】【分析】设购买笔记本x件，笔y支，列二元一次方程，求方程的正整数解即可．【详解】设购买笔记本x件，笔y支，根据题意得，3x+2y＝20，∴y＝10﹣x．又∵x，y均为正整数，∴或或，∴小明有3种购买方案．故答案为：3．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意列出方程求得正整数解是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022·河南·郑州一中国际航空港实验学校八年级期末）为预防新冠肺炎病毒，市面上KN95等防护型口罩出现热销．已知3个A型口罩和4个B型口罩共需47元；2个A型口罩和3个B型口罩共需34元．(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？(2)小红打算用160元（全部用完）购买A型，B型两种口罩（要求两种型号的口罩均购买），正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中A型口罩售价上涨40%，B型口罩按原价出售，则小红有多少种不同的购买方案？请设计出来．【答案】(1)一个A型口罩的售价为5元，一个B型口罩的售价为8元；(2)小红有2种不同的购买方案，方案1：购买8个A型口罩，13个B型口罩；方案2：购买16个A型口罩，4个B型口罩【解析】【分析】（1）设一个A型口罩的售价为x元，一个B型口罩的售价为y元，根据“3个A型口罩和4个B型口罩共需47元；2个A型口罩和3个B型口罩共需34元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设可以购买m个A型口罩和n个B型口罩，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．(1)设一个A型口罩的售价为x元，一个B型口罩的售价为y元，依题意，得：，解得：，答：一个A型口罩的售价为5元，一个B型口罩的售价为8元；(2)设可以购买m个A型口罩和n个B型口罩，依题意，得：5(1+40%)m+8n=160，∴，又∵，均为正整数，∴或，∴小红有2种不同的购买方案，方案1：购买8个A型口罩，13个B型口罩；方案2：购买16个A型口罩，4个B型口罩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．20．（2021·上海市进才中学北校期末）某学校六年级甲、乙两个班共82人去某游乐园春游，其中甲班比乙班人多，且甲班不到80人，下面是游乐园提供的价格表：购票张数1—40张41—80张80张以上每张票的价格60元55元50元如果两个班以班级为单位，单独给每位同学购买一张门票，那么一共应付4690元，问：(1)甲、乙两班各有多少名同学？(2)现甲班有8人不能参加春游，请你通过计算为两个班级设计一个最省钱的购票方案．【答案】(1)（1）甲班有46名同学、乙班有36名同学(2)甲、乙两班联合购买80张门票【解析】【分析】（1）甲班有x名学生准备参加春游、乙班有y名学生准备参加春游，根据题意可知，，即可列出方程组，解出x，y，即得出答案．（2）分别计算出①甲、乙两班联合买门票、②甲、乙两班分别独自买票和③甲、乙两班联合购买80张门票的价钱，在比较即得出答案．(1)设甲班有x名学生准备参加春游、乙班有y名学生准备参加春游，∵甲、乙两个班共82人，且甲班比乙班人多∴，，∴可列方程组：，②①得，，解得：，把代入①得，解得：，故甲班有46名同学、乙班有36名同学．(2)甲班有8人不能参加春游，甲班有人参加春游，若甲、乙两班联合买门票，则需要（元），若甲、乙两班分别独自买票，则需要（元）若甲、乙两班联合购买80张门票，只需（元），故最省钱的购买方案是甲、乙两班联合购买80张门票．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．特别注意（2）不需要特意购买与参加人数相同的票数．21．（2022·四川省成都市石室联合中学八年级期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出m，n的值；(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)一辆A型车装满货物可运货3吨，一辆B型车装满货物可运货4吨；(2)物流公司共有以下三种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B型车4辆；方案三：租A型车9辆，B型车1辆．(3)方案一：租A型车1辆，B型车7辆，最省钱，最少租车费为940元．【解析】【分析】（1）设一辆A型车装满货物可运货x吨，一辆B型车装满货物可运货y吨，由题意：用两辆A型车和一辆B型车装满货物一次可运货10吨；用一辆A型车和两辆B型车装满货物一次可运货11吨．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）由题意：某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．列出二元一次方程，求出正整数解即可．（3）分别计算三种方案的费用，比较大小即可．(1)设一辆A型车装满货物可运货x吨，一辆B型车装满货物可运货y吨，根据题意，得：，解得：，答：一辆A型车装满货物可运货3吨，一辆B型车装满货物可运货4吨；(2)由题意得：3m+4n=31，∵m、n均为正整数，∴或或，∴该物流公司共有以下三种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B型车4辆；方案三：租A型车9辆，B型车1辆．(3)方案一费用：100×1+120×7=940（元），方案二费用：100×5+120×4=980（元），方案三费用：100×9+120×1=1020（元），∵940＜980＜1020，∴方案一：租A型车1辆，B型车7辆，最省钱，最少租车费为940元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．22．（2021·广西玉林·九年级期末）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货14吨．某物流公司现有45吨货物，计划租用型车辆，型车辆（一种或两种车型都可），一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)若型车每辆需租金110元次，型车每辆需租金150元次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货4吨，1辆型车载满货物一次可运货5吨(2)最省钱的租车方案为：租用10辆型车，1辆型车，最少租车费为1250元【解析】【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货13吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货14吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据“一次性运45吨货物，且恰好每辆车都载满货物”，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出各租车方案，再求出选择各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．(1)设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨，依题意得：，解得：．答：1辆A型车载满货物一次可运货4吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨；(2)依题意得：，．又，均为自然数，或或，共有3种租车方案，方案1：租用9辆B型车，所需总租金为（元；方案2：租用5辆A型车，5辆B型车，所需总租金为（元；方案3：租用10辆A型车，1辆B型车，所需总租金为（元．，最省钱的租车方案为：租用10辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1250元．【点睛】此题主要考查二元一次方程组的实际应用和二元一次方程有整数解的实际意义．在解与实际问题有关的二元一次方程组时，要结合未知数的实际意义求解．23．（2022·山东天桥·八年级期末）某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买A、B两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买A种6件、B种1件，共需100元；若购买A种