专题10一元一次不等式(组)的解法技巧(原卷版+解析)

七年级数学下册解法技巧思维培优专题10一元一次不等式(组)的解法技巧题型一通常型一元一次不等式组【典例1】（2019•葫芦岛）不等式组3x＜2x+2x+1A． B． C． D．【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【典例2】（2019•英德市期末）不等式组x−1＞2x+3≥1的解集是__________【点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【典例3】（2019•成华区期中）解不等式（组）：（1）19﹣3（x+7）≤0（2）2(x+3)−4＞3x【点拨】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【典例4】（2019•毕节地区）解不等式组x−4≤3【点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，找出其公共解集内x的整数解即可．题型二连写型一元一次不等式组【典例5】（2019•成都校级月考）满足不等式−1＜1−2xA．5 B．4 C．3 D．无数个【点拨】首先解不等式组，求得不等式组的解集，即可确定整数解．【典例6】（2019•启东市校级月考）求不等式1≤3x﹣7＜5的整数解．【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【典例7】（2019•衡阳县校级期中）代数式1﹣k的值大于﹣1而又不大于3，则k的取值范围是（）A．﹣1＜k≤3 B．﹣3≤k＜1 C．﹣2≤k＜2 D．﹣2＜k≤2【点拨】根据题意可得关于k的一元一次不等式组，解即可．题型三分式型一元一次不等式组【典例8】（2019•淮安校级月考）自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：x−2x+1＞0，根据有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．据此可知不等式x−2x+1＞0，可变成x−2＞0x+1＞0或x−2＜0x+1＜0，再解这两个不等式组，得（1）不等式2x+3x−1＜0，可变成不等式组__2x+3＜0x−1＞0__或__（2）解分式不等式2x−34+x【点拨】（1）根据两数相除，同号得正，异号得负得出即可；（2）先求出每个不等式组的解集，即可得出答案．【典例9】解下列分式不等式：（1）x−32x+4（2）x+43x−6【点拨】（1）（2）把分式不等式转化为不等式组即可解决问题；题型四绝对值型一元一次不等式组【典例10】（2019•吉州区期末）请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程：因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小大于﹣3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3．解答下面的问题：（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为________________；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为____________________．（2）解不等式|x﹣2|＜4；（3）解不等式|x﹣5|＞7．【点拨】（1）由于|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3，|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3，根据它们即可确定|x|＜a（a＞0）和|x|＞a（a＞0）的解集；（2）把x﹣2当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出x﹣2的取值范围，然后就可以求出x的取值范围；（3）利用和（2）同样方法即可求出不等式的解集．【典例11】解下列含绝对值的不等式．（1）|2x﹣1|＜3（2）|（3）3|1−3x|−1【点拨】根据绝对值的性质确定不等式组再求解．巩固练习1．（2019•慈利县期末）不等式组x−1＜1x+1≥0A． B． C． D．2．（2019•大兴区期末）对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[x+23]＝﹣5，则整数x的取值是__________________________3．（2019•新昌县期末）解下列不等式（组）（1）2x﹣1＞x﹣3（2）3(x+2)＞4x+24．（2019•宜兴市校级期末）解不等式组x−2(x−1)≤3①2x+55．（2019•河南二模）不等式组2x−3≤44−3xA．5 B．4 C．3 D．无数6．（2019•邻水县期末）是否存在整数k，使方程组2x+y=kx−y=1的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k7．（2019•河池二模）若不等式组x−2＜3x−6x＜m无解，则mA．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤28．（2019•龙湖区期末）求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①2x−1＞0x+3＞0或②2x−1＜0解①得x＞12；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞1请你仿照上述方法解决下列问题：求不等式（2x﹣3）（5﹣x）≤0的解集．9．（2019•成都校级月考）例：解分式不等式2xx+1解：当x+1＞0时，去分母得2x＞x+1；当x+1＜0时，去分母得2x＜x+1∴x+1＞02x＞x+1或x+1＜0分别解不等式组得：x＞1或x＜﹣1所以原不等式的解集为：x＞1或x＜﹣1根据以上材料，解决下面问题：（1）请你写出一个分式不等式；（2）解分式不等式3x+2x−3（3）解分式不等式−2x10．（2019•怀柔区期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们定义这个不等式为绝对值不等式．小明在课外小组活动时探究发现：①|x|＞a（a＞0）的解集是x＞a或x＜﹣a；②|x|＜a（a＞0）的解集是﹣a＜x＜a．根据小明的发现，解决下列问题：（1）请直接写出下列绝对值不等式的解集：①|x|＞3的解集是____________________；②|x|＜43的解集是__−（2）求绝对值不等式2|x﹣1|+1＞9的解集．七年级数学下册解法技巧思维培优专题10一元一次不等式(组)的解法技巧题型一通常型一元一次不等式组【典例1】（2019•葫芦岛）不等式组3x＜2x+2x+1A． B． C． D．【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解析】解：解不等式3x＜2x+2，得：x＜2，解不等式x+13−x≤1，得：则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选：A．【典例2】（2019•英德市期末）不等式组x−1＞2x+3≥1的解集是x＞3【点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解析】解：x−1＞2①x+3≥1②由①得，x＞3，由②得，x≥﹣2，故此不等式组的解集为：x＞3．故答案为：x＞3【典例3】（2019•成华区期中）解不等式（组）：（1）19﹣3（x+7）≤0（2）2(x+3)−4＞3x【点拨】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解析】解：（1）19﹣3（x+7）≤0，19﹣3x﹣21≤0，﹣3x≤21﹣19，﹣3x≤2，x≥−2（2）∵解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x＞﹣4，∴不等式组的解集是﹣4＜x＜2．【典例4】（2019•毕节地区）解不等式组x−4≤3【点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，找出其公共解集内x的整数解即可．【解析】解：由①得，x≥−5由②得，x＜3，故此不等式组的解集为：−54在数轴上表示为：此不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2．故答案为：﹣1，0，1，2．题型二连写型一元一次不等式组【典例5】（2019•成都校级月考）满足不等式−1＜1−2xA．5 B．4 C．3 D．无数个【点拨】首先解不等式组，求得不等式组的解集，即可确定整数解．【解析】解：不等式−1＜1−2x即1−2x3解得：−52则不等式组的整数解是：﹣2，﹣1，0，1共有4个．故选：B．【典例6】（2019•启东市校级月考）求不等式1≤3x﹣7＜5的整数解．【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解析】解：解不等式3x﹣7≥1，得：x≥8解不等式3x﹣7≤5，得：x≤4，则不等式组的解集为83≤∴该不等式组的整数解有3、4．【典例7】（2019•衡阳县校级期中）代数式1﹣k的值大于﹣1而又不大于3，则k的取值范围是（）A．﹣1＜k≤3 B．﹣3≤k＜1 C．﹣2≤k＜2 D．﹣2＜k≤2【点拨】根据题意可得关于k的一元一次不等式组，解即可．【解析】解：根据题意得1−k＞−11−k≤3解得k＜2k≥−2∴﹣2≤k＜2．故选：C．题型三分式型一元一次不等式组【典例8】（2019•淮安校级月考）自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：x−2x+1＞0，根据有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．据此可知不等式x−2x+1＞0，可变成x−2＞0x+1＞0或x−2＜0x+1＜0，再解这两个不等式组，得（1）不等式2x+3x−1＜0，可变成不等式组2x+3＜0x−1＞0或（2）解分式不等式2x−34+x【点拨】（1）根据两数相除，同号得正，异号得负得出即可；（2）先求出每个不等式组的解集，即可得出答案．【解析】解：（1）不等式2x+3x−1＜0，可变成不等式组2x+3＜0x−1＞0故答案为：成不等式组2x+3＜0x−1＞0，2x+3＞0（2）解2x+3＜0x−1＞0解2x+3＞0x−1＜0得：−3所以不等式2x−34+x＜0的解集是−【典例9】解下列分式不等式：（1）x−32x+4（2）x+43x−6【点拨】（1）（2）把分式不等式转化为不等式组即可解决问题；【解析】解：（1）原不等式可转化为：①x−3≥02x+4＜0或②解①得无解，解②得﹣2＜x≤3所以原不等式的解集是﹣2＜x≤3（2）原不等式可转化为：①x+4＞03x−6＞0或②解①得x＞2，解②得x＜﹣4所以原不等式的解集是x＜﹣4或x＞2．题型四绝对值型一元一次不等式组【典例10】（2019•吉州区期末）请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程：因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小大于﹣3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3．解答下面的问题：（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为﹣a＜x＜a；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为x＞a或x＜﹣a．（2）解不等式|x﹣2|＜4；（3）解不等式|x﹣5|＞7．【点拨】（1）由于|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3，|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3，根据它们即可确定|x|＜a（a＞0）和|x|＞a（a＞0）的解集；（2）把x﹣2当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出x﹣2的取值范围，然后就可以求出x的取值范围；（3）利用和（2）同样方法即可求出不等式的解集．【解析】解：（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为﹣a＜x＜a，不等式|x|＞a（a＞0）的解集为x＞a或x＜﹣a，故答案为：﹣a＜x＜a，x＞a或x＜﹣a；（2）|x﹣2|＜4，∴﹣4＜x﹣2＜4，则﹣2＜x＜6；（3）∵|x﹣5|＞7，∴x﹣5＜﹣7或x﹣5＞7，解得：x＜﹣2或x＞12【典例11】解下列含绝对值的不等式．（1）|2x﹣1|＜3（2）|（3）3|1−3x|−1【点拨】根据绝对值的性质确定不等式组再求解．【解析】解：（1）因为|2x﹣1|＜3，所以﹣3＜2x﹣1＜3，解得﹣1＜x＜2．故绝对值不等式|2x﹣1|＜3的解集为：﹣1＜x＜2；（2）因为|2x−1所以2x−13≥4或解得不等式解集为x≤−112或故绝对值不等式|2x−13|≥4的解集为：x≤−（3）由3|1−3x|−14＜2，得|1﹣3所以﹣3＜1﹣3x＜3，解得不等式解集为−2故绝对值不等式3|1−3x|−14＜2的解集为：巩固练习1．（2019•慈利县期末）不等式组x−1＜1x+1≥0A． B． C． D．【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．【解析】解：解不等式x﹣1＜1，得：x＜2，解不等式x+1≥0，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选：A．2．（2019•大兴区期末）对于有理数m，我们规定[m]表示不大于m的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[x+23]＝﹣5，则整数x的取值是﹣17，﹣16，﹣15【点拨】根据题意得出﹣5≤x+23＜−【解析】解：∵[m]表示不大于m的最大整数，∴﹣5≤x+2解得：﹣17≤x＜﹣14，∴整数x为﹣17，﹣16，﹣15，故答案为﹣17，﹣16，﹣15．3．（2019•新昌县期末）解下列不等式（组）（1）2x﹣1＞x﹣3（2）3(x+2)＞4x+2【点拨】（1）移项，合并同类项即可；（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解析】解：（1）2x﹣1＞x﹣3，2x﹣x＞﹣3+1，x＞﹣2；（2）3(x+2)＞4x+2①∵解不等式①得：x＜4，解不等式②得：x≥﹣6，∴原不等式组的解是﹣6≤x＜4．4．（2019•宜兴市校级期末）解不等式组x−2(x−1)≤3①2x+5【点拨】首先分别解不等式组中的每一个不等式，然后利用数轴得到不等式组的解集，即可求出最小整数解．【解析】解：由①得x≥﹣1，由②得x＜5，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜5，解集在数轴上表示为，x的最小整数解为x＝﹣1．5．（2019•河南二模）不等式组2x−3≤44−3xA．5 B．4 C．3 D．无数【点拨】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定不等式组的解集，进而求出非负整数解个数即可．【解析】解：2x−3≤4①由①得：x≤由②得：x＞﹣2∴不等式组的解集为﹣2＜x≤∴非负整数解为x＝0，1，2，3，共4个故选：B．6．（2019•邻水县期末）是否存在整数k，使方程组2x+y=kx−y=1的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k【点拨】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于k的式子，然后解出k的范围，即可知道k的取值．【解析】解：解方程组2x+y=kx−y=1得∵x大于1，y不大于1从而得不等式组k+13解之得2＜k≤5又∵k为整数∴k只能取3，4，5答：当k为3，4，5时，方程组2x+y=kx−y=1的解中，x大于1，y7．（2019•河池二模）若不等式组x−2＜3x−6x＜m无解，则mA．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2【点拨】求出两个不等式的解集，根据已知得出m≤2，即可得出选项．【解析】解：x−2＜3x−6①x＜m②∵解不等式①得：x＞2，不等式②的解集是x＜m，又∵不等式组x−2＜3x−6x＜m∴m≤2，故选：D．8．（2019•龙湖区期末）求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①2x−1＞0x+3＞0或②2x−1＜0解①得x＞12；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞1请你仿照上述方法解决下列问题：求不等式（2x﹣3）（5﹣x）≤0的解集．【点拨】先根据异号两数相乘，积为负得出两个不等式组，再求出不等式组的解集即可．【解析】解：根据“异号两数相乘，积为负”可得：①2x−3≥05−x≤0或②2x−3≤0解不等式组①得x≥5，解不等式组②得x≤3∴原不等式的解集为：x≥5或x≤39．（2019•成都校级月考）例：解分式不等式2xx+1解：当x+1＞0时，去分母得2x＞x+1；当x+1＜0时，去分母得2x＜x+1∴x+1＞02x＞x+1或x+1＜0分别解不等式组得：x＞1或x＜﹣1所以原不等式的解集为：x＞1或x＜﹣1根据以上材料，解决下面问题：（1）请你写出一个分式不等式；（2）解分式不等式3x