专题1.6线段与角的计算十二大核心考点-2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍

20222023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题1.6线段的计算十二大核心考点精讲精练【目标导航】【知识梳理】1.直线、射线、线段的认识（1）直线、射线、线段的表示方法

①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．

②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．

③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．

（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．2.直线与线段的性质（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．

简称：两点确定一条直线．

（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．（3）线段性质两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．

简单说成：两点之间，线段最短．3.线段的比较与计算：（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD．（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．（3）线段的和、差、倍、分及计算做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．（4）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．4.角的概念：（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．（5）角的单位的换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．5.角的比较与计算：（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=12∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC（3）角的和差倍分计算：①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB6.余角与补角：（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．【典例剖析】【考点1】直线、射线、线段的认识【例1】（2019秋•开远市期末）如图，在平面内有A，B，C三点．（1）画直线AC，线段BC，射线AB；（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD；（3）数数看，此时图中线段的条数．【分析】（1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线AC，线段BC，射线AB；（2）依据在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD即可；（3）根据图中的线段为AB，AC，AD，BD，CD，BC，即可得到图中线段的条数．【解析】（1）如图，直线AC，线段BC，射线AB即为所求；（2）如图，线段AD即为所求；（3）由题可得，图中线段的条数为6．【变式1.1】（2022·山东·聊城市茌平区实验中学七年级阶段练习）如图，观察图形，下列说法正确的有（

）个①直线AB和直线BA是同一条直线，②射线AC和射线AD是同一条射线，③AB+BD>A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据直线的表示方法对①进行判断；根据射线的表示方法对②进行判断；根据线段的性质对③进行判断；通过分类讨论对④进行判断．【详解】解：①直线AB和直线BA是同一条直线，直线没有端点，此说法正确；②射线AC和射线AD是同一条射线，都是以A为端点，同一方向的射线，正确；③AB+④三条直线两两相交时，一定有三个交点，错误，可能有1个交点的情况．所以共有3个正确．故选：C．【点睛】本题考查了直线、射线、线段相关知识，掌握线段、射线、直线的表示方法是解题的关键．【变式1.2】（2022·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是(

)A．直线AB与直线BA不是同一条直线 B．射线AB与射线BA是同一条射线C．延长线段AB和延长线段BA的含义一样 D．线段AB与线段BA是同一条线段【答案】D【分析】根据直线、射线、线段的意义和表示方法进行判断即可．【详解】解：A．直线AB与直线BA是同一条直线，因此A不正确，故A不符合题意；B．射线AB与射线BA不是同一条射线，因此B不正确，故B不符合题意；C．延长线段AB和延长线段BA的含义不一样，因此C不正确，故C不符合题意；D．线段AB与线段BA是同一条线段，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查直线、射线、线段的意义，理解直线、射线、线段的意义是正确判断的前提．【变式1.3】（2022·浙江·七年级专题练习）下列说法：①射线AB与射线BA是同一条射线；②线段AB是直线AB的一部分；③延长线段AB到C，使AB=AC；④射线AB与射线BA的公共部分是线段AB．正确的个数是（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法进行判断即可．【详解】①射线AB与射线BA不是同一条射线；故①错误；②线段AB是直线AB的一部分；故②正确；③延长线段AB到C，则AC>AB；故③错误；④射线AB与射线BA的公共部分是线段AB；故④正确；综上：正确的有②④，共两个；故选：B．【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的定义和表示方法，熟练地掌握相关知识是解题的关键．注意射线是有方向的．【考点2】直线、线段的性质【例2】（2019秋•曹县校级期末模拟）如图，在直线a上求一点O，使它到点M、N的距离最小．【分析】要使OM+ON的值最小，只需M、N、O三点共线即可．【解析】∵两点之间线段最短，∴所求的点与M、N两点同线时，它到点M、N的距离最小，∴连接MN．MN与a的交点O即为所求．【变式2.1】（2022·陕西·西安市铁一中学七年级期中）下列说法正确的个数是（

）①连接两点之间的线段叫两点间的距离；②线段AB和线段BA表示同一条线段；③木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，线段最短；④若AB=2CB，则点C是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据直线的性质，两点的距离的概念，线段中点的概念判断即可．【详解】解：连接两点之间的线段的长叫两点间的距离，故①不符合题意；线段AB和线段BA表示同一条线段，正确，故②符合题意；木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点确定一条直线，故③不符合题意；若AB=2CB，点C可能在AB外，则点C不一定是AB的中点，故故选：A．【点睛】本题考查了直线的性质，两点的距离的概念，线段中点的概念，正确理解定义是解题的关键．【变式2.2】（2022·河南省实验中学七年级期中）下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．其中不可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（

）A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】A【分析】①④根据“两点确定一条直线”解释，②③根据“两点之间，线段最短”解释．【详解】解：①属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意；②两点之间，线段最短，减少了距离，符合题意；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是两点之间，线段最短，符合题意；④属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了线段和直线的性质．解题的关键是掌握两点之间，线段最短；两点确定一条直线．【变式2.3】（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期中）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（

）A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短C．两点确定一条直线 D．两点之间的线段的长度叫做两点间的距离【答案】C【分析】由直线公理可以直接得出答案．【详解】这样做的依据是：两点确定一条直线．故选C【点睛】本题考查直线公理，对公理的理解是解题的关键．【考点3】线段的中点及计算问题【例3】（2019秋•杭州期末）如图，将线段AB延长至点C，使BC=12AB，D为线段AC的中点，若BD＝2，则线段A．4 B．6 C．8 D．12【分析】首先根据BC=12AB，可得：BC=13AC；然后根据：D为线段AC的中点，可得：CD=12AC，所以BD=16AC，再根据【解析】∵BC=12∴BC=13∵D为线段AC的中点，∴CD=12∴BD=16∵BD＝2，∴AC＝2×6＝12，∴AB＝AD+BD=12AC+BD=12故选：C．【变式3.1】（2022·河南省实验中学七年级期中）点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的中点．若线段AB=18cm，则线段BD的长为（A．12cm B．15cm C．8cm或10cm D．12【答案】D【分析】根据题意分两种情况作图，由线段之间的关系即可求解．【详解】∵点C是线段AB的三等分点，如图所示，当AC=∴AC∵点D是线段AC的中点∴AD∴BD=如图所示，当AC=∴AC∵点D是线段AC的中点∴AD∴BD=综上所述，线段BD的长为15cm或12故选：D．【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．【变式3.2】（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学七年级期中）如图，数轴上M，N，P，Q四点对应的数都是整数，且M为线段NQ的中点，P为线段NM的中点．若点M对应的整数是a，点N对应的整数是b，且b-2aA．点M B．点N C．点P D．点Q【答案】D【分析】由已知条件可知QN=2QM，因为点M对应的整数是a，点N对应的整数是b，且【详解】解：∵点M为线段NQ的中点，∴QN=2∵点M对应的整数是a，点N对应的整数是b，且b-∴数轴上的原点是Q．故选：D．【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．【变式3.3】（2022·辽宁·沈阳市和平区南昌中学沈北分校七年级阶段练习）如图，AB=12cm，C为AB的中点，点D在线段AC上且AD:CB=1:3，则A．8cm B．10cm C．12cm【答案】B【分析】根据中点的定义求出AC、BC的长，根据题意求出AD【详解】解：∵AB=12cm，C为AB∴AC=∵AD∴AD=2∴DC=∴DB=故选：B．【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想．【考点4】两点间的距离问题【例4】（2019秋•昌平区期末）已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．（1）若AB＝8，AC＝2，求线段CD的长．（2）若点E是线段AC的中点，直接写出线段DE和AB的数量关系是AB＝2DE．【分析】（1）根据点C在直线AB上，分两种情况：①C在点A的右侧，②C在点A的左侧，根据线段的和与差可得结论；（2）AB＝2DE，同（1）分两种情况：根据线段中点的定义可得结论．【解析】（1）如图1，当C在点A右侧时，∵AB＝8，AC＝2，∴BC＝AB﹣AC＝6，∵D是线段BC的中点，∴CD=如图2，当C在点A左侧时，∵AB＝8，AC＝2，∴BC＝AB+AC＝10，∵D是线段BC的中点，∴CD=综上所述，CD＝3或5；（2）AB＝2DE，理由是：如图3，当C在点A右侧时，∵E是AC的中点，D是BC的中点，∴AC＝2EC，BC＝2CD，∴AB＝AC+BC＝2EC+2CD＝2ED；如图4，当C在点A左侧时，同理可得：AB＝BC﹣AC＝2CD﹣2CE＝2（CD﹣CE）＝2DE．【变式4.1】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）已知A，B，C三点共线，线段AB=20cm，BC=12cm，点M，N分别是线段AB，BC的中点，则A．16cm B．16cm或4cm C．4cm D．6cm或12cm【答案】B【分析】分情况讨论，当点C在线段AB的延长线上时，进行计算即可得，当点C在线段AB上时，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，当点C在线段AB的延长线上时，∵AB=20cm，BC∴BM=12AB=10∴MN=BM+如图所示，当点C在线段AB上时，∵AB=20cm，BC∴AM=BM=12∴CM=BC-∴MN=CN-故选：B．【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的表示线段的和差倍分，并分情况讨论．【变式4.2】（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距离为（

）A．13cm B．6cm C．3cm D．1.5cm【答案】C【分析】首先根据题意，结合中点的性质，分别算出AN、AM的长，然后再根据线段之间的数量关系进行计算，即可得出结果．【详解】解：如图，∵AC=16cm又∵AC的中点为N，∴AN=8∵AB=10cm∵AB的中点为M，∴AM=5∴MN=故选：C【点睛】本题考查了中点的性质、线段的和、差关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想解决问题．【变式4.3】（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点D为线段AB的中点，点C为DB的中点，若AB=16，DE=13AEA．7 B．203 C．6 D．【答案】C【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案．【详解】解：∵点D为线段AB的中点，∴AD＝BD＝12AB＝12×16＝∵AD＝AE＋DE，DE＝13AE∴AE＋13AE＝8∴AE＝6，DE＝2，∵点C为DB的中点，∴CD＝12BD＝12×8＝∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，故选：C．【点睛】本题主要考查了一条线上各个线段关系，看清图中线段关系，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．【考点5】角的概念及表示【例5】图中以O点为顶点的角有几个？以D点为顶点小于平角的角有几个？以E点为顶点的角有几个？试用适当的方法来表示这些角．【分析】根据角的概念可直接求解．【解析】图中以O点为顶点的角有：∠EOA，∠EOB，∠EOC，∠AOB，∠AOC，∠BOC，共6条；以D点为顶点小于平角的角有：∠ODE，∠CDF，∠EDC，∠ODF，共4个；以E点为顶点的角有：∠OEF，共1个．【变式5.1】（2022·河南省实验中学七年级期中）如图，下列说法中不正确的是（）A．∠1与∠AOB是同一个角 B．∠α与C．∠AOC可以用∠O来表示 D．图中共有三个角：∠AOB，【答案】C【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时，这个角才可以用一个顶点字母来表示，由此可得结论．【详解】解：A、∠1与∠AOB表示的是同一个角，故AB、∠α与∠COB是同一个角，故C、以O为顶点的角一共有三个，不能用一个顶点字母表示，故C说法错误，符合题意；D、由图可知，图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC故选：C．【点睛】本题主要考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键．【变式5.2】（2021·江苏·南通市北城中学七年级阶段练习）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角的三种表示方法，可得正确答案．【详解】A、因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用∠O表示，故本选项错误；B、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用∠1，∠AOB，∠O表示，故本选项正确；C、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误；D、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了角的概念，熟记角的表示方法是解题关键．在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个大写字母来记这个角．【变式5.3】（2022·安徽·七年级）如下图，下列说法正确的是（

）A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．C．图中共有两个角：∠1，∠β D．∠β【答案】A【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．【详解】解：A．∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项符合题意；B．∠1=∠βC．图中共有三个角：∠1，∠β，∠AOCD．∠β表示∠故选：A．【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，正确表示角是解题的关键．【考点6】度分秒的换算【例6】（2019秋•郸城县校级期末模拟）（1）48°39′+67°31′（2）78°﹣47°34′56″（3）22°16′×5；（4）42°15′÷5．【分析】（1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度；（2）两个度数相减，度与度，分与分，秒与秒对应相加，不够，借1，即60再减；（3）根据度分秒的乘法法则计算即可求解；（4）根据度分秒的除法法则计算即可求解．【解析】（1）48°39′+67°31′＝116°10′；（2）78°﹣47°34′56″＝30°25′4″；（3）22°16′×5＝111°20′；（4）42°15′÷5＝8°27′．【变式6.1】（2022·全国·七年级专题练习）若∠1=25°15'，∠2=25°13'3A．∠3>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠3 C．∠1>∠3>∠2 D．∠1>∠2>∠3【答案】A【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论．【详解】∵∠1=25°15'，∠2=25°13'3∴∠3>∠1>∠2．故选A．【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键．【变式6.2】（2022·全国·七年级专题练习）下列角度换算错误的是（

）A．900″=0.25° B．10.6°=10°36″ C【答案】B【分析】根据度、分、秒是60进制的数，逐项判断即可．【详解】根据1∘=60'，A项，900″÷3600=B项，10.6°=10°36C项，1.5∘×60=90D项，12″÷60=0.2'，1故选：B．【点睛】本题考查了角度的换算．掌握度、分、秒是60进制的数是解答本题的关键．【变式6.3】（2022·全国·七年级单元测试）下列换算中，正确的是（

）A．23°12'3C．18°18'3【答案】B【分析】根据度分秒的进制，进行计算逐一判断即可．【详解】解：A、∵1°=60′，∴0.48°=28.8′，∵1′=60″，∴0.8′=48″，∴23.48°=23°28′48″，故A不符合题意；B、∵1°=60′，∴0.25°=15′，∴22.25°=22°15′，故B符合题意；C、∵1°=60′，∴0.183°=10.98′，∵1′=60″，∴0.98′=58.8″，∴18.183°=18°10′58.8″，故C不符合题意；D、∵1°=60′，∴0.11°=6.6′，∵1′=60″，∴0.6′=36″，∴47.11°=47°6′36″，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．【考点7】角的大小比较【例7】（2019秋•鄞州区期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再比较即可，也可把∠A和∠B的度数化成度，再进行比较．【解析】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25°0.25°＝0.25×60′＝15′，∴∠C＝30°15′，∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∴∠A＞∠B＞∠C．故选：D．【变式7.1】（2022·山东·莘县樱桃园镇中心初级中学七年级阶段练习）在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（）A．∠AOB＞∠AOC B．∠AOB＜∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOC＞∠BOC【答案】A【分析】利用角的大小进行比较．【详解】射线OC在∠AOB的内部，那么∠AOC在∠AOB的内部，且有一公共边；则一定存在∠AOB＞∠AOC．故选：A．【点睛】本题考查角的大小比较，解题关键是利用数形结合思想进行比较．【变式7.2】（2021·四川省成都市七中育才学校七年级期末）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是48°15'，我应该最大!”∠B说：“我是48.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C【答案】B【分析】根据度、分、秒的换算1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．将48°15′，48.3°，48.15°的单位统一，再进行大小的比较．【详解】解：∵∠A＝48°15′＝48°+1560°＝48.25°，∠B＝48.3°，∠C＝∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大．故选：B．【点睛】本题考查了度分秒的单位转化，将三个角单位统一后再进行比较是解题关键．【变式7.3】（2021·全国·七年级专题练习）如图，射线OC、OD分别在∠AOB的内部外部，下列各式中错误的是（

A．∠AOB<∠AODC．∠COD>∠AOD【答案】C【分析】根据所给出的图形，再利用图形中角的和差关系，分别进行解答即可．【详解】解：A、∵OD在∠AOB的外部，∴∠AOB＜∠AOD，正确；B、∵OC在∠AOB的内部，∴∠BOC＜∠AOB，正确；C、∵OC在∠AOD的内部，∴∠COD＜∠AOD，错误；D、∵OC在∠AOD的内部，∴∠AOD＞∠AOC，正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了角的大小比较，比较简单，主要培养了学生的推理能力．【考点8】有关角平分线的计算问题【例8】（2019秋•天心区期末）线段与角的计算．（1）如图1，已知点C为AB上一点，AC＝15cm，CB=23AC，若D、E分别为AC、AB的中点，求（2）已知：如图2，∠AOB被分成∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝90°，求∠AOB的度数．【分析】（1）先根据题意得出BC及AB的长，再根据中点的定义得出AE和AD的长，进而可得出结论；（2）根据题意设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，再根据角平分线的定义以及∠MON＝90°，即可求出∠AOB的度数．【解析】（1）∵AC＝15cm，CB=23∴CB=23×15＝10∴AB＝15+10＝25（cm）．∵D，E分别为AC，AB的中点，∴AE＝BE=12AB＝12.5cm，DC＝AD=12AC∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5（cm）；（2）设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，又∵∠MON＝90°，∴6x＝90°，∴x＝15°，∴∠AOB＝135°．【变式8.1】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且A．126° B．108° C．112° D．106°【答案】B【分析】设∠AOC＝x，则∠COB＝2x，根据角的和差关系，得∠AOB＝∠COB＋∠AOC＝3x，根据角平分线的定义，由OD平分∠AOB，得∠AOD＝12∠AOB＝32x，从而得到∠COD＝∠AOD−∠AOC＝32x−x【详解】解：设∠AOC＝x，则∠COB＝2x.∴∠AOB＝∠COB＋∠AOC＝3x.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝12∠AOB＝32∴∠COD＝∠AOD−∠AOC＝32x−x＝18°∴x＝36°．∴∠AOB＝3x＝108°．故选：B．【点睛】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义是解决本题的关键．【变式8.2】（2022·浙江·七年级专题练习）如图，将一副三角板AOB与COD的直角顶点O重合在一起，若∠AOD=4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，则A．72° B．73° C．75° D．76°【答案】A【分析】先推出∠AOD+∠BOC=180°，结合∠AOD=4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠COE的度数，利用∠DOE=∠COD∠COE即可解答．【详解】解：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOB+∠COD=180°，∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180°，∴∠AOD+∠BOC=180°，∵∠AOD=4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=36°，∵OE为∠BOC的平分线，∴∠COE=12∠BOC=18°∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−18°=72°，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算及数形结合的数学思想，根据图中的数量关系求出∠BOC=36°是解答本题的关键．【变式8.3】（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线，OC1是∠AOC的平分线，OC2是∠AOC1的平分线，OCn是∠A．= B．＜ C．＞ D．无法确定【答案】C【分析】根据角平分线的性质可得∠AOC=12∠AOB=12【详解】∵OC平分∠AOB，∠AOB∴∠AOC∵OC1平分∠AOC，∴∠AO∵OC2平分∠AO∴∠AO依次类推可知：∠AO∴可知∠AO∴∠AO∴2022∠AO∵根据题意可知∠AO∴2022∠AO即有：2021∠AO故选：C．【点睛】本题主要考查了图形规律的探索，依据角平分线的性质推导出∠AO【考点9】方向角问题【例9】（2020春•长葛市期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2km，OB＝3.5km，OP＝4km，点C为OP的中点，回答下列问题：（1）图中到小明家距离相同的是哪些地方？（2）由图可知，公园在小明家东偏南30°方向2km处．请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置．【分析】（1）由点C为OP的中点，可得出OC＝2km，结合OA＝2km，即可得出距小明家距离相同的是学校和公园；（2）观察图形，根据OA，OB，OP的长度及图中各角度，即可得出结论．【解析】（1）因为点C为OP的中点，所以OC＝2km，因为OA＝2km，所以可得出距小明家距离相同的是学校和公园；（2）由图可知，学校在小明家东偏北45°方向2km处，商场在小明家西偏北60°方向3.5km处，停车场在东偏南30°方向4km处．【变式9.1】（2021·贵州毕节·七年级期末）若∠α的补角与∠β的余角相等，则∠αA．90° B．60° C．180° D．270°【答案】A【分析】根据余角与补角的定义求解即可：如果两个角的度数之和为90度，则这两个角互余，如果两个角的度数之和为180度，则这两个角互补．【详解】解：由题意得：180°∠α=90°∠β，∴∠α∠β=180°90°=90°，故选：A．【点睛】本题主要考查了余角与补角，熟知二者的定义是解题的关键．【变式9.2】（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西56°的方向，轮船B位于南偏东17°的方向，求∠AOB的度数．【答案】∠AOB=141°．【分析】先求出56°的余角为34°，然后再加上90°与17°的和即可解答．【详解】解：由题意得：AO与东西方向所夹锐角为：90°56°=34°，∴∠AOB=34°+90°+17°=141°．【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．【变式9.3】（2022·安徽·七年级）如图，射线OA表示的方向是北偏东44°，射线OB表示的方向是北偏东76°，已知图中∠BOC(1)求∠AOB的度数；(2)写出射线OC的方向．【答案】(1)32°(2)北偏西46°【分析】（1）根据方向角的定义，结合图形中角的和差关系得出答案；（2）根据角的和差关系求出∠NOC【详解】（1）解：如图，射线OA表示的方向是北偏东44°，即∠NOA射线OB表示的方向是北偏东76°，即∠NOB∴∠AOB即∠AOB（2）解：∵∠BOC=122°，∴∠NOC=122°-76°，=46°，∴射线OC的方向为北偏西46°．【点睛】本题考查方向角，解题的关键是理解方向角的定义以及角的和差关系．【考点10】基本作图【例10】读下列语句，并画出图形．（每题3分，共12分）（1）任意画A、O两点，作射线OA．（2）点A在直线l上，点B在直线l外．（3）画线段AB＝4cm，并找出它的中点C．（4）直线l与直线AB交于O点．【分析】（1）以O为端点，画射线OA；（2）过点A画直线，点B在直线l外；（3）利用AC＝BC＝2cm即可解决问题；（4）过O点作直线l与直线AB相交．【解析】（1）射线OA就是所求作的射线．（2）（3）（4）【变式10.1】（2022·重庆市璧山区正兴初级中学校七年级期末）如图，点A，B，C，D在同一平面内，利用尺规，按下列要求作图并作答．(1)画射线BC，连接线段BD交线段AC于点E；(2)在射线BC上求作一点F，使BF=2【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据射线、线段的定义画图即可；（2）以点C为圆心，以BC为半径画弧，交BC的延长线于点G，以点G为圆心，以AC为圆心画弧，交线段BG于点F，则点F即为所求的点.【详解】（1）解：如图所示，（2）解：如图所示，点F即为所求.【点睛】本题考查了线段、射线的作图，以及尺规作图线段的和差，理解线段、射线的特征和线段和差的定义是解答本题的关键.【变式10.2】（2022·重庆南开中学七年级开学考试）尺规作图：如图，已知平面上有四个点A，(1)作射线AB，作直线CD与射线AB交于点E；(2)在射线AB上作一点F，使得AF=【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意画出射线AB，直线CD与与射线AB交于点E；（2）在射线AG上截取AG=DE，在线段GA上截取GF=CD【详解】（1）解：如图所示，画出射线AB，直线CD与与射线AB交于点E，（2）解：如图所示，在射线AG上截取AG=DE，在线段GA上截取GF=CD，则AF【点睛】本题考查了画射线，直线，线段，线段的和差，掌握基本作图是解题的关键．【变式10.3】（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图(1)直线CD；(2)画射线AB；(3)连接BC、AD；(4)在平面内找一点O，使点O到A、B、C、D四个点的距离和最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）根据题意，画出直线CD即可；（2）根据题意，画出射线AB即可；（3）根据题意，画出线段BC、ADAB即可；（4）根据两间之间，线段最短，点O即为线段BC、AD的交点，即可．（1）解：如图，直线CD即为所求；（2）解：如图，射线AB即为所求；（3）解：如图，线段BC、AD即为所求；（4）解：如图，接BC、AD交于点O，则点O即为所求．【点睛】本题考查了作图画直线，射线，线段，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法．【考点11】分类讨论及方程思想在线段计算中的应用【例11】已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与A、B重合），点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．（1）如图，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝23m（用含m（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．【分析】（1）根据已知AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定义解答；（2）根据已知AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP；（3）根据题意，画出图形，求得2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系．【解析】（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=∵点C恰好在线段AB中点，∴AC＝BC=12∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CQ+CP=23AC+23BC=23×1故答案为：23m（2）①点C在线段AB上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CQ+CP=23AC+23BC=23×（AC+②点C在线段BA的延长线上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CP﹣CQ=23BC-23AC=23×（BC﹣③点C在线段AB的延长线上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CQ﹣CP=23AC-23BC=23×（AC﹣故PQ是一个常数，即是常数23m（3）如图：∵CQ＝2AQ，∴2AP+CQ﹣2PQ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ＝CQ﹣2AQ＝2AQ﹣2AQ＝0，∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．【变式11.1】（2022·全国·七年级阶段练习）已知多项式(a+10)x3+20x2-5x+3是关于x(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；(2)若数轴上有一点C，使得AC=32BC，点M为(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以56个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE=13G【答案】(1)-10，20，30(2)3或75；(3)252【分析】（1）由题意直接可求解；（2）①当点C在AB之间时，如图1，②当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算AC和AM的长，相减可得结论；（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：-10+t，点H表示的数为：20+56t，根据中点的定义得点D和F表示的数，由EG=13BG【详解】（1）解：由题意知：a+10=0∴a=∴AB的距离为20故答案为：-10，20，30（2）分两种情况：①当点C在AB之间时，如图1，∵AC=32∴AC=18∵M是AB的中点，∴AM=15∴CM=18②当点C在点B的右侧时，如图2，∵AC=32∴AC=90∵AM=15∴CM=90综上，CM的长是3或75；（3）由题意得：点G表示的数为：：-10+t，点H表示的数为：∵t<30，AB∴点G在线段AB之间，∵D为BG的中点，∴点D表示的数为：20+(-10+t)2∵F是DH的中点，∴点F表示的数为：5+1∵BG=20∵EG=∴EG=30-t3∴点E表示的数为：-10+t+10-13∴DE+DF=(5+12【点睛】本题考查多项式和数轴；与中点有关的计算，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据点的运动特点，分情况列出合适的方程，进行求解是关键．【变式11.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)填空：线段的中点这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）(2)（问题解决）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是-20和40，点C是线段AB的巧点，求点C(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间t(【答案】(1)是(2)10或0或20(3)t=152；t=6；t=607【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP,AQ,【详解】（1）∵原线段是中点分成的短线段的2倍，∴线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是；（2）设C点表示的数为x，则AC=根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2x②当BC=2AC时，有40-x③当AC=2BC时，有x+20=2综上，C点表示的数为10或0或20；（3）由题意得AP=2（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点①当AQ=2AP时，60-4t②当PQ=2AP时，60-6t③当AP=2PQ时，2t综上，运动时间t(s)的所有可能值有t=15（ii）、若10<t≤15时，点Q为AP的“巧点①当AP=2AQ时，2t②当PQ=2AQ时，6t③当AQ=2PQ时，60-4t综上，运动时间t(s)的所有可能值有：t=12；故，运动时间t(s)【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．【变式11.3】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．【答案】(1)①12；②1:2(2)9【分析】（1）①先计算BD，PC的长度，再计算AC+PD；②设运动时间为：t秒，则PC=t,（2）依题意得出BD＝3PC，PD＝3AC，再由【详解】（1）①依题意得：PC=1×2=2,∴AC＋故答案为：12；②设运动时间为t秒，则PC∵当点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，∴AP∴AP故答案为：1:2；（2）设运动时间为t秒，则PC=∴BD＝∵PD＝∴PB=∵PB∴3∴AP=【点睛】此题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差，中点的性质，掌握线段之间的数量关系是解题的关键．【考点12】分类讨论及方程思想在角的计算中的应用【例12】（2020春•南岗区期末）已知，在∠AOB内部作射线OC，OD平分∠BOC，∠AOD+∠COD＝120°．（1）如图1，求∠AOB的度数；（2）如图2，在∠AOB的外部和∠BOD的内部分别作射线OE、OF，已知∠COD＝2∠BOF+∠BOE，求证：OF平分∠DOE；（3）如图3，在（2）的条件下，在∠COD内部作射线OM，当∠BOM＝4∠COM，∠BOE=1110∠AOC时，求∠【分析】（1）根据OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠AOD+∠COD＝120°，得∠AOD+∠BOD＝120°，即∠AOB＝120°；（2）根据OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠COD＝2∠BOF+∠BOE，得∠BOD＝2∠BOF+∠BOE，可得∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝2∠BOF+∠BOE﹣∠BOF＝∠BOF+∠BOE＝∠EOF，即可得出结论