河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期第一次联考（10月）数学试题

2024年秋期六校第一次联考高二年级数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.2.曲线所围成的封闭图形的面积为（）A.1B.2C.3D.43.已知直线和.则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A.0B.C.1D.25.已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（）A.B.C.D.或6.过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（）A.2B.C.D.37.直线经过点且与两坐标轴的正半轴分别交于两点，则的最小值是（）A.4B.6C.8D.98.已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（）A.5B.9C.4D.3二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（）A.B.C.D.10.下列说法中错误的是（）A.方程表示的曲线是圆B.若两条直线平行，则它们的斜率相等C.直线的一个法向量的坐标是D.平面内到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆11.已知椭圆上有一点分别为其左､右焦点，的面积为，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则满足题意的点有4个C.若是钝角三角形，则D.椭圆的内接矩形的周长的最小值为12三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若椭圆的离心率为，则实数的值为__________.13.已知圆，圆，若动圆与圆相外切，与圆相内切，则动圆的圆心的轨迹方程是__________.14.已知函数，若在平面直角坐标系中，所有满足的点都不在直线上，则下列方程中：①，③，④可能是直线的方程的是__________.（填写序号）.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）已知是的三个顶点，求证：的三条高交于一点.16.（本小题满分15分）已知直线，圆.（1）求证：直线与圆恒相交；（2）若直线与圆相交于两点，当面积最大时，求直线的方程.17.（本小题满分15分）已知直线与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）直线与点的轨迹交于两点，且以为直径的圆恰好经过原点，求直线的方程.18.（本小题满分17分）已知点，圆，点是圆上任一点，线段的垂直平分线交线段于.（1）求点的轨迹方程；（2）过点的直线与点的轨迹相交于两点，设点，问：直线，的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由.19.（本小题满分17分）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点（不重合）.（1）求的取值范围；（2）如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积.2024年秋期六校第一次联考高二年级数学参考答案1.C2.B3.C4.A5.B6.A7.D8.C9.ABD10.ABD11.ABC1.【答案】C【解析】直线的斜率，所以倾斜角为.2.【答案】B【解析】方程表示的曲线是边长为的正方形，所以围成的图形面积是2.3.【答案】C【解析】根据两直线平行的条件得得或，但时两直线重合，故选C.4.【答案】A【解析】由两条切线的夹角是，得圆的半径是2，从而.5.【答案】B【解析】由已知得：，解得或，但时，直线和椭圆没有交点，故.6.【答案】A【解析】由得双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，又，得，所以.7.【答案】D【解析】根据已知设直线方程为，得：，8.【答案】C【解析】由已知得，设，所以，从而或时取最小值为4.9.【答案】ABD【解析】当倾斜角都为锐角或都是钝角时，；当为两个锐角，一个钝角时，；一个锐角，两个钝角时，.10.【答案】ABD【解析】A错的原因是轨迹不存在，B错的原因是两直线都和轴平行时斜率不存在，D错的原因是轨迹可能是线段或不存在.故选ABD.11.【答案】ABC【解析】由椭圆可得，则，对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为，所以，所以A正确；对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有4个，所以B正确；对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，又因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确；对于D，设为椭圆内接矩形位于第一象限内的顶点，令，，则椭圆内接矩形的周长为（其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误，故选：ABC.12.【答案】或10【解析】当焦点在轴上时，，得；当焦点在轴上时，，得.13.【答案】【解析】设动圆的半径为，则由已知得，所以，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆.从而方程是.14.【答案】②③④【解析】在定义域上是单调递增，又，曲线关于点中心对称，，在平面直角坐标系中，所有满足即的点都不在直线上.结合定义域点与阴影三角形无公共点即可），故答案为：②③④.15.【解析】由已知得：所以边上高所在直线方程为：化简得：①同理得边上高所在直线方程为：②同理得边上高所在直线方程为：③联立方程①②得：把代入，方程成立，所以的三条高交于同一点.注意：求直线方程时，也可以利用垂直得斜率，利用点斜式求解.16.【解析】（1）方法一：证明：圆的圆心为，它到直线的距离为所以直线与圆恒相交.方法二：恒过点，点在圆内部，所以直线与圆恒相交.（2）由三角形的面积公式得所以当时（显然可以取到），的面积最大-此时到直线的距离为由解得故此时直线的方程为17.【解析】（1）由已知得所以两直线恒垂直，又恒过点恒过点，所以点的轨迹是以为直径的圆，从而点的轨迹方程为（化为一般式也得分）（2）设因为以为直径的圆恰好经过原点，所以即即①把代入整理，得所以，即②而代入①得，解得或都满足②所以直线的方程为或.18.【解析】（1）由题意得：所以所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆且，从而所以的轨迹方程为：.（2）当直线斜率存在时，设直线，（其中），，联立，消可得，则，解得或，，所以（定值）当直线的斜率不存在时，直线，则关于轴对称，所以，所以，综上可得（定值）19.【解析】（1）由双