数学互动课堂极值点VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1.可导函数极值的概念如图,观察图形,展示出图象在点(x1,f（x1）)处的切线的变化。不难得出：曲线在极值点处切线的斜率为0,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正，得到可导函数极值的概念。疑难疏引对此概念的几点说明如下：(1)函数f（x）在点x0及其附近有定义，是指在点x0及其左右邻域都有意义。(2）极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧邻域而言的.(3)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（4）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f（x4）＞f（x1)（5)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的,从而有f′（x）=0.但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处,曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小.假设x0使f′(x)=0,那么x0在什么情况下是极值点呢?如上图所示，若x0是f（x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f（x0）.因此，x0的左侧附近f(x）只能是增函数，即f′(x0）＞0。x0的右侧附近f（x）只能是减函数，即f′（x0）＜0，同理，如下图所示,若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f（x)只能是减函数，即f′(x0）＜0，在x0的右侧附近f(x）只能是增函数，即f′（x0)＞0，从而我们得出结论:若x0满足f′(x0)=0，且在x0的两侧f(x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f(x0）是极值，并且如果f′(x0）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′（x0）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x)的极小值点,f（x0）是极小值。2.求可导函数y=f（x)极值的步骤：(1）求导数f′（x）;（2）求方程f′（x）=0的所有实数根;（3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x）的符号如何变化.由上面介绍的方法确定函数是否取得极值，以及极值是什么。活学巧用1。求函数f（x)=x3—3x2-9x+5的极值。解析：f′(x)=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3)，令f′（x)=0，解得x1=-1，x2=3。∴x＜-1时，f′（x)＞0，函数f（x）递增；-1＜x＜3时，f′(x)＜0,函数f(x)递减；x＞3时，f′（x）＞0，函数f（x）递增,∴f（x）极大值=f(-1）=10；f(x）极小值=f（3）=-22.2.求函数f(x)=-2的极值.解析：由f（x）=—2知函数f(x)的定义域为R.f′(x）=.令f′（x）=0，得x=—1，或x=1。x（—∞,-1）-1（-1，1）1（1,+∞)f′（x)-0+0-f(x)↘极小值-3↗极大值-1↘由上表可以看出，当x=-1时,函数有极小值,且f（—1)==—3，当x=1时，函数有极大值，且f（1）==-1。3.已知函数f(x)=x3＋ax2+bx+c，当x=-1时，取得极大值7；当x=3时,取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.解析：f′(x）=3x2+2ax+b.据题意，—1，3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得：∴a=—3,b=-9∴f（x）=x3—3x2-9x+c∵f（-1）=7，∴c=2极小值f(3)=33-3×32-93+2=-25∴极小值为-25，a=—13,b=—9，c=2.4.已知函数f（x)=ax3+bx2—3x在x=±1处取得极值.(1)讨论f(1)和f（-1)是函数f（x)的极大值还是极小值；(2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线,求此切线方程.解析:（1)f′（x)=3ax2+2bx-3,依题意，f′(1）=0，f′（—1)=0，即解得a=1,b=0.∴f（x）=x3—3x，则f′(x）=3x2-3=3(x-1）（x+1）.令f′(x）=0，得x=1或x=-1。当x变化时,f′(x)和f（x）的变化状态如下表：x（-∞,—1）—1（—1,1)1(1，+∞）f′(x）+0-0+f(x）↗↘↗由上表可以看出,当x=-1时，函数f（x)取得极大值；当x=1时,函数f(x)取得极小值.(2)由(1）的计算可知曲线方程为y=f(x)=x3—3x，且点A(0,16)不在该曲线上，设切点为M(x0,y0），则点M的坐标满足y0=。又