2024年中考数学试题分类训练：图形的旋转

专题26图形的旋转（31题）

一、单选题

1.（2024.山东.中考真题）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心

对称图形的是（）

【答案】D

【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正

方形、长方形等等.常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.根据中心对称

图形与轴对称图形的概念，进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来

的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互

相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【解析】A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.该图形是轴对称图形，不

是中心对称图形，故此选项不合题意；C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意.故选，D.

2.（2024・广东深圳・中考真题）下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（）

【答案】C

【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别.在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋

转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【解析】选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所

以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所

以是中心对称图形，故选，C.

3.（2024.四川成者B•中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点P（1,Y）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（—LT）B.（-1,4）C.（1,4）D.（1,T）

【答案】B

【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标.关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由

点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标.

【解析】点尸（1,-4）关于原点对称的点的坐标为（-1,4）；故选，B.

4.（2024.吉林・中考真题）如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4,0）,点C的坐标为（0,2）.以Q4,OC

为边作矩形若将矩形。1BC绕点。顺时针旋转90。，得到矩形OAB'C',则点？的坐标为（）

伊

A'—।夕

:__________C

A0cx

A.（T-2）B.（-4,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】C

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到OA=4,OC=2,再

由矩形的性质可得AB=OC=2,ZABC=90°,由旋转的性质可得。T=Q4=4,AB'=AB=2,

NQ4E=90。，据此可得答案.

【解析】：点A的坐标为（-4,0）,点C的坐标为（0,2）,.••。4=4,OC=2,.四边形Q4SC是矩形，

AB=OC=2,NABC=90。，：将矩形Q40c绕点。顺时针旋转90。，得到矩形。AB'C',

OA'=OA=4,A'B'=AB=2,ZOArB'=90°,A'8'_Ly轴，点夕的坐标为（2,4）,故选，C.

5.（2024•江苏扬州•中考真题）在平面直角坐标系中，点尸（1,2）关于原点的对称点p的坐标是（）

A.（1,2）B.（-1,2）C.（1,-2）D.（-1,-2）

【答案】D

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标、纵坐标都变为相反数，即可得答案.

【解析】•点尸。,2）关于原点的对称点为P,的坐标为（-1,-2）,故选D.

6.（2024・四川自贡.中考真题）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）

巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦

图”说法正确的是（）

A.是轴对称图形B.是中心对称图形

C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形

【答案】B

【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。,

如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答.

【解析】是中心对称图形，但不是轴对称图形故选，B

7.（2024.四川内江.中考真题）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创

的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，

其中是中心对称图形的是（）

【答案】D

【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.本题主要考

查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义.

【解析】A.不是中心对称图形，故A选项不合题意；B.不是中心对称图形，故B选项不合题意；C.不

是中心对称图形，故C选项不合题意；D.是中心对称图形，故D选项合题意；故选，D.

8.（2024.四川凉山.中考真题）点P（。,-3）关于原点对称的点是P（2,b）,则a+b的值是（）

A.1B.-1C.-5D.5

【答案】A

【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为

相反数可得。=-2,6=3,再代入代数式计算即可求解,掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键.

【解析】••,点尸（4一3）关于原点对称的点是尸'（2,匕），.，.。=—2,Z?=3,a+b=—2+3=1,故选，A.

9.（2024・山东烟台・中考真题）下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的

小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】A

【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键.分别画出各选项得出的左视图,

再判断即可.

【解析】A、取走①时，左视图为一厂,既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意；B、

取走②时，用视图为,既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故造项B不符合题意：C,取

走③时，左视图为।一,既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意；D、取走④

时，左视圄］—一,既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符，合题意；故选，A.

10.（2024•广东广州•中考真题）下列图案中，点。为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影

部分的两个三角形关于点。对称的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键.根据对应点连线是否过点

。判断即可.

【解析】由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点。对称的是C,故选，C.

11.（2024.天津・中考真题）如图，AABC中，ZB=30°,将AASC绕点C顺时针旋转60。得到OEC,点斗产

的对应点分别为RE,延长54交DE于点尸，下列结论一定正确的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

【答案】D

【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性

质内容是解题的关键.先根据旋转性质得N3CE=NACD=60。，结合48=30。，即可得证3产，CE,再根

据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC〃叱不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算

得出A和C选项是错误的.

【解析】记3F与CE相交于一点如图所示：

"?AABC中,将AABC绕点C顺时针旋转60"得至IADEC,：.ZBCE=ZACD=60°:ZB=30°在ABHC中,

/B"C=18（）o-/3CE—/8=90。，3尸，CE故D选项是正确的，符合题意；设NAC"=x。，

ZACB=60°-x°,*/ZB=30°ZEDC=ABAC=180。-30°-（60。-x。）=90°+x。

Z.EDC+ZACD=90°+^°+60°=150°+；x。不一定等于30。；./EDC+/ACD不一定等于180。

AC〃DE不一定成立，故B选项不正确，不符合题意；：/4。3=60。-;<:。，ZACD=60°,x。不一定等于0。

NACB=/ACD不一定成立,故A选项不正确,不符合题意；：将AABC绕点C顺时针旋转60"得到ADEC,

AB=ED=EF+FD，故C选项不正确，不符合题意；故选，D

12.（2024.湖北.中考真题）平面坐标系xOy中，点A的坐标为（T,6）,将线段绕点。顺时针旋转90。，

则点A的对应点A，的坐标为（）

C.(-4,-6)D.(-6,-4)

【答案】B

【分析】本题考查坐标系下的旋转.过点A和点A分别作％轴的垂线，证明△495也△Q4C（AAS）,得到

AC=OB—4,OC=AB=6,据此求解即可.

【解析】过点A和点4分别作％轴的垂线，垂足分别为AC,

:点A的坐标为（T,6）,.♦.03=4,AB=6,:将线段Q4绕点。顺时针旋转90。得到tM=Q4',

,

ZAOA'=90°ZAOB=90°-ZAOC=ZOA'C,：.△AOB^AOAC(AAS),/.A!C=OB=A,OC=AB=6,

；•点A，的坐标为（6,4）,故选，B.

13.（2024.内蒙古赤峰.中考真题）如图，“IBC中，AB=BC=1,ZC=72°.将“1SC绕点A顺时针旋转

得到△AB'C',点"与点B是对应点，点C'与点C是对应点.若点C'恰好落在8C边上，下列结论：①

]AZ?RR

点8在旋转过程中经过的路径长是二、②③3O=C'D；④就=访.其中正确的结论是（）

C.①③④D.②④

【答案】A

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，三角

形内角和定理.根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求得各角的度数，再逐一判断各项，即可求解.

【解析】•；AB=BC,ZC=72°,：.ZBAC=ZC=72°,ZABC=180°-2ZC=36°,由旋转的性质得

ZAB'C=ZABC=36°,AB'AC=ABAC=72°,ZAC'B'=ZC=72°,ZAC'B'=ZADC=72°,AC=AC,

：.ZAC'C=ZC=72°,ZCAC'=36°,ZCAC=ZBAC=36°,：.ZB'AB=72°-36°=36°,由旋转的

性质得旬=AB,ZABB'=ZAB'B=1(180°-36°)=72°,

=g";①说法正确；②：ZB'AB=ZABC=36°,：.B'A//BC；

②说法正确；③^.^NDC'3=180。一2x72。=36。，.^.Nr)C'3=NABC=36。，...JB。=CZ＞；③说法正确；④：

B，B

ZBBfD=：ZABC=36°,/B'BD=NBAC=7T,：.Z\BfBD^/\BAC,——=——.④说法正确；综上,

ACBD

①②③④都是正确的，故选，A.

14.(2024.四川内江.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，ABly轴，垂足为点6,将绕点A逆

时针旋转到VA5。的位置，使点6的对应点月落在直线丁=-；%上，再将VA30］绕点与逆时针旋转到

4

△4802的位置，使点Q的对应点Q也落在直线y=-3上，如此下去，……，若点3的坐标为(0,3),

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

【答案】C

【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点.找出点的坐标规律以

及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键.

通过求出点A的坐标，AB,OA,的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后

结合图形求解即可.

【解析】；ABJLy轴，点3的坐标为（0,3）,03=3,则点A的纵坐标为3,代入y=,得：x=T,

则点A的坐标为（T,3）.J.03=3,AB=4,0A=M+4?=5，由旋转可知，OB=0四=O?B°=3=3,

OA=OXA=O2A=...=5,A8=AB】=4与==...=4,OB,=OA+ABt=4+5=9,BtB3=3+4+5=12,

耳耳=鼻&=…=（”J）.设点鸟的坐标为，一，

B3sB31=12,0B31=0B}+BXB31=9+x12=225,jJ

则OBy,=+［一=225，解得a=T8。或180（舍去），则a=135,.一.点片的坐标为（-180,135）.故

选C.

15.（2024.北京・中考真题）如图，在菱形ABC。中，ZBAD=60°,O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点。

逆时针旋转90。得到菱形ABCD,两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形成EGDHDE给出下

面四个结论：

①该八边形各边长都相等；

②该八边形各内角都相等；

③点O到该八边形各顶点的距离都相等；

④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等。

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

［分析】根据菱形ABCD,NBAD=60°,则ZBAO=ZDAO=30°,ZAOD=ZAOB=90°,结合旋转的性

质得到点一定在对角线上，S.OD=OD,=OB=OB',OA=OA!=OC=OC,继而得

到AD'=CD,NDAH=ZDC'H=30°,结合ZD'HA=ZDHC,继而得到^AD'H^C'DH,可证D'H=DH,

CH=AH,同理可证。'EMBEIFMB'EB'GMOG,证班,继而得到。”二台石，得到

DH=BE=iyH=iyE=BF=FB'=B'G=DG,可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平

分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得

ZED'H=120°,结合NDOr>=90。，ZOD'H=ZODH=60°,得到N£>7TO=150。，可判定②该八边形各内

角不相等；判定②错误，证AO'OH乡AOOH,进一步可得ODWOH,可判定点。到该八边形各顶点的距

离都相等错误即③错误，解答即可.

本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性

质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键.

【解析】向两方分别延长3。，连接。打，根据菱形ABC。，ZR4D=60°,则440=NZMO=30。，

ZAOD=ZAOB=90°,;菱形ABCD绕点O逆时针旋转90。得到菱形AECD,.•.点A',D',B',C'一定在对

角线4。,3。上，且0£>=0/7=03=0£,OA=OA'=OC=OC,：.AD'=C'D,NDAH=NDC'H=30。,

'：ZjyHA=ZDHC,；.AADHACDH,；.D'H=DH,CH=AH,同理可证

D'E=BE,BF=B'F,B'G=DG,:/EA'B=ZHC'D=30°,A'B=CD,ZA'BE=ZC'DH=120°,/.

^ABE^CDH,：.DH=BE,DH=BE=D'H=D'E=BF=FB'=BrG=DG,：.该八边形各边长都相等，

故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点。到该八边形各边所在直线的距离都相等，，④正确；根据

题意，得ZED'H=120°,"/ZD'OD=90°,AOEfH=Z.ODH=60°,NDHD=150°,该八边形各内角

不相等；；.②错误，根据OD=0U,DH=DH,0H=OH,：.ADOHADOH,：.NDHO=NDHO=75。,

VZODH=60°,故ODWOH,.•.点。到该八边形各顶点的距离都相等错误.•.③错误，故选B.

二、填空题

16.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，在RtZXABC1中，ZACB=90°,tanZBAC=-,BC=2,AD=1,

2

线段AD绕点A旋转，点尸为8的中点，则BP的最大值是.

【答案】20+：

【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出取取最大值时3、

P、M三点的位置关系.

取AC的中点连接PM、BM,利用解三角形求出BM=1MC?+BC/=2M，利用三角形中位线定理

推出PM=3AO=《，当AD在AC下方时，如果8、P、/三点共线，则成有最大值.

22

【解析】取4c的中点连接尸M、BM.

B

VZACB=90°,tanZBAC=-,BC=2,：.AC=———=2」=4,：.AM=CM=-AC=2,：.

2tanABAC22

BM=』MC、BC2=d方+方=2也，；P、M分别是co、AC的中点，.•.=如图，当AD

在AC下方时，如果B、P、M三点共线，则BP有最大值，最大值为3M+MP=2友+!故答案为：272+1.

17.（2024.四川广安・中考真题）如图，直线y=2x+2与％轴、V轴分别相交于点A,B,将AAC®绕点A

逆时针方向旋转90°得到AACD,则点D的坐标为.

【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长DC交y轴

于点、E,先求出点A和点8的坐标，再根据旋转的性质证明四边形Q4CE是正方形，进而求出OE和OE的

长度即可求解.

【解析】如图，延长DC交y轴于点E,；y=2x+2中，令》=0,则y=2,令y=2x+2=0,解得》=一1,

A(-1,O),8(0,2),OA=1,02=2,;AAOB绕点A逆时针方向旋转90。得至IJAACD,，

ZACD=ZAOB=Z.OAC=90°,OA=OC=1,03=8=2,，四边形Q4CE是正方形.，CE=OE=OA=1,

DE=CD+CE=2+1=3,，点。的坐标为（一3,1）.故答案为：（-3,1）.

18.（2024.吉林长春•中考真题）一块含30。角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边A3与直线/重

合，AB=12cm.现将该三角板绕点8顺时针旋转，使点C的对应点。'落在直线/上，则点A经过的路

径长至少为cm.（结果保留万）

【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键.

由旋转的性质可得/45。=/^3。=60。,即4的=120°,再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心,

以A3为半径的圆弧的长即可解答.

【解析】••,将该三角板绕点3顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上，二//3。=〃'3。=60。,即

1200・乃,10207r辽田4d20%

乙4'胡=120。，.,.点A经过的路径长至少为—.故答案为:

180°3

19.（2024・江苏盐城•中考真题）如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=2&，点。是AC的中点,

连接将ABCD绕点B旋转,得到△班连接C广，当CF〃AB时，CF=

【答案】2+76/76+2

【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌

握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键.

根据等腰直角三角形的性质可得AB，CD,BD,3尸的值，作3GLCF,根据平行线的性质可得ABCG是

等腰直角三角形，可求出CG,3G的长，在直角△班’G中，根据勾股定理可求出尸G的长度，由此即可求

解.

【解析】•.,在AABC中，ZACB=9Q°,AC=BC=2及,AZCAB=ZCBA=45°,AB=y（2AC=4,:点

。是AC的中点，，AO=C£>=gAC=0,.•.在R/ABC。中，BD=+BC。=J（可+（20『=9，

将&BCD绕点、B旋转得到ABEF,：.ABCD^WEF，:.BD=BF=屈，EF=CD=叵，BC=BE=272，

如图所示，过3GJ_C尸于点G,产〃A3,=NCB4=45。，.•.△及%;是等腰直角三角形，且

BC=2梃,:.CG=BG='BC=^x2&=2,在尺以3/G中，FG=dBF2-B3=瓜

:.CF=CG+FG=2+瓜,故答案为：2+后

20.（2024•江苏苏州•中考真题）直线hy=x-l与无轴交于点A,将直线4绕点A逆时针旋转15。，得到直线

%,则直线4对应的函数表达式是.

【答案】>=\l^x-y13

［分析］根据题意可求得L与坐标轴的交点A和点B,可得ZOAB=ZOBA=45°,结合旋转得到ZOAC=60°,

则NOC4=30。，求得。。=代，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线4的解析式.

【解析】依题意画出旋转前的函数图象4和旋转后的函数图象4,如图所示：

设乙与y轴的交点为点8,令x=O,得'=一1；令y=o,即x=l,A（l,0）,,：.OA=1,OB=1,

即/。4£=/。衣4=45。：直线/］绕点4逆时针旋转15。，得到直线4，AZOAC=60°,ZOCA=30°,：

OC=OAxtan60°=>/3OA=A/3,则点cg6),设直线4的解析式为>=辰+〃，则

0=k+b\k=^

解得厂，那么，直线4的解析式为y=底-8,故答案为:y=\/3x—A/3.

—A/3=bb=Y

三、解答题

21.(2024・广东广州•中考真题)如图，RtZXABC中，?B90?.

(1)尺规作图：作AC边上的中线30(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在(1)所作的图中，将中线30绕点。逆时针旋转180。得到DO,连接AO,CD.求证：四边形A8CD

是矩形.

【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质；

(1)作出线段4C的垂直平分线EF,交AC于点O,连接H9,则线段30即为所求；

(2)先证明四边形A3CD为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论.

解：(1)如图，线段80即为所求；

(2)证明：如图，

事AD：

;由作图可得：AO=CO,由旋转可得：BO=DO,

/.四边形ABCD为平行四边形，

,/ZABC=90°,

四边形ABCD为矩形.

22.(2024・四川广安•中考真题)如图，矩形纸片的长为4,宽为3,矩形内已用虚线画出网格线，每个小

正方形的边长均为1,小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁,使其分成两块纸片.请

在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线.

注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁；

②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况.

两块纸片两块纸片不是全等形

是全等形但面积相等

【分析】本题考查的是矩形的性质，全等图形的定义与性质，同时考查了学生实际的动手操作能力，根据

全等图形的性质分别画出符合题意的图形即可.

23.(2024•山东烟台・中考真题)在等腰直角“8C中，ZACS=90°,AC=BC,。为直线8C上任意一点,

连接AD.将线段AD绕点。按顺时针方向旋转90。得线段ED,连接BE.

【尝试发现】

(1)如图1,当点。在线段3c上时，线段BE与8的数量关系为；

【类比探究】

(2)当点。在线段3c的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段跖与CD的数量关系并证明；

【联系拓广】

(3)若AC=8C=1,CD=2,请直接写出sinNECD的值.

【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键.

(1)过点E作E"，CB延长线于点M,利用一线三垂直全等模型证明,再证明BM=EM

即可；

(2)同(1)中方法证明△ACD^AZJME,再证明80=上?0即可；

(3)分两种情况讨论：过点E作EM_LCB延长线于点〃，求出EM,CE即可.

解:(1)如图，过点E作延长线于点

A

由旋转得=ZADE=90°,

：.ZADC+NEDM=90°,

ZACS=90°,

:・ZACD=NDME,ZADCZCAD90°,

ZCAD=ZEDM,

AACD%ADME,

ACD^EM,AC=DM9

,:AC=BC,

：.BM=DM-BD=AC-BD=BC-BD=CD,

：.BM=EM,

*：EMLCB,

BE=垃EM=42CD，

故答案为：BE=^/2CD;

(2)补全图形如图：

过点E1作EM_L5C交6c于点M,

由旋转得ZADE=90°f

：.ZADC+ZEDM=90°,

・.•ZACB=90°,

：.ZACD=ZDME,ZADC+ZCAD=9Q0,

:.NCAD=NEDM,

/\ACD^/\DME,

：.CD=EM,AC=DM,

AC=BC,

:.BM=BC-CM=DM-CM=CD,

・•・BM=EM,

•.*EM±CBf

•**BE=42EM=^/2CD;

(3)如图，当。在CB的延长线上时，过点石作石N_LCB于点连接C£,

由（2）得DM=AC=1,EM=CD=2,

：.CM=CD+DM=3,

・•・CE7cM?+EM?=屈，

.•.疝"。=四=二=巫

CEV1313

当。在6c的延长线上时，过点石作石NLCB于点如图，连接CE,

同理可得：ZXACD当△£)〃£,

ADM=AC=1,ME=CD=2,

J01=2—1=1,

,,CE=A/22+12=Vs,

EM_2_2y/5

sinZEC£>=

~CE~45~~T

综上：sinNECD=或sinNECD=述

135

24.（2024.甘肃临夏.中考真题）根据背景素材，探索解决问题.

平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF

背

六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨

景

在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由欧几里

素

得在其名著《几何原本》中详细阐述.

材1h

已

知

点C与坐标原点。重合，点。在x轴的正半轴上且坐标为（2,0）

条

件

操①分别以点C,。为圆心，8长为半径作弧，两弧交于点尸；■k

作②以点P为圆心，PC长为半径作圆；

步③以。>的长为半径，在尸上顺次截取；

0£>E=EF=£4=AS________*____\

DX

骤④顺次连接OE,EF,FA,AB,BC,得到正六边形ABCDEF.。（。

问题解决

任

务根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）

任

务将正六边形ABCDE尸绕点。顺时针旋转60。，直接写出此时点E所在位置的坐标：______.

【分析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质.利用数形结合的思想是解题关键.

任务一：根据操作步骤作出0尸，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出OE=£F=AF=M=CD,即

得出OE=EF=E4=AB，最后顺次连接即可；

任务二：由旋转的性质可知少£=。£>=2,即得出OE=DE+Or>=4,即此时点E所在位置的坐标为(4,0).

解：任务一：如图，正六边形ABCDEF即为所作；

OE'=DE'+OD=4,

：.E[4,0).

故答案为：(4,0),

25.(2024.黑龙江齐齐哈尔•中考真题)综合与实践：如图1,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周

髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如

图2,在AABC中，ZA=90°,将线段BC绕点3顺时针旋转90。得到线段BD,作。ELAB交A3的延长

(1)【观察感知】如图2,通过观察，线段A3与£>£的数量关系是；

(2)【问题解决】如图3,连接8并延长交A3的延长线于点/，若A5=2,AC=6,求△瓦)尸的面积;

(3)【类比迁移】在⑵的条件下，连接CE交5。于点N,则BN*=;

2

(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线A5上找点尸，使tan4BCP=§,请直接写出线段AP的长度.

【分析】⑴根据旋转的性质可得NCBD=90,CB=BD,进而证明△ABC%EDB(AAS),即可求解;

(2)根据(1)的方法证明AABC③fOWAAS),进而证明SE尸SAOW,求得所=4,则3尸=10,然

后根据三角形的面积公式，即可求解.

(3)过点N作NM_LA尸于点M,证明AABCS^MNB得出=证明AEMN^^ECA，设项/=x,

54

贝l]ME=3E-5M=6-x,代入比例式，得出x=百，进而即可求解；

(4)当尸在3点的左侧时，过点尸作尸Q，3C于点。，当尸在3点的右侧时，过点P作PT_LBC交CB的

延长线于点T,分别解直角三角形，即可求解.

解：(1)•..将线段8C绕点8顺时针旋转90。得到线段BD,作DELAB交A3的延长线于点E.

ZCBD=90°,

图2

ZABC+NDBE=90°,

,-.ZA=90°,

:.ZABC+ZACB=9Q,

NDBE=ZACB,

又；ZA=Z.DEB=90°且CB=3。

.•.AABC^A£DB(AAS),

:.DE=AB；

(2)・.・NCB£)=90。，

.\ZABC-^ZDBE=90°,

/.ZA=90°,

/.Zz4BC+ZACB=90,

:.ZDBE=ZACB,

又♦.•NA=NOEB=90。且C5=&),

.-.△ABC^AEDB(AAS),

:.DE=AB,BE=AC

・・・AB=2,AC=6

:.DE=2,BE=6

:.AE=AB+BE=2+6=^,

-,-ZDEB+ZA=180°

DE//AC,

:ADEFS①AF,

.DEEF

"AC-FA

.2_EF

-6-EF+8

:.EF=4,

二BF=BE+EF=6+4=10,

=|xl0x2=10；

(3)如图所示，过点N作NM_LAF于点M,

c

•：ZA=ZBMN=90。,ZACB=90°-ZABC=ZNBM

：.^ABC^^MNB

.BN_BMMN

BC~AC~AB'

网=吆=g"

BC623

又•・•ACV〃AC

"EMNs公ECA

.ME_MN

**AE-ACJ

^BM=x,贝!=3M=6—%,

X

6~^=3

8-6

54

解得：x=—

54

：.BN_BM_9；

1BC~^C~~6~13

(4)如图所示，当尸在3点的左侧时，过点P作PQ_L8C于点。

/.tanZBCP=-^=-,设PQ=2a,则CQ=3a,

CQ3

又・.・AC=6,A5=2,ABAC=90°

sr£

AtanZABC=——二一=3,BC=d力+©=2如

AB2

tan/P2Q=g1=3

BQ=^PQ=^a

BC=CQ+BQ=—a+3a=—a

：.—a=2y/10,

3

解得：

11

2

在Rt△尸3。中，PQ=2a,BQ=-a

.•・*k-诬"诬序=”

Y331111

4018

AP=PB-AB=——2

11TT

如图所示，当尸在3点的右侧时，过点尸作PT,3c交CB的延长线于点T,

・.,ZABC=NPBT,ZA=ZT=90°

：.ZBPT=ZACB

AR1

VtanZACB=——=一

AC3

tanZBPT=—=tanZACB=-

PT3

设BT=b,则PT=3b,BP=Mb,

PT2

VtanZBCP=——二—,

CT3

•3b__2

••6+29―3

解得：人=生叵

7

：.BP=^Wb=—

7

4054

AP=AB+BP=2+—=—

77

综上所述，AP=”或

26.（2024•山东・中考真题）一副三角板分别记作“IBC和ADEF,其中/ABC=/OEF=90。，ABAC=45°,

/EDF=30°,AC=DE.作3M_LAC于点Af,EN，DF于点、N,如图1.

图1

(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C,点A与点。

重合，将图2中的A/Xy绕C按顺时针方向旋转。后，延长交直线。尸于点尸.

①当a=30。时，如图3,求证：四边形CVPM为正方形；

②当30。<o<60。时，写出线段MP,DP,C。的数量关系，并证明；当60。<1<120。时，直接写出线段

MP,DP,8的数量关系.

【分析】(1)利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论；

(2)①证明NOVD=90°,NDCN=90°-30°=60°,可得ZAQV=90°,证明NPMC=NRWC=90°,可得

四边形PMCN为矩形，结合BM=EN,即BM=CN,

而=可得。W=C7V,从而可得结论；②如图，当30。<«<60。时，连接CP,证明APMC芸APNC,

可得PM=PN,结合"=30。，可得1尸十知尸二立;②如图，当60。<0<120。时，连接CP,同理

CD2

4PMe'PNC,结合NCD尸=30。，可得竺I二竺=1

CD2

解：(1)证明：设AC=DE=a,

"?AABC=ZDEF=90°,Z.BAC=45°,

ZA=ZC=45°,

AB=BC,

VBM1AC,

BM=AM=CM=-AC=-a,

22

VZE»F=30°,EN±DFf

：.EN=-DE=-a,

22

:.BM=EN；

(2)证明：①・・・ND=30。，CN工DF,

：.ZCND=90°,ZDC7V=90o-30°=60°,

*：a=ZACD=30°,

・•・ZACN=9Q°,

*：BM1AC,

：.ZPMC=ZBMC=90°,

・・・四边形PMCN为矩形，

•:BM=EN,BPBM=CN,

而即/=CM,

/.CM=CN,

・・・四边形PMCN是正方形；

②如图，当30。<«<60。时，连接CP,

D

♦：CP=CP,

：.^PMC^PNC,

:,PM=PN,

：.MP+DP=PN+DP=DN,

・「ND=30。，

,/八DNDP+MP

・・cosZ£>=-----=cos30°=,

CDCD2

.DP+MP

CD~~2

②如图，当60。＜二＜120。时，连接CP,

P

由（1）可得：CM=CN,/PMC=/PNC=90。，

♦：CP=CP,

：,APMCAPNC，

：.PM=PN,

：.DN=PN-DP=MP—DP,

ZCDF=30°,

./5口DNMP-DPV3

・・cosZCDF=-----=-------------=cos3o0no=——,

CDCD2

,MP-DP73

•,------------=—;

CD2

27.（2024.四川眉山・中考真题）综合与实践

问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中

心。处，并绕点0旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况.

操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点。处，在旋转过程中：

（1）若正方形边长为4,当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为；当一条直角边与正方

形的一边垂直时，重叠部分的面积为.

（2）若正方形的面积为S,重叠部分的面积为5,在旋转过程中5与S的关系为.

类比探究：如图1,若等腰直角三角板的直角顶点与点。重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方

形两边于E,尸两点，小宇经过多次实验得到结论3石+。/=00（7,请你帮他进行证明.

拓展延伸：如图2,若正方形边长为4,将另一个直角三角板中60。角的顶点与点。重合，在旋转过程中,

当三角板的直角边交A8于点斜边