苏科版2024-2025学年八年级数学上册轴对称图形（单元测试 培优卷）

第2章轴对称图形（单元测试・培优卷）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列安全指示牌分别代表"禁止攀爬""禁止高空抛物""注意安全""注意摔滑"，其中是轴对称图形的是（）

A⑥BC△。瓜

2.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个"蝴蝶"的平面图案.如图，其中△OA3与AODC都是等腰三

角形，且它们关于直线/对称，点E,尸分别是底边AB,CD的中点，OELOF.下列推断错误的是（）

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

3.如图，ZB=ZC=36°,ZADE=ZAED=12°,则图中的等腰三角形的个数为（）

4.如图，。为VABC内一点，CD平分/ACS,BD1CD,ZA=ZABD,若AC=5,BC=3,则30的

长为（）

B

5.如图，直线aHb,等边VA3C的顶点C在直线6上，若4=42。，则N2的度数为（）

A

\2

Cb

A.92°B.102°C：.112°D.114°

6.如图，在VA3C中，ZB=34°,NACB=7£『，根据尺规作图痕迹，可知Nc=()

A.66°B.77°C：.78°D.101°

7.在四边形A5CD中，ZABC=ZADC=90°,点£为对角线AC的中点，NBC4=43。，ZACD=25°,

连接89,BE,DE,则==（）

A

c

A.25°B.22°C.30°D.32°

8.如图，ZACB=ZAED=90°,NCAE=ZBAD,BC=DE,若3£>〃AC,则/ABC与NC4E间的数

量关系为（）

匕BC

A.IZABC^ACAEB.ZABC=NCAE

C.ZABC+2ZCAE=90°D.2ZABC+ZC4E=180°

9.如图，在VABC中，NACB为一个钝角，CD,BC交AB于点。，点E在8。上，且NDCE=NACD=12。,

AC+CE=AB.则下列结论错误的是（）

A.ZBCE=78°B.ZACB=102°C.ZCDE=56°D.ZABC=48°

10.如图，点P是线段3c上一动点，连接AP,ACrBC,ABAC=ZPAQ=60°,AC=2,连接CQ.当

AQ=AP时，线段c。的最小值为（）

D.2

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.如图，VABC与AAB'C关于直线/对称，且4=78。，ZC=48°,则的度数是

12.如图，长方形ACE尸沿OO折叠至点3,若/3OC=120。，那么NBDO=

13.点尸是正五边形ABCDE边DE的中点，连接3尸并延长与CD延长线交于点G,则N8GC的度数为

A

14.（23-24七年级下,山东烟台•期末）如图，ZA=ZEGF,F为BE,CG的中点，DB=4,DE=8,贝UAD

的长为.

15.已知，在VA3C中，AB=AC,3。_LAC于点。，AEJ_5c于点E,若/a4C=50。，贝!]NDCO=

16.如图，已知VABC是等边三角形，点。为4B的中点，DE1AC于点E,作£F〃AB,交BC于点F,

若AD=4,则EF=

".如图，VABC中，AC=3C,且点。在VABC外，。在AC的垂直平分线上，连接5。，若ND3C=30。,

ZACD=12°,则NA=°,

BC

18.如图，在△BCD中，ZBCD<120°,分别以BC、CD和为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等

边三角形CDE和等边三角形瓦加，连接AD、BE和CE交于点尸，则24、PB、PC、尸£>中某三条线段

存在等量关系是.

三、解答题(本大题共6小题，共58分)

19.(8分)如图，在VABC中，D、E分别是AB、AC上两点，VADE与VEDE关于DE轴对称，DF交AC

于点P,已知/A=45°,ZPEF=30°.

(1)求/FPC的度数.

(2)若DF〃BC,求的度数.

20.(8分)如图，E是AD中点，BE平分/ABC.

(1)若ZA=/D=90。，求证：CE平分/OC瓦

(2)若BELEC,求证：AB+CD=BC.

DC

21.(10分)如图，在VA3C中，AD平分NCAB,过点。作ZW上AB于M,£>N1AC的延长线于N,

且3M=C7V.

(1)求证：点。在BC的垂直平分线上；

(2)若A3=8,AC=4,求8M的长.

22.(10分)如图，等腰0ABe中，CA=CB=^,0ACB=12O°,点D在线段A8上运动(不与A、2重合)，将

0CAD与EIC8。分别沿直线CA、CB翻折得到EICAP与EICB。.

(1)证明：CP=CQ；

(2)求"C。的度数；

(3)当点。是AB中点时，请直接写出SP。。是何种三角形.

ADB

23.(10分)在RtAABC中，AB=AC,/DEF=45。且NDEF的顶点E在边5c上移动，在移动过程中,

边DE,E歹分别与AB,AC交于点M,N,

(1)当3E=OV且〃与A重合时，求证：AABE会4ECN

(2)当E为BC中点时，连接MN,求证：NC=AM+MN

24.（12分）在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点E、产分别是A3,AC上的动点(不与8,C重

合)，点。是3c的中点，连接AO.

图1图2图3

(1)如图1,当NEOF=90。时，请问△AEO与△CFO全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由;

(2)如图2,在(1)的条件下,过点。作O"，AC,垂足为H,若AE=4,AF=1O,请求麻的长;

(3)如图3,当NEOF=45。时，连接环，若AO=7,AE:AF:EF=3:4:5,请求AAO尸的面积.

参考答案：

1.C

【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可.本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的

部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键.

【详解】

回不符合题意;

△是轴对称图形，

回符合题意；

不是轴对称图形，.

团不符合题意；

故选C.

2.B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

A.由对称的性质得/A03=NO0C,由等腰三角形的性质得ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,即可判

22

断；

B./30c不一定等于—AQB,即可判断；

C.由对称的性质得^OAB^AODC,由全等三角形的性质即可判断；

D.过。作可得ZGOD=ZBOH,由对称性质得=同理可证=，

即可判断;

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【详解】解：A.vOEA.OF,

ZBOE+Z.BOF=90°,

由对称得ZAOB=ZDOC,

；点、E,P分别是底边AB,CD的中点，△OAB与AODC都是等腰三角形,

ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,

22

:.NBOF+NDOF=90°,

OB±OD,结论正确，故不符合题意；

B./3OC不一定等于/AC®,结论错误，故符合题意；

C.由对称得A。钻丝AODC,

回点E,F分别是底边AB,CD的中点，

:.OE=OF,结论正确，故不符合题意；

过。作GM_LO〃，

:.ZGOD+ZDOH^90°,

•;NBOH+NDOH=90。,

ZGOD=ZBOH,由对称得/BOH=ZCOH,

:.ZGOD=ZCOH,

同理可证ZAOM=/BOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+/DOG=180°,结论正确，故不符合题意；

故选：B.

3.D

【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定,根据三角形内角和分别计算出/BAD、NDAE、/EAC、NBAE、

NC4Z）的度数，再根据等角对等边可判断出等腰三角形的个数，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法.

【详解】团N3=NC,ZADE=ZAED,

0VABC和VAD石是等腰三角形，

团ZB=36。，ZADE=72°f

团NBAD=36。,

团AD=RD,

回△AB。是等腰三角形，

同理△AEC是等腰三角形，

©NADE=/AED=72。,

国NDAE=36°,

^ZCAD=36°+36°=72°f

o

J?JZCAD=ZCDA=72f

团"DC是等腰三角形，

同理可得AABE是等腰三角形，

综上所述，等腰三角形有6个，

故选：D.

4.A

【分析】延长与AC交于点E,由题意可推出m=越，依据垂线的定义，角平分线的定义和三角形的

内角和定理，可证得ABCE为等腰三角形，于是可得BC=CE,=根据AC=5,BC=3即可推

出的长度.

【详解】解：如图，延长80与AC交于点E,

'：ZA=ZABD,

:.BE=AE,

・.・BD_LCD,

LCD,

.\ZCDB=ZCDE=90°,

・・・CQ平分NAC5,

.•.NBCD=NECD,

又・・・ZCDB+/BCD+ZCBD=ZCDE+ZECD+ZCED=180。，

:.NCBD=NCED,

.•.△5。石为等腰三角形，

.e.BC-CE,

•;BELCD,

:.BD=DE=-BE,

2

•/AC=5,BC=3,

CE=BC=3,

\AE^AC-CE=5-3=2,

:.BE=AE=2,

:.BD=-BE=-x2=l,

22

故选：A.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，垂线的定义，角平分线的定义，三角形的内角和定理

等知识点，正确作出辅助线，构建等腰三角形是解题的关键.

5.B

【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质.根据等边三角形的三个角都

是60。可得NA=60。，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出/D£C=102。，根据两直线平

行，内错角相等即可求解.

【详解】解：如图：AB,AC分别交直线。于点。，E,

团VABC是等边三角形,

0ZA=6O°,

又EINADE=N1=42°,

ElZ.DEC=ZADE+AA=600+42°=102°,

又回。〃)，

0Z2=ZDEC=1O2°.

故选：B.

6.C

【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质,先用三角形内角和求出/BAC,

再用角平分线求出/B4D，由线段垂直平分线知4CF=N3=34。，然后用外角性质求出NA/C,最后根

据三角形的内角和求出Za.

【详解】解：,•・在VABC中，NB=34。，ZACB=18°,

ABAC=180°-ZB-ZACB=180°-34°-78°=68°,

由作图可知，A。平分NBAC,Eb垂直平分BC,

•••/BAD=-ABAC=34°,NBCF=NB=34°,

2

ZAFC=ZB+ZBCF=68°,

Z(z=180°-ZAFC-ZBAD=180°-68°-34°=78°,

故选：C.

7.B

【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，理解

掌握这些知识点是解本题的关键.证明£4=EB=EC=£E>,可得NECB=NEBC,ZECD=ZEDC,可得

/BED=2(ZBC4+ZACD)=136°,再利用等腰三角形的性质可得答案.

【详解】解：回/ABC=NADC=90。，点E为对角线AC的中点，

0EA=EB=EC=ED,

0ZECB=/EBC,/ECD=/EDC,

在.ABE中，ZAEB=NECB+Z.EBC=2Z.BCA,

同理可得：ZAED=ZECD+ZEDC=2ZACD,

0ABED=ZAEB+ZAED=2(ZBCA+ZACD)=2x(43°+25°)=136°,

0EB=ED,

180°-ZBED。。"。=

回NBDE=NDBE=IS22,

22

故选:B.

8.A

【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质，解题的关键是掌握全等

三角形的对应边相等，等边对等角.

易得ZABD=90。-ZABC,通过证明△ABC/AWEjAAS）得出AD=,则NAB。=NAD3=90。—NABC,

最后根据在△AB。中，ZABD+ZADB+ZBAD=180°,即可得出结论.

【详解】解:^\BD//AC,

团NCBD=180°—/ACB=90°,

0ZABD=90°-ZABC,

SZCAE^ZBAD,

0ZCAE+ZBAE=ZBAD+ZBAE,ABAC=Z.DAE,

在VABC和VADE中，

ZACB=NAED

,ABAC=ZDAE,

BC=DE

0AABC/△ADE（AAS）,

团AD=AB,

BZABD=ZADB=900-ZABC,

在八ABD中，ZABD+ZADB+ABAD=2（90。—ZA5C）+ZC4E=180°,

整理得：2NABC=NC4E,

故选：A.

9.D

【分析】垂直得到NDCB=90。，角的和差关系求出/BCE,/ACB的度数，判断A,B；延长AC至点产，使

CF=CE,连接BP,证明AJSCE丝A3CF,得到NP=/3EC,NCBE=NCBF,根据AC+CE=AB,推出

AB=AF,进而得到/钻尸=/尸，利用四边形的内角和为360度，求出NF=/BEC=NFBE=68°,根据

三角形的外角判断C,角的倍数关系，判断D.

【详解】解：ECD1BC,

BlZDCB=90o,

^1ZDCE=ZACD=12°,

团ZBCE=ZDCB-ZDCE=78°,ZACB=ZDCB+ZACD=102°；故选项A,B正确;

延长AC至点P,使CF=CE,连接BF,如图,

则：ZBCF=180°-ZACB=78°=ZBCE,

团BC—BC,

⑦八BCE%BCF,

ONF=ZBEC,NCBE=NCBF,

^\AB=AC+CE=AC+CF=AF,

^\ZABF=ZF,

在四边形3£CF中，ZECF=ZECB+ZFCB=156°,

0ZF+ZBEC+ZFBE=3/BEC=360。一ZECF,

g/F=/BEC=/FBE=68。,

0/ABC=-NFBE=34°；故选项D错误，

2

0ZCEB是KDE的一个外角，

0ZCDE=ZCEB-ZDCE=56°；故选项C正确；

故选D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，多边形的内角和

等知识点，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形.

10.B

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、含30。角的直角三角形的性质等知识点，找出点P和点

F重合时，C。最小，最小值为。的长度是解本题的关键.

如图：在AB上取一点E,使AE=AC=2,连接PE,过点E作EF/BC于忆由AQ=AP,

/54。=/己4。=60。证明4。40也4胡「，由全等三角形的性质得出C。=EP,则当EF上BC（点P和点

厂重合）时，PE最小,然后由含30。角的直角三角形的性质即可解答.

【详解】解：如图：在A5上取一点E,使AE=AC=2,连接尸E,过点£作石尸13。于尸,

团/B4C=/PAQ=60。，AQ=AP,

团4=30。，

0ZE4C=6O°,

回NPAQ=NEAC,

团NEAP=NCAQ,

又团AE=AC,AQ=APf

团△C4Q会AEA尸，

田CQ=EP,

要使CQ最小，则有PE最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，

团当EF1BC（点P和点/重合）时，PE最小，即点P与点/重合，CQ最小，最小值为。的长度，

在RtZkABC中，ZB=30°,AC=2,

0AB=4,

团AE=AC=2,

回BE=AB—AE=2,

在RtZXBFE中，ZB=30°,

0EF=|BE=I,故线段c。长度的最小值是1,

故选：B.

11.54。/54度

［分析】本题考查轴对称的性质、三角形内角和定理,根据轴对称的性质可得N4=ZA，=78。，NC=NC=48。,

再根据三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：由轴对称的性质得，ZA=ZA-=78°,ZC=ZC=48°,

0/?=180°-78°-48°=54°,

故答案为：54°.

12.30

【分析】此题考查了折叠，根据折叠得到/8。。=/即。=3（180。-2e）。）=30。即可.

【详解】解：团长方形ACEF沿OD折叠至点8,ZBDC=120°,

0NBDO=ZEDO=1（180°-NBDC）=30°,

故答案为：30

13.18°/18度

【分析】连接3。，BE,根据正多边形的性质可证AABEgACBD（SAS）,得到助=9，进而得到8G是DE

的垂直平分线，即4>PG=90。，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到NFDG=72。，

再根据三角形的内角和定理即可解答.

【详解】解:连接BD,BE,

SAB=BC=CD=AE,ZA=ZC

0AA8E^ACBD（SAS）,

团BE=BD,

团点尸是QE的中点，

团3G是QE的垂直平分线，

0ZZ）FG=9O°,

〜上（5-2）x180°

团在正五边形ABCDE中,ZCDE=——』--------=108°,

5

0ZFDG=180。—ZCDE=72°,

团/G=180°—ZDFG-NFDG=180°-90°-72°=18°.

故答案为：18。

【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角

和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键.

14.2

【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关

键.先证明AGFE四△CFB(SAS)得到GE=BC,ZEGF=NC,再根据等角对等边得到A。=OG,AB=BC,

设4)=OG=x,由AB=3C结合已知列方程求解x值即可.

【详解】解：F为BE,CG的中点，

GF=CF,EF=BF,

又ZGFE=ZCFB,

AGFE^ACFB(SAS)

GE=BC,NEGF=NC,

ZA=NEGF,ZAGD=NEGF

ZA=ZAGD^ZC,

■■AD=DG,AB=BC,

设AD=OG=x,

,;DB=4,DE=8,

BC=GE=DE-DG=8-x,AB=4+x,

•e-4+x=8-x,

角军得x=2,

AD=2,

故答案为：2.

15.40

【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质与判

1QAO_CQO

定，先根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出NABC=/AC3=---=65°,再由3DLAC于

点O可得出—ABO的度数，进而得出的度数，由线段垂直平分线的性质可得出/O3E=/OCE,据

此可得出结论.

【详解】解：在VABC中，•.,AB=AC,ABAC=50°,

•：BD1AC,

:.ZADB=90°,

.•・Z/W。=90。—Z^4D=90。—50。=40。，

ZOBE=ZABC-ZABD=65°-40°=25°.

\AB=AC,AE1BC,

AE是线段BC的垂直平分线，

:.OB=OC,

:.ZOBE=ZOCE=25°,

:.ZDCO=ZACB-ZOCD=65°-25°=AQ°.

故答案为：40.

16.6

【分析】本题考查了含30。角的直角三角形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，利用含30。角

的直角三角形的性质求出AE的长，根据平行线的性质以及等边三角形的判定和性质求出所的长即可，熟

练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：团VA5C是等边三角形，

团NA=4=NC=60。，AB=AC,

团点。为A5的中点，AO=4,

国AB=2AD=8,

团。石1AC于点E,

团石=30。，

BAE=-AD=2,

2

团CE=AC—AE=6,

^\EF//AB,

团NFEC=NA=60。，

团NC=60。，

团△£/(是等边三角形，

出EF=CE=6,

故答案为：6.

17.72

【分析】过C作CW，班＞,交班)的延长线于〃，过。作DN/AC于N,证明RtADNC丝RtADMC(HL),

得=NACE)=12。，求出/ACB的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出NA的度数.

【详解】解：如图，过C作交3。的延长线于过。作ZW1AC于N,

回点。在AC的垂直平分线上，

EIOV垂直平分AC,

^NC=-AC,

2

团AC=BC,

©NC=LBC,

2

在RtZXBMC中，ZDBC=30°,

国CM」BC,

2

^\CM=CNf

在RtADNC和RLADMC中,

(CD=CD

配,

\CN=CM

回RGDNC丝RSDMC(HL),

^ZDCM=ZACD=12°,

团ND5C=30。，

团/MCB=60。,

ZACB=60°-12°x2=36°,

又团AC=5C,

团ZA=；义(180。—36。)=72°

故答案为：72.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30。角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟

知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等.

18.PA=PB+PC

【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；

证明△2△CBF(SAS),AACD^ABCE(SAS),可得ABAD=ZBCF,ACAD=ZCBE,求出ZBPC=120°,

在上4上截取PG=P5,连接5G,证明NBG4=NBPC=120。，再证4Gg△3CP(AAS),可得尸C=G4,

进而可得E4=P5+FC.

【详解】解：0VABC,V8Z卯是等边三角形，

回BA=BC,BD=BF,ZABC=ZDBF=60°f

国ZABD=NCBF,

团△ABD也尸(SAS),

田NBAD=NBCF,

同理可得△ACD之OCEGAS),

⑦NCAD=/CBE,

团NBAD+NGW=60。，

国/BAD+NCBE=60。,

0ZABC=6O°,

^ZBAD+ZABC+ZCBE=ZBAD+ZABE=120°,

^ZBPA=60°f

同理可得NAPC=60。，

0ZBPC=120°,

如图，在上截取PG=P5,连接5G,

团尸G是等边三角形,

团N5GP=60。，

13ZBG4=120o,

SZ.BGA=ZBPC,

又田ZBAG=NBCP,AB=CB,

EIABAG^ABCP（AAS）,

SPC=GA,

^PA=PG+GA^PB+PC,

故答案为：PA=PB+PC.

19.（1）75°

（2）60°

【分析】（1）由轴对称的性质得NA=/尸=45。，进而根据三角形的外角性质即可求解；

（2）由（1）得，/FPC=75。，再根据平行线的性质得NC=NEPC=75。，从而根据三角形的内角和定理

即可得解.

【详解】（1）解：与VFQE1轴对称，

：.ZA=ZF=45°,

又,；ZPEF=3CP,

ZFPC=ZPEF+ZF=30+45=75°；

（2）解：由（1）得，ZFPC=75°,

X-.DF//BC,

:.ZC=ZFPC=15O,

ZB=180-ZA-ZC

=180°-45°-75°

=60°.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质及折叠的性质，熟练掌

握三角形的内角和定理、三角形的外角性质是解题的关键.

20.⑴证明见解析

⑵证明见解析

【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键.

（1）过点E作EH上BC,垂足为“，根据角平分线性质可得胡=ED=9，再由角平分线判定即可得出

结论；

（2）在8C上截取叱=BA,连接£F.先证明ABAE四ABFE可得EF=AE,再证ACED^ACEF可得

CD=CF即可证明结论.

【详解】（1）证明：过点、E作EHJ.BC,垂足为〃，

团班平分/A5C,ZA=90°,

S\EA=EH,

又回E是力B中点，即E4=ED,

QEH=ED,

0ZA=ZD=9O°,EHIBC,

0：CE平分NDCB.

(2)解:如图：在3c上截取跳'=54,连接EP.

:.ZABE=NFBE.

在和△BFE中,

AB=BF

<NABE=ZFBE,

BE=BE

:.^BAE^BFE(SAS)

:.EF=AE,ZAEB=ZFEB.

・.・E是A。的中点，

:.DE=AE=EF.

又・.・BE_LEC,

NBEC=90°,

.•.ZAEB+/DEC=ZFEB+ZFEC=90。,

.\ZDEC=ZFEC,

在4CED和△CEF中

DE=EF

</DEC=NFEC.

CE=CE

:.ACED2ACEF,

:.CD=FC,

.\CD+AB=FC+BF,

团AB+CD=BC

21.⑴见解析

(2)2

【分析】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定.

(1)连接3。，CD,由角平分线性质可得DM=DN,再证明△£)/出丝(SAS),可得3O=CD,即

点。在BC的垂直平分线上.

(2)证明RtADMA丝RtAim(HL),可得AM=AN,由线段的和差即可求解.

【详解】(1)证明：如图，连接30,CD,

C；是—C钻的平分线，DMJ.AB,DNJ.AC,

\N

D

/.DM=DN,

在△DM6和△DVC中，

DM=DN

<ZDMB=ZDNC=90°

MB=NC

ADMBmADNC(SAS),

BD=CD,

.••点。在BC的垂直平分线上.

(2)解：在RtAE>M4和RtADNA中，

JAD=AD,

[DM=DN

••RtAZ)M4^RtAZW(HL),

・•.AM=AN

vAM=AB-BM,AN=AC+CN,

AB-BM=AC+CN.

•••BM=CN

・•.2BM=AB-AC=8-4=4,

・•.BM=2.

22.(1)见解析；(2)0PCe=12O°；(3)AP。。是等边三角形.

【分析】(1)由折叠直接得到结论；

⑵由折叠的性质求出团ACP+回BCQ=120。，再用周角的意义求出回PCQ=120。；

⑶先判断出4APD是等边三角形，反口(!是等边三角形，再求出团PDQ二60。，即可.

【详解】⑴团将ZkCAD与ZkCBD分别沿直线CA、CB翻折得到4CAP与

团CP=CD=CQ；

⑵团将4CAD与4CBD分别沿直线CA、CB翻折得到4CAP与△CBQ,

回团ACP二团ACD,团BCQ二团BCD,

团团ACP+团BCQ二团ACD+团BCD=回ACB=120°,

团团PCQ=360°-(回ACP+BCQ+团ACB)=360°-(120°+120°)=120°；

⑶△PDQ是等边三角形.

理由：回将ACAD与ACBD分别沿直线CA、CB翻折得到ACAP与ACBQ,

0AD=AP,0DAC=0PAC,

00DAC=3O",

00PAD=6O°,

00APD是等边三角形，

0PD=AD,EIADP=60o,

同理：ABDQ是等边三角形，

0DQ=BD,0BDQ=6O°,

03PDQ=6O°,

团当点D在AB的中点，

BAD=BD,

0PD=DQ,

00DPQ是等边三角形

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定等，熟

练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

23.⑴见解析

（2）见解析

【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，

（工）根据等腰直角三角形的性质可得NABE=NEC7V=45。，利用三角形外角的性质与等量代换可得

NBAE=/CEN,在根据全等三角形的判定即可证明；

（2）连接AE,在AC上截取AM=CG,根据等腰直角三角形的性质可得钻=EC,

ZMAE=ZCAE=ZACE=45°,证得,可得ME=GE,ZMEA=Z.GEC,利用等量代

换可得/MEN=NGEN=45。,证得AMEN二屋加V（S4S）,可得MN=GN,即可得证.

【详解】（1）证明：SAB=AC,ABAC=90°,

团NABE=NECN=45。,

团ZAEC=ZAEN+ZC